книги / Теория упругости. Ч. 1 Основные уравнения механики сплошных сред. Вариационные методы
.pdf- 61 -
Если выражения (3.7) расписать по компонентам, получим
|
|
|
Н |
Ч |
|
Ш |
Ш |
Ъ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
- i ¥ |
+ |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* * 4 * |
f 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Or |
= у |
- |
^и . д и .' дц t дс/ ,-дьг |
. d ir, диг |
д и г, |
|
||||||||
^ |
|
|
ду |
дх |
Эх |
ду |
Эх |
ду |
Эх |
|
ду |
’/ |
(3.8) |
|
>/• |
__ у |
__ Эи/' dv |
dtf Эи , дгг Этт, Эиг |
диг . |
|
|||||||||
yz Оух |
Jy |
у^ |
|
Эу д£ |
Эу 'да ду |
да |
' |
|
||||||
ос |
- у ■ _ |
$У Л диг |
Эи , |
d ir, дУ . |
диг_ диг |
|
||||||||
ах |
ах |
fa ух |
|
у х |
^ |
-^г |
л- |
й ? |
|
|||||
Антисимметричная часть тензора
(3.9)
навивается тезаором вращения. Этот тензор задается тремя компо нентами, часто обозначавшими сэг :
( з л о >
д и ) ^ , .
.. //&?у |
• |
|
|
* =2 { д а ~ д Г |
(З .И ) |
" • Г ' Л § ^ " ф / “ ^
62 -
В системе осей xf x^Xj матрица компонент тензора вращения запи
сывается в виде .(I.I5). Физически величины |
являются проекция |
|
ми сопутствующего тензору ^ в е к т о р а со |
, называемого |
вектором |
поворота. |
|
|
Из (3.1) имеем |
|
|
ds'= (f+e)ds, (ds)2 » 0 *2<*)ds2 . |
С3 -12) |
|
Всоответствии с (3.12) вводятся понятия степеней удлинений
Л£ (^-п^-2 r^-j)
|
Л = / / ^ с |
, |
|
£L |
главные линейные деформации, |
|
|
|
Сравнивая (3.12) с (ЗЛ), получим |
|
|
|
_ бцс1х£с [ъ . |
(3.13) |
|
|
d s * |
' |
|
|
|
||
Таким образом, задание тензора деформаций позволяет определить изменение длины любого линейного элемента и полностью определя ет геометрию деформированного тела.
§ 5.2. Тензор деформаций
Если е « I, то все компоненты тензора деформаций малы по срав нению с единицей. Однако производные и у , воооще говоря, не обязательно малы, поэтому в выражениях (3.7), (3.8) сохраняют квадратичные члены. Если и ц не малы, то сосу такие не малы. Правда, полагая деформации малыми, мы не можем считать малыми углы поворота.
В линейной теории упругости обычно принимают {Усу ( « / ,
т.е. деформации считают малыми по сравнению с единицей. Тогда вмеото формул (3.7) пользуются линейными выражениями компонент деформации через перемецения:
eLj + “# ) • (з.м)
Положив afs=dxtJno (3.13) найдем, что<^- (не суммировать)
- 63 -
есть относительное удлинение элементе, взятого в направлении-
оси X: „ Б этои случае говорят о трех линейных составлявших де формации (деформации первого рода иля удлинения ребер). За-по ложительные линейные деформации принимаются удлинения.
Предположим теперь, |
что |
|
|||
И.- =О |
В ПЛОСКОСТИ X- Ж,- (рис. 3.1) |
|
|||
точки буд1ут перемешащться в напправ- |
|
||||
лении оси Ху |
. Если перемещение |
|
|||
точки М |
есть |
Uj |
, то переме |
|
|
щение точки М 'г есть |
+UjU dx^. |
|
|||
(MM1=dxi ) 9 изменение первоначаль |
|
||||
ного прямого угла между осямi/rxt-,Xj |
|
||||
у = ix/,c |
- Аналогично, если пред |
|
|||
положить, |
что UJ -=-0,L/£ |
, угол изменится на |
Таким |
||
образом, |
изменение первоначального прямого угла между координат |
||||
ными осями Xir Xj |
есть |
|
|
||
|
|
Г у |
|
( * * / ) ■ |
(3-15) |
В этом случае-говорят о трех.угловых (сдвиговых) деформациях (деформации второго рода или относительные сдаиги). Положитель ному сдвигу соответствует уменьшение угла между положительными направлениями осей, отрицательному - увеличение тех же углов. Лри деформациях сдвига объем остается неизменным, изменяется
лишь форма. Объемная деформация |
(дилатация) приобретается за |
|||
счет удлинения ребер. |
|
|
|
|
Пусть £и * О (etr, |
,£ss), olxi =>/, тогда приращение |
объема |
||
вследствие такой деформации будет следующим; |
|
|||
|
.Q= |
( f +£r/)(f +£22)& **гз) ~r |
(3.16) |
|
|
|
|
/ |
|
Поскольку £ « . / |
, то развертывая (3.16) и отбрасывая малые |
|||
второго и третьего порядков, получим |
|
|||
|
|
|
|
(3 .1 7 ) |
|
|
|
- 64 - |
&Ср |
|
Если по аналогии со средний напряжением |
ввести понлтие |
||||
средней деформации, то |
. Величины б у |
при повороте си |
|||
стемы координат изменяются по формуле |
|
|
|||
|
|
|
= (хГ‘ * ° у < ? * « < г |
' |
(3.13) |
поэтому |
является тензором деформаций второго ранга. Матрица |
||||
компонент этого тензора записывается в виде |
|
||||
|
|
*-// |
^/2 ~ 2 ^,г |
|
|
|
|
i v I- |
^2J ~ О |
(3.19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^32 “2<%г |
^33 |
|
Здесь Л у |
O ty )» |
Относительность индексов при обозначен!;:] |
|||
углов |
сдвига (fa y ~Jyx) ыожно показать, |
рассмотрев деформации |
|||
сдвига |
элементарного объема. |
|
|
||
Имеется почтя полная аналогия между теорией напряжений и теорией деформаций. Поэтому все необходимые формулы в теории деформаций можно записать по аналогии с соответствующими форму лами теории напряжений. Так, вековое уравнение для тензора де формаций запишется так:
|
e J - 6 2J ( e |
)f + € J ( c |
) = 0 . |
(3.20) |
|
По .аналогии октаэдрические сдвиговые деформации: |
|
||||
Г |
- ? ■ / & |
' $ ) * ' f e - $ ) г ' |
; |
(3.21) |
|
- J |
|
|
- ( ,) * * I ( 4 * r £ , * r J , b |
(* - г г > |
|
<f. = / & |
& ) > |
« |
= |
|
(3.23) |
Г= |
(3.2^) |
- 65 - Для частного случая одноосного растяжения изотропного ма
териала (<£,-<fi |
получаем. |
|
4 |
“ *-**, |
(3.25) |
Для случая чистого сдвига изотропного материала (<г,=<£, |
-<?/. |
|
г = / . |
<’•“ > |
|
Уравнения связи между |
компонентами тензора деформаций |
|
а вектора смещения и ; (геометрические уравнения) М017Т быть -
получены из условия непрерывности функции компонентов смещения, раскладываемой в ряд Тэйлора (2.55' ), и отбрасывания ив этого ряда членов второго' и высших порядков малости:
", " " / <**i * % d x / *uv .dxl, ■ (3.27)
Еслиdxj = dxK= 0 . , то выражения'(3.27) по компонентам запишут
ся так:
и = и„ + |
dx; |
дх |
|
.i l L r |
|
д х |
(3.28) |
Uf=uro + ? ~ d x
дх
Сучетом этого можно изобразить проекцию элементарного деформи рованного параллелепипеда на плоскость хоу и проставить компонен
ты онемения-эго характерных точек (рис. 3.2). Здеоь, например,
омовение 4^ - может быть 'истолковано как градиент изменения
д х
в горизонтальном направлении компоненты u t ~ U ' . Будучи ум ноженным на d x , оно представляет приращение горизонтального перемещения на длине d x . Рассмотрев проекцми вектора смещения на плоскость х о у (рис. 3.2), можно подучить геометрические урав нения (3*14), которые в расписанвсч по компонентам виде выглядя? таи:
р' ди
v4У dltX .
- 66 - |
|
_ d v + |
; |
f *y~dx д у |
|
Зиг дгг .
& ~ д у ^д£
ди |
диг |
f e * ~ d z |
Зх ■ |
§3.3. Определение перёмеиений по заданной деформации
Ставится задача: определять вектор перемецения - его три проек ция }называемые кратко перемещениями, по заданному тензору деформаций . Другими словами, речь идет об интегрировании сиотемн нести уравнений (3.29), заданные правые части которых непрерывны вместо о их производными первого и второго порядков. Число уравнений (иеоть) превосходит чиоио неизвестных (три),
- 67 -
поэтому задача noses иметь решение только цри наложения некото рых ycjiormii ла задание компонент тензора • Число таки за висимостей для раоличиых случаев напряженного состояния различно, В сбт:: елу чао эвклидова пространства, нмекщего п ' измерений, число лззавя&шых уравнении неразрывности
|
|
пг(п2-/) ' |
(3.30) |
|
|
|
/2 |
|
|
При одноосной напряженной состоянии |
) с = 0 , для объем |
|||
ного |
-с |
'= 6 , |
|
|
|
Рассмотрим тензор второго ранга, представляющий ротор тран |
|||
спонированного ротора тензора второго ранга |
|
|||
|
|
М■ rot(rot§) ~ ух(tfX<?)*' |
'3,31) |
|
|
л |
л |
|
|
Зтот тензор М |
симметричный, если Q - симметричный.тензор. в |
|||
литературе этот тензор называют УпМ. Q ( Jn k - первые буква сло
ва УпМетра tL & eita t - несовместимость).
А.И»Лурье показано,' что для однозначного определения^ по заданному £ ц необходимо выполнить условие
r>ot(roti)*-Jnk£ - О. (3.3Z)
Значения компонент Jnki , когда £ -сюшетржчный теизор, за
писываются в виде
|
|
|
|
|
|
- |
68 |
- |
|
|
|
|
д |
fd^2.i , d<?s/ |
Л х А |
_ |
^ |
|
(3.35) |
||||
т,г = m*' = fy |
( л |
Г |
|
дх2 |
дх3) |
|
дх,дхг |
||||
|
|
' |
|||||||||
|
___д_ fd(3, |
|
д€/г _ Эегз ] __§_£*!_ |
• |
|
||||||
т23~тзг ~ дх,\Эхг |
Эх3 |
d x j j |
дх2дх3 |
’ |
|
||||||
_ |
_ д |
fd e /£ |
, |
cfe ^ |
|
|
|
Л_£гг_. |
|||
31” 'у |
" дх2 ( дх3 |
|
Эх, |
дхг ) |
Эх3 дх, |
|
|||||
Условия равенства нулю компонент тензора 7 п к £ |
могут быть за |
||||||||||
писаны так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ * , / s |
|
|
|
|
|
|
6</s7 |
* ’ |
,(3.34) |
|
Эти соотноменин называются тождественными соотношениями Сев-Бо- ■вана или условиями сплошности (совместности) Сен-Банана. гм'оЗы получить первую группу этих .соотношений (зависимость мепду со ставляющими деформации в одной плоскости), следует положить
*=л в / , J = з = 2 . Получим
+X |
—£ |
Ч4<f |
(3.35) |
|
а , / г |
гг.гт |
|
ж два других соотвоиения, которые находятся' круговой перестанов кой индексов. Первую группу соотношений Сен-Венана можно пере писать:
|
= ^<f |
|
(3.36) |
Первое из соотношений второй группы |
(зависимость манду со |
||
ставляющими деформации в разных .плоскостях) получим, |
приняв |
||
i - x = / %j - 2 , S = J |
. Найдем |
|
|
6 11,23 9 |
( 6 12,3 * e31,2 |
> |
(3.37) |
два других соотношения определяются круговой перестановкой ин дексов.
Физичёокий смысл уравнений (3.34) таков. Если, задаваясь деформацией, не учесть зти уравнения и каждому из параллелепи педов, на которые мысленно разбили тело, назначить оеоть не
- 69 -
зависимых составляющих деформаций,'то из отдельных таких дефор мированных параллелепипедов не сложить, непрерывного деформиро ванного тела, поскольку между ними могут оказаться разрывы (пус тоты). Если по эедакныи нагрузкам удалось бы найти , то деформации <?су после этого вычислялись бы по геометрическим уравнениям. В этом случае условия Сен-Венана автоматически вы полняются: их можно получить из геометрических уравнений. Чтобы
по заданным нагрузкам удалось найти |
<5^ |
и затом |
<fcy |
, необхо |
||||||||
димо удовлетворять условиям сплошности. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Условия (3.34) можно получить, |
исключив перемещения и г ,и 2 , |
||||||||||
Uj |
из геометрических уравнений (3.29). Процесс исключения |
|||||||||||
ведется так. Рассматривая три уравнения- |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Эи, |
|
|
Эиг |
У |
. Эи, . |
<Эиг |
|
(3.38) |
||
|
|
|
|
|
Э х£ |
|
дхг |
* |
Э х, |
|
|
|
замечаем, что их правые части удовлетворяют тождеству |
|
|
||||||||||
|
Э г |
Эи, |
^ |
Э 2 |
Эиг |
Э |
/ Эи, |
|
ди2 |
\ |
|
(3.39) |
|
Э х/ |
: Э х, |
Э х / дхг * Э х,дх2 [Э х г |
* Э х , |
/ |
|
||||||
|
|
|
||||||||||
Первое уравнение |
(3.38) «дважды'продифференцировано по |
х2 |
, вто |
|||||||||
рое |
- по хг , затем они почленно сложены. Следовательно, |
если |
||||||||||
заданы две линейные деформацжж, то |
>тнм самым определяется и |
|||||||||||
.угол сдвига |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Из (3.39) получаем одно из трех условий, выражающих требо |
|||||||||||
вание обращения в нуль диагональных компонент J n k e : |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Э Ъ , |
|
|
ЭгУ'гг |
|
|
|
(3.40) |
|
|
|
|
|
Э х / |
Э х / |
~ Э х ,д х г |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Для установления зависимостей П группы последние три урав |
|||||||||||
нения системы |
(3.29) |
дифференцируем: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dy*f2 |
•у2. |
|
эЬ , |
|
|
|
|
||
|
|
|
d Цг |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
дA j |
дхydXj |
* вхг вх, |
’ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
д иг |
. |
|
|
. |
|
|
|
д хг ~ dXjdXj дх2дх7 1
- VO -
д Г з г _ - & з |
. ■ d Zu } , # |
д х 2 - ~ дх,дх2 |
д х 3 дх2 |
Сложим два последних тождества,вычтеи первое; продифференцируем
'получившееся уравнение еще раз по |
^ |
и с учетом |
|
|||||
|
А |
|
А |
» |
, |
|
|
|
|
дхг дх2 дх5 |
д х 7дх2 |
|
|
|
|
||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
/cfrfeJ , |
f y / J |
„ t y / 2 ) |
„ |
Э б 33 |
О Л 1) |
||
дх3 ( дх7 |
дХ г |
|
дХ3 ) |
^ 'dxf dx2 |
||||
|
|
|||||||
Следовательно, если заданы три деформации |
с д в и г а г о |
|||||||
этим самым вполне |
определяется |
компонента С33 |
, н она не может |
|||||
быть задана произвольно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Оставшиеся условия получаем из (5.40; и (5.41; с помощью круговой перестановки индексов.