книги / Теория упругости. Ч. 1 Основные уравнения механики сплошных сред. Вариационные методы
.pdf- I2i -
Введем понятие транспонированного тензора ( у З ) * в , выделив из тензора ? с . его симметричную часть по формуле
|
|
|
l [ \ 7 d * ( v a f j , |
(7 .2 6 ) |
|||
получим тензор |
деформаций |
|
|
|
|
||
£ - f5 c ( d Q sj да* |
|
|
Qs dHs |
+ 2 d |
(7.27) |
||
ts J |
Hsd<f |
HsHtdqs .HsHtd f |
t s W « |
||||
|
|
|
|
|
|
||
Распишем по компонентам |
тензор деформаций: |
|
|||||
|
да, |
_Ог |
дЦ |
QJ |
дН, |
|
|
|
" = Htd q } |
|
d q 2 |
*H,Hj |
d q J |
’ |
|
, |
_ |
f/d Q , |
da£ |
a, <?//, |
а^Щ ,) |
||
|
|
|
|
|
|
|
(7.28) |
|
2 Г Щ д ( } 2 Щ г Щ д ^ Щ д . f j |
||||||
Эти геометрические уравнения в криволинейных ортогональных ко |
|||||||
ординатах были впервые получены Ияме. . |
|
|
|||||
В цилиндрических координатах, |
как в ш е было показано, ба |
||||||
зисные векторыё~ ёг , ё |
ё |
у , ё3 - ё ^ - к |
имеют направления ра |
||||
диусов окружностей* касательных к ним, и оси концентрических цилиндров. Коэффициенты Ляме определяются зависимостями (7.Т7). Тогда компоненты деформаций и объемное расширение запишутся так:
|
ди . |
|
|
dv |
и |
. _ |
dlV |
|
|
|
<?/• 7 |
|
|
|
|
— ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dv |
/ |
ди |
V |
у |
|
диг ■ |
dv . |
|
|
|
г д у |
'г |
' |
~»д</> ' |
дг. |
7 |
||
tfra |
ди |
диг |
п |
ди |
и t |
d v |
. диг |
||
"дг |
*3 |
* |
0=-T-~ +— / |
- J - |
д г |
; |
|||
|
д г |
|
|
д/* |
г |
г»ау> |
|||
где u t v, и / - проекции вектора перемещения на оси
цилиндричеокой системы.
|
|
|
|
|
- |
122 - |
|
||
В сферические координатах выракенкя компонент тензора дефор |
|||||||||
маций более громоздки. Обозначая |
и * , |
и в |
« и л проекции вектора |
||||||
перемещения .на базисные векторы |
|
7 |
|
ёА |
и учитывая зависи* |
||||
мости (7.18), имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
ди* |
• |
х _ * |
ё и в |
|
aR |
|
|
|
|
дЯ |
' |
а ~Ядв |
|
Я |
|
|
||
f |
' |
|
д и * ■■ и « г ? - Я .г U« |
’ |
|||||
*л 'Я~ЯНsinпв.. вЛ |
Я |
- 2 ° |
R |
||||||
*вл "я |
|
* Sins вЛ |
|
:t9s ), |
|||||
|
' “л с‘ |
|
|||||||
|
= _____f |
дия |
дил |
|
ил |
■(7.30 |
|||
Ул■* |
|
|
|||||||
fiSin# дЛ |
дЯ |
|
Я |
|
|
||||
у |
див |
/ |
вид _ |
ив |
|
|
|||
« * * |
дЯ |
|
Я е в |
|
я |
|
|
|
|
Уравнения равновесия
di v T + |
О ; |
f в <з^. |
с учетом понятия дивергенции в криволинейной ортогональной си* етеме
(7.31)
д с р Н* Иг ег 1 еь |
Н,Н* |
' |
запииутся так:
<7 - з 2 >
- 123 -
•Эта уравнения в цилиндрической системе координат с учетом
дб.г |
6 r-G * |
,•i S a r , |
3 s |
|
~3F |
r |
re< f |
|
|
3 “kp(/> / 9 i b f |
+ |
$ £ & |
(7.33) |
|
d r . |
* r |
rdy> |
d s |
|
~d£pg |
r |
rd y ? |
d £ |
* |
d r |
||||
В сферической системе координат эти уравнения имеют вид (с уче тов (7.18).
J ? 5 |
л Г + x (2b ’ s» - b * r* » ctf e ') t / >£ = 0 i |
(7.34)’
- ж Ч м * * Ш д а л + 1 & ы г с <»
Обобщенный закон Гука в прямолинейных ортогональных коор динатах вапкоывартся следующим образом:
е1К=2&ем +Л8в31,,_ |
( ? . 3 5 ) |
где
Jju G . •Л - ~— -— )
/- 2 j u
£зк. определяется вырахенинми (7.27).
Объемная |
деформация 6= diva в криволинейных координа |
тах имеет вид |
|
dc va = в ^ Щ н 3 ( ^ ;Н^ а'*Щ~гИ’нА +-щ>нЛ а^)-(7-36)
- 124 - Во всех указанных системах координат можно получить уравне
ния Ляпе и уравнения Белмрами-Митчела..
При-рассмотрении равновесия тел вращения записанные урав нения в криволинейных ортогональных координатах значительно сок ращаются.
§7.4. Некоторые задачи теории упругости
вкриволинейных ортогональных координатах
Рассмотрим равновесие цилиндрического тела вращения, к которому приложена осесимметричная нагрузка, изменяющаяся по длине. За ось с? приникаем ось вращения тела; ось, перпендикулярную о? , обозначим ^ (см.рис. 7.1), Тогда уравнения равновесия могут быть получены из рассмотрения равновеоия элементарного объепа, изображенного на рис. 7;3.
Проектируя все внешние силы, действующие на выделенный
объем,и учитывая, |
что |
S i n ^ s |
d B |
c o s ^ ^ f , |
сокращения на d r d d d z |
|
2 |
||
получим |
|
|||
д г |
+ |
в( |
|
|
д г |
|
|
||
|
|
|
|
(7-37) |
<з. |
: д г |
Э л |
ё . =0- |
|
~ |
|
|
||
Или более компактно:
Э л
(7.38)
Теперь, рассматривая деформацию двух взаимно перпендикулярных
элементов |
d n и |
в плоскости г о л |
/, получим геометрические |
уравнения |
|
|
|
, _ Эй . |
_ U . j. .Эи/ . „ |
_ Э иг Эи (7.39) |
|
Ь ' Т ь Г ' Ъ ' Т Г ' < * - 7 * 7 '
- 125 - Линейная деформация в окружном направлении
= 2 л + и ) - 2ж г> __£/
8 |
2 л г > |
/> |
Рис. 7.3
Обобщенный закон Гука -имеет вид:
t n = j [ 6 r - j u ('e, + * 2 ]:>
(7.ад)
(fan |
s G * ' |
- 126 - т.е. формулы (7.40) можно записать в тензорной символике:
Формулы перехода от напряжений в декартовой системе координат к напряжениям в цилиндрической системе имеют вид
dx =d> co sa6 + 6e sCnz8 |
<£ |
=<ь s i n a&+ б - с о з гв , |
1 |
||
* n |
9 |
У |
2 |
|
У (7Л2) |
a |
|
|
= |
• |
J |
Рассмотрим равновесие шарового сосуда, подвергнутого дей ствию внутреннего и внешнего равномерных давлений; < 2 ,6 - соот ветственно внутренний и наружный радиусы шара, р а и /%»- вну треннее и наружное давление.
При решении некоторых простейших задач, когда многие ком поненты напряжений и деформаций отсутствуют, можно не» использо вать общие уравнения механики сплошных сред, написанные в соот ветствующих координатах при соответствующих значениях коэффи циентов Ламе. Эти уравнения, конечно, значительно упростятся, однако иногда бывает целесообразнее получить все -необходимые уравнения применительно к рассматриваемой задаче, выделяя три стороны исследования:. геометрическую,'-физическую, статическую.
Применим |
такой подход ж изучению равновесия шарового сосуда. |
|
I. |
С т а т и ч е с к о е |
о б с л е д о в а н и е . Двумя |
парами взаимно перпендикулярных ыеридиальных плоскостей и двумя концентрическими поверхностями вырежем .для исследования беско нечно малый элемент. Действие отброшенных частей сосуда замена тангенциальными (&e н<^) и ра д и а л ь н ы м и ^ ^ напряжениями. По скольку в -рассматриваемом случае напряжения зависят только от
текущего радиуса |
R |
, то напряжения по двум бесконечно близким |
||
друг к другу |
концентрическим |
поверхностям будут отличаться на |
||
величину |
d R |
- d |
■ |
не будут зависеть от 6 . Схема |
усилий, действующих на элементарный объем,приведена на рис. 7.4. Спроектировав все оихн на нормаль к элементу, подучим уравнения равновесия в виде
|
|
|
|
|
- 1 2 7 |
- |
|
|
|
Здесь после |
сокращения |
на c tR d Q d A |
учтено равенство |
<з^ =■^ , |
|||||
Действительно, из |
первого уравнения |
системы (7.34)* следует (7.43) |
|||||||
при |
Рд# |
- |
?/,л |
= 0. |
Массовые |
|
|
|
|
силы jO ^ |
такие равны нулю. |
|
|
|
|
||||
|
2. |
|
Г е о м е т р и ч е с |
|
|
|
|||
к о е |
о б с л е д о в а н и е |
|
|
|
|
||||
08 рассмотрения перемещения и |
|
|
|
|
|||||
формоизменения элемента |
заклю |
|
|
|
|
||||
чаем, |
что |
относительное |
танген |
|
|
|
|
||
циальное 'удлинение |
|
|
|
|
|
|
|||
( u * + R ) d e - X d e _ ц л |
|
|
Рис. 7,4 |
|
|||||
|
R dd |
|
' /? |
v * / |
|
|
|
|
|
а относительное радиальное удлинение |
|
|
|
||||||
|
|
|
- _ |
( u / t 'd u ^ - u * |
'du/i |
|
(7.45) |
||
|
|
|
|
" |
3 ? |
d R |
|
|
|
|
3. |
|
Ф и з и ч е с к о е , |
о б |
с i-t д о в ' а н |
и в . С уче |
|||
том равенства &в - |
|
, следовательно, |
, зависимость |
||||||
деформаций от напряжений имеет вид (7.35) |
|
||||||||
|
|
|
гв ’ т Г < ь у ‘ (*л *< Ь )]> |
] |
|
||||
|
|
|
|
|
' . |
|
f |
(7.«) |
|
4°--ф у7(£° Г £*)’
(7 .4 7 )
- 128 -
Теперь получим уравнение равновесия в форме Ляме, содержащее одно неизвестное - uR • Подставляя геометрические уравнения (7.44), (7.45) в.фи8ические (7.47), а затем последние в условие равновесия (7.43), получим
d ‘u k |
2 |
d u „ |
и * _ 0 |
(4.78) |
d R 1 |
R |
d R |
R ‘ |
|
Общее ревение этого уравнения известно;
(4Л9)
Теперь подотаввв (7.49) в (7.47), получаем вместо дифференциаль ной формы физических уравнений алгебраическую форму относитель но ил -
в° - т ^ 2 ^ [ р 0 - 2Л |
в М ] ' |
(7.50) |
|
|
|
У |
|
Постоянные интегрирования А, 8 определяются |
из граничных усло |
||
вий |
|
|
|
% |
. в " * |
' |
(7.51) |
|
|||
Далее, подставляя эти выражения во второе уравнение (7.50), по лучим
. (Ра |
. |
2 £ ( r - l j j ) ( e * - a 3) |
|
_ (P a aS -P ie * ) 0 - J J - R p 2) |
(7.52) |
|
|
в = |
|
е (*! / • ) ( * - * )
Теперь, подетшив (7.52) в (7.50), окончательно имеем
- 129 -
„ _ а * ( г я ‘+ 6 3) |
_ 6 3(2 К 3* а 3) |
|||
° * Ра |
2 Я 3(в ‘-а?) |
~Р* |
2 Я 3( ё 3- а 3) |
’ |
|
|
|
|
(7-53) |
|
а ’(я 3- б 3) |
. б 3(Я 3- а 3) |
|
|
ё* ° Ра |
Я 3(б 3- а 3) 'Р<> Я 3( ё 3- а 3) |
' |
||
Для случая одного внутреннего давления |
р а наибольшее растяги |
|||
вающее тангенциальное напряжение на внутренней поверхности со суда ( г = а )
|
|
^ |
2 а 3+ 6 3 |
(7.54) |
|
|
°тв*\г.а |
а г (б 3- а ‘) |
|
|
|
|
||
а минимальное при г - 6 |
|
|
||
|
|
|
За* |
(7.55) |
|
|
|
2 (в 5- а 3) ~ |
|
|
|
|
|
|
Если ввести коэффициент концентрации напряжений ^ |
по формуле |
|||
|
|
|
|
(7.56). |
то при |
6 |
■ 3. величина к* |
равна 9,67. |
|
а |
|
|||
ЛИ Т Е Р А Т У Р А
1.Аменааде 10.А. Теория упругооти. 11., "Выошшя школа", 1971.
2.Безухов Н.И. Основы теории упругости,’ пластичности ж пол зучести. U., "Выоиая школа", 1968.
3* Бернштейн С«А. Очерки по истории строительной механики.
U., Госстройнадат, 1958.
4.Блох В.И, Теория упругости. Изд. ХГУ, Харьков, 1964.
5.Борисенко А.И., Таранов И.Е. Векторный анализ и начала
тензорного исчисления. II., "Высшая школа", 1963.
6. .Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. Изд. М П , И.,
1971,
- 130 - 7* Кильчевский Н.А. Элементы тензорного аналпэа и ого при
ложения к механике. М., Гостехиздат, 1954.
8, Ландау Л.Д. и Лившиц Е.М. Теория упругости, М., "Наука3,
1965.
9..Лурье А.И. Теория упругости. U., и Наука", 1970.
10.Новожилов В.В. Теория упругости. Л., Судпромгиз, 1958.
11.Пономарев С.Д. ж др. Расчеты на прочность в машинострое нии, т. I, П,'Ш. II., Кавгиз, 1956, 1959.
12. Пратусевич Я.А. Вариационные методы в строительной ме ханике. II.—Л., ГИТТЛ, 1940»
13.Работнов Ю.Н. Лекции по теории упругости. Изд. МГУ, И., 1967.
14.Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материа лов. К., Гостехивдат, 1957.