книги / Теория упругости. Ч. 1 Основные уравнения механики сплошных сред. Вариационные методы
.pdf- 31 -
одинакового равга и размерности в каждой точке пространства при водит к построению нового тензорного поля того же ранга, являю щегося суммой двух полей слагаемых тензоров. Аналогично над тен зорами полей в каждой точке пространства производятся и другие алгебраические операции (умножение, свертывание-и т.д.), которые
приводят к новый полям.
Н механике континуума,, как известно, применяются два спосо ба изучения движения сплошных сред: способ Эйлера и способ Лаг- ранка. Понятие о тензорных полях соответствует 'способу Эйлера-.
Координаты л" |
, которыми мы здесь пользуемся, |
- это переменные |
|||||
Эйлёра* |
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторное |
поде. Циркуляцией вектора |
о- по контуру L |
назы |
|||
вается криволинейный интеграл, который берется |
по замкнутому |
||||||
контуру |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г - |
<f>QcLA . |
|
|
(1«*+5) |
Здесь |
ctl |
- направленный |
элемент контура, |
т..с. d l = £ d £ |
, где |
||
с |
- орт касательной; d L |
- дифференциал дуги контура. |
Если |
||||
вектор а |
представляет силу, то циркуляция |
этого вектора |
дает |
||||
работу силы при перемещении материальной частицы по замкнутому
пути.
Геометрической характеристикой векторного поля могут слу жить векторные линии - кривые, в каждой точке которых касатель
ная имеет |
направление вектора в этой точке. Если возьмем вектор |
O ^ d d |
- градиент скалярного поля, |
(1.Ц )
то векторные линии поля |
d |
цредставляют собой кривые, |
ор |
|
тогональные в каждой |
точке к поверхностям уровня </~consC\ |
|||
ото линии быстрейшего |
изменения |
• |
|
|
Векторные линии |
поля |
скоростей вращающегося твердого |
тела |
|
представляют собой концентрические окружности с центрами на оси вращения, а векторные динжи поля скоростей твердого тела, дви жущегося прямолинейно,- прямые линии.
Потоком векторного поля |
через всю поверхность s на |
зывается поверхностный интеграл |
|
j j a - n d s =]ja n a s ' |
U.V?) |
- 32 -
Зд^сь as - элемент площади; п - положительный орт нормали п к этом;/ элементу. Поток векторного поля скорости движения.жид кости через поверхность численно равен объему жидкости» проте кающей в единицу времени через эту поверхность.
Дивергенцией векторного поля *2 называется выражение
о т в . Jb , |
. ^2i . и А ) |
дх, дх2 d'Kj |
дх< |
Дивергенция (расходимость) векторного поля а ( г ) 'является ска лярной функцией точки и» таким образом, образует скалярное поле, построенное по данному векторному нолю. Дивергенция векторного поля d существует в каждой точке, если компоненты поля а.. непрерывны вместе с частными производными по координатам. Исполь зуя выражение оператора г , a-Jvd можно записать так:
CLL r c - . p . |
sc |
- |
А |
= v а |
|
-А— а |
|||
дхк |
|
« dkL |
|
|
т.е. в этон:случае применение оператора V к вектору |
а |
пред |
|||
ставляет скалярное умножение символического вектора |
Г |
на |
|||
вектор а. . |
|
|
|
|
|
Физически величина cfiv |
характеризует скорость изменения |
||||
объема жидкости в |
точке.. Это |
означает, что если частица жидкости |
|||
в точке А/ |
имела |
объем 4 г |
, то через единицу времени ее объем |
||
будет A t ' |
, причем |
|
|
|
|
|
|
At, |
o i i v v ) . |
|
|
Естественно, что в поле течения несжимаемой жидкости, лишенной источников и стоков,, в каждой точке a cv .ir =■ 0.
Вихрем'(ротором) вектора а называется дифференциальная характеристика векторного поля, получаемая в результате вектор
ного умножения символического вектора v - t . |
на вектора |
||
|
|
* дхк |
|
т.е. |
|
|
|
r ota = ? х а |
|
(1.50) |
|
, — |
Эае |
dQt |
(1.51) |
rot.а |
---- _ _ |
4 . |
|
- 33 -
В проекции на оси 1,2’,3 компоненты вектора rota запивутся так:
r , i , a * ¥ £ - * 2 L ■ r o t ^ a . M s - m |
|
г |
дх3 дх, |
(1.52)
_ - даг _ да’
дх, дх2
Те точки тела, в которых вихрь не равен нулю, называются вихре выми. Вихрь поля скоростей вращающегося твердого тела равен уд военной угловой скорости вращения ^оС гй - 2 OJ.
Абсолютный дифференциал вектора. Для тензора первого ран
ги - всктира, имеем |
• ' |
а = в. ас. |
(1.53) |
Предполагая, что изменяются компоненты вектора а * и точка его4 приложения, находим дифференциал
da ~ёсd a L*a Ld e t-.
Па основании формулы (I.19) и учитывая, что в криволинейных ко-, ординатах координатный базис
=с>/. (i =/.2... .,п),
где г радиус-вектор •точки, F = r ( x J) , найдем
d a ё 4'= (даУ=_аа?+ а сe Jd e .
(1.53')
а.»)
Величины (da)* называются компонентами абсолютного (ковариантного) дифференциала вектора а .
С учетом выражения (1.53') формулу (1.54) можно записать следующим образом:
= ё |
dx* - |
■ |
■ -v clx*•' (1.55) |
дх * |
|
дх |
дх |
Введем обозначение |
|
|
|
д 3, |
Г ' =Г ' |
|
|
е' |
(1.56) |
||
дхгдхА |
ск |
it |
|
- 34 -
Величины |
называются символами Кристоффеля второго |
рода; |
|||
следовательно уравнение |
(1.54) можно записать так: |
|
|||
|
{ с [й У |
= d |
a ' * Г / а гс1х*. |
(1.57) |
|
Для ковариантного вектора |
а |
имеем |
|
||
|
(.■,-ф а^ - г ; |
а с / л - ' |
(1.5Э) |
||
Символы Кристоффеля можно выразить через компоненты метрическо го тензора:
" / " С - * ; |
(i.59) |
Величины Q.tM называются символами |
Кристоффеля первого рода. |
Если задана метрика пространства, то символы Кристоффеля могут
быть-определены |
как |
|
|
г |
- ' fdg^ i + |
t o * ) |
(1.60) |
«М ~2 \< Эх * |
дх‘ ' д х ” ) |
||
Рассматривая формулы преобразования символов Кристоффеля, можно установить, что они не являются, тензорными величинами. Следова тельно, дифференциалы ковариантных и контравариантных компонент вектора не имеют тензорных свойств.
В декартовой системе координат дифференциал вектора
da-ct(aeTe)-FeclQ'. (i.6I)
Поскольку в декартовых координатах векторный базис один ак ов ая
всех точек пространства, то-для любого базисного вектора |
=0. |
Для координатного бадиса, который не меняется от точки к точке (декартовы системы координат), все символы Кристоффеля второго.,рода равны нулю.
Из анализа формул (1.56) и (1.59) следует, что величины /J*
являются коэффициентами; разложения векторов |
по векторам |
||
основного базиса, |
а величины |
' |
дх* |
- коэффициентами разложения |
|||
векторов |
по векторам |
взаимного базиса. |
|
Из формул (1.57) и (1.58) ясно, что абсолютная (коварнантная) производная векторного поля учитывает не только быстроту изменения самого поля при перемещении вдоль координатных линий
|
д о 1 |
да |
\ |
- 35 - |
(члены |
^ |
|||
— |
>-г— г |
|
но и быстроту изменения локального базиса |
|
|
дх* |
д х л |
|
|
(вторые члены в уравнениях). В соответствии со сказанным указан ные формулы можно переписать:
|
'■* |
дх\ - а - г ' |
Л |
|
|
а \ |
* а ' . г ‘ |
1 |
|
|
'А |
д х |
|
|
Здесь введены |
обозначения |
|
|
|
д а |
_ |
да |
_; |
|
ч |
ш |
3>| |
in |
* |
Можно показать, что величины <2.> и а,\ являются ковариантныме
и смекайлыки компонентами одного и того же тензора, который и называется абсолютной (ковариантной) производной вектора.
Тензорное поле. Если каждой точке пространства или его части (области) однозначно сопоставлен некоторый тензор, то го-г ворят, что задано поле этого тензора или тензорное поле. Тензор
ное поле может быть |
скалярным у - |
векторным a |
тен |
зорным G iy -G y/tf. |
Бывают тензорные |
поля стационарные |
(нестацио |
нарные), однородные (неоднородные), непрерывные и имеющие точки разрыва. В дальнейшем рассматриваются только непрерывные тензор ные поля.
Потоком тензорного поля черезповерхность называется поверх ностный интеграл, взятый от скалярного произведения тензора на вектор нормали:
|
IV=J f Т•Hols- |
(1 .63) |
|
|
|
5 |
|
Поток тензорного поля является вектором, |
его компоненты равны: |
||
к ш/ |
/ |
’ л fr ( ъ п, |
- о - » ) |
S |
|
S |
|
Поток тензора напряжений через поверхность, взятую в упругой средег равен равнодействующей всех сил напряжений, приложенных к этой поверхности:
- 36 -
Поток единичного тензора с [ 4 через замкнутую поверхность ра вен нулю.
Дивергенция поля |
тензора 2-го ранга, как и поток этого по |
||
ля, является вектором и бпределяетсн следующим пределом: |
|||
а сi'Т |
- £сгп — • / / Т- ncls . |
' 1 . 6 5 ' ; |
|
|
г— о t JJ |
■ |
|
Здесь поверхность 6 |
., ограничивающая |
объем.Г |
, стягивается |
к рассматриваемой точке так, что ее площадь вместе_с величиной
объема с стремится к нулю. |
Компоненты вектора |
'г ~ |
получают |
||||||
ся путем дифференцирования |
компонент |
тензора |
|
по |
координа |
||||
там и свертывания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IC LL V T ). = |
-4-Li |
- |
п — |
/ f с |
7 |
|
(I.&') |
||
I |
'с |
дхк |
|
с~о |
у |
>" |
|
|
|
бот использовать выражение |
для |
оператора |
у |
, тоЖг.~л можно |
|||||
записать следующим образом: . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ЫгЧ Т= |
V Т: |
|
|
|
|
(I.-.'i7) |
|
Операция, соответствующая образованию вихря векторного по ля, к тензорным' полям 2-го ранга не применима.
Ковариантное дифференцирование тензоров. Выше было показа но, что ковариантные производные ко- и коктравариантных векторов равны:
_•<?£ ' |
- 8at |
дё< |
_ ■ до |
- ъ с / |
|
~дх* |
с “ д х * ^ ■°У д*л |
"дх* |
|||
да _ |
|
|
до-1 |
+ a Jr |
‘ |
|
<3г' |
J ' 0 § ‘'’ J x * |
|||
|
|
* |
|||
естественным обобщением формул для ковариантной производной век тора является определение ковариаитного Дифференцирования тензо ра 2-го ранга:
d t u
- t. г ' ” l
’д х е
|
- |
37 |
- |
|
a t £k |
тк _ |
/ |
tm |
к |
дхе * t |
^гпе |
|
|
|
|
|
|
(1.69) |
|
* * . t |
|
|
|
|
” Г С - t £ г ” . |
||||
А ' |
А те ^ |
т к? |
У |
|
|
|
|
|
|
Эти величины при изменении системы координат преобразуются как
соответствующие компоненты тензора 3-го ранга ( tu e - как ко-
вариантные; £ ** - как смешанные - дважды контравариантные, один раз ковариантиые и т.д.).
Ковариантныб производные тензора любого ранга определяются аналогично: первое слагаемое - это частные производные компонент тензора по координатам; остальные слагаемые (ихчйсло равно ран гу тензора) являются суммами произведений И8 компонент тензора и символов Кристоффеля 1-го рода. Причем индексом суммирования являются поочередно индексы компонент тензора и противоположный (верхний или ыижнии - в зависимости от "немого" индекса тензора) индекс символов Кристоффеля. Последние слагаемые входят с ми
нусом, если "немой" индекс компонент тензора "ковариантный"(ниж ний), и с плюсом, если "немой индекс у тензора - ’контравариантный" (верхний), т.е.
а л г |
|
■ 'л '' Г |
(1,70) |
д х ” |
|
Ковариантная производная от тензорап -го ранга является тензором ранга л+Х. В случае тензора нулевого ранга (скаляра), его ковариантная'производная совпадает с частными производными по координатам
/ . i |
(I.7I) |
|
д х ‘ |
Ковариантная производная от скаляра является ковариантным век тором (ковариантные компоненты градиента' скаляра).'Правила дифференцирования (ковариантного) суммы и произведения тензбров совпадают с правилами обычного дифференцирования, например, для тензоров 2-го ранга
|
- 3 8 - |
|
|
( * £ A f 6 u l e = a ;*.e |
, |
(1.72) |
|
|
|
|
|
( |
f m n h = a £*.e *mn |
* a iA |
• |
Ковариантная производная метрического тензора равна кулю (теорема Риччи). Это позволяет обращаться с компонентами метри ческого тензора как о постоянными при ковариантном дифференци ровании:
° л ° ft = '(?iea ' L ‘ |
, |
} |
|
|
C m / |
С т \ |
'-гп |
| |
( 1 .73) |
|
|
|
) |
|
ГЛАВА 2. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИИ
§ 2.1. Внешние и внутренние силы
Действующие на сплоиную среду силы подразделяются на внешние и внутренние. Внешние силы представляют воздействия на точки среды тел, не включенных в рассматриваемый объем V . Внешние силы мо гут быть массовыми или поверхностными.
Массовыми (объемными) называются силы, действующие на каж дую частицу среды. Вектор массовой силы, отнесенной к единице
массы, обозначается F |
; тогдауэ/дТбудет силой, действующей |
||
на элементарную uaccyyxz'f' в объеме olV , a |
- объемной силой, |
||
действующей |
на единицу |
объема. Примером массовой силы является |
|
сила тяжести |
** |
|
|
/?ж
где / - единичный вектор восходящей вертикали;
д- ускорение силы тяжести.
Кмассовый силан относятся силы инерции, "центробежные" си лы", силы магнитного притяжения.
Внеание поверхностные силы - силы, распределенные по поверх
ности $ объема V . Поверхностная сила, отнесенная к единице площади этой поверхности, обозначается р^ ; главный вектор и главный момент поверхностных сил
лр, =ffPi ds ; |
М =ff(ft * . . |
(2Л) |
s |
s |
|
Здесь als - элемент площади поверхности s ; R - радиус-вектор
точки приложения силы.
Примером поверхностной силы может служить гидростатическое
давление.
Воздействие частей среды друг на друга определяет поле вну тренних сил - поле напряжений в сплошной среде. Для перевода ин-
- а д -
тересующих нас внутренних сил в категорию внешних обычно исполь зуется метод сечений. Рассечем тело произвольной плоскостью на
две |
части А и в и часть 3 |
отбросим. В плоскости сечения выде |
лим |
элементарную площадку |
&F с нормалью ^ * Размеры'площадки |
малы по сравнению с размерами сечения, но велики по сравнении с размерами молекул н расстоянием, между ними. Эту площадку пересе кает больвое число линий действия внутренних сил, приложенных к
молекулам части |
А |
и выражающих действие отброаенной части в . |
|||||
Обозначив через др^ главный вектор этих сил, вовьмем отношение |
|||||||
лр^/ & F |
, которое можно назвать'средним напряжением внутренних |
||||||
сил в теле |
на площадке A F |
. Будем стягивать контур площадки/]/7 |
|||||
вокруг какой-либо |
точки М ; главный вектор внутренних сил будет |
||||||
тоже уменьшаться. |
Предел отношения д р 0/& F при |
дР -~ -0 называют |
|||||
напряжением Д, |
в |
точке М |
тела на площадке, лежащей в плос |
||||
кости сделанного сечения. Полное напряжение, Д , |
можно записать |
||||||
через проекции на координатное оси; |
|
|
|
||||
|
|
.2 |
* |
* |
2 |
2 |
(2.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь и в дальнейнем, если противное не оговорено, первый индекс обозначает ту ось, параллельно которой направлена составляющая напряжения, а второй индекс - нормаль к площадке, на которой дей ствует рассматриваемая составляющая.
§ 2.2. Теяаоо напряжений
Рассмотрим пример, связанный с описанием напряженного состояния среды в точке, которое привело к понятию тензора напряжений. От метим, что выражение "тензор напряжений” является тавтологией
( tensL o лат. - напряжение).
Напряженное состояние среды в точке считается известным, если известно напряжение на любой площадке, проходящей через дан ную точку» Таким образом,вектор напряжений р в среде является функцией точки и ориентации площадки, на1которой рассматривается напряжение,'т.е.
(2.3)