книги / Теория упругости. Ч. 1 Основные уравнения механики сплошных сред. Вариационные методы

В той не задаче о равновесии консольной балки под нагрузкой ин­ тенсивностью £ полагаем

Подставляем эту функцию в дифференциальное уравнение упругой линии балки, шеей

№ ~ Ы , а ( £ $ * & - § ( * * ) %

д ^ )

(6.57)

д а

Тогда согласно выражению (6,54)

{ [ * * & < “ а

Откуда

(6.5К)

Таким образом, опять подучено то же самое решение, которое для данной задачи дает метод Ритца. Изложенный метод удобен, прост и вместе с тем обеспечивает высокую' точность решения. Правда, при решении нелинейных дифференциальных уравнений получаются сложные выкладки.

§ 6.6. Метод Тсешюца

Идея метода заключается либо в требовании, чтобы взятый по ««'ей поверхности упругого тела интеграл от квадратичной ошибки при

получим интегралы упругого равновесия Ляме с приближенным удов­ летворением граничных условий. Это приближение тем точнее, чем . больше членов взято в формулах (6.59) и чем удачнее выбор част­ ных интегралов ( и с)т .

Если на поверхности тела заданы смещения, то удовлетворя­ ют граничный условиям в смещениях. Все остальное остается-подоб­ ным приведенному.

ГЛАВА 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ

Приведенные выше основные уравнения теории упругости заппсашл в декартовых прямоугольных прямолинейных координатах» Такая фор­ ма записи уравнений является широко распространенной, вывод п

начертание этих уравнений просты и в случае, когда ксслэдуомог. деформируемое тело ограничено наружными гранями, пароллелвошш той ели иной координатной плоскости, запись уравнений то ор ш

Однако при ремении задач на равновесно иди двыкенсо упруго­ го тела, ограниченного криволинейными поверхностями, прибегает к криволинейный координатам, которые подбирают так, чтобы возмож­ но проще были выражены тшннчиые условии задачу» Наиболее рас­

пространенными системами криволинейных координат являются поляр­ ные координаты на плоскости, цилиндрические иди сферические в пространстве. При этом следует выбирать криволинейные координаты таким образом, чтобы границы рассматриваемого тела входили в чис­ ло координатных поверхностей. Тогда краевые условия формулируют­ ся наиболее просто, что обычно облегчает построение решения.

В дальнейшей предполагается, что три рассматриваемые семей­ ства поверхностей повсюду пересекаются между собой под прямым углом, поскольку веортогональные криволинейные координаты приво­ дят, как правило, в весьма громоздким уравнениям, сдовным для ременмя. Правда, известны примеры, когда использование неортогональных криволинейных координат способствовало решению конкрет­ ных задач, однако эти примеры столь немногочисленны, что нет смысла рассказывать о них.

Три числа, задающие положение точки з пространстве и оооа- ■ачаамые д 2, ф* , называются ее криволинейными координата­ ми. Связь декартовых координат с криволинейными выражается тремя соотношениями:

Функции (7,1) предполагаются в области их задания непрерывными, однозначными и имеющими непрерывные частные производные до треть­ его порядка включительно.

Преобразование (7,1) определяет три семейства поверхностей

д п = ; координатные линии предстазляют кривые, по которым пересекаются координатные поверхности. При х ,= д ’ хг шд г/ x3 ~ g s

говорят о прямоугольной декартовой омотемо координат. Для цилин­

натными линиями в пересечении соответствующих пар поверхностей

из центра 0 полупрямые [Я] и меридианы. [#] (рис. 7.2).

Рис. 7.1

ння соответствующих координат. Этот бавис называется локальным (местным) базисом (репером). Отметим, что в случае декартовой

- 117 -

системы координат (прямоугольной и косоугольной), базисные век­ торы совпадают для всех точек пространства. Этим свойством об­ ладает только декартова системакоординат. Для любой криволиней­ ной системы координат базисные векторы различны для различных точек пространства (подвижный координатный базис).

Рассмотрим квадрат длины дуги S между двумя бесконечно близ­

кими точками q c и q L + д р с в системе координат с базисом

% (% > % /% ) • Получим

составляют тензор второго ранга (так называемый метрический тен­

зор). Он является основной характеристикой пространства, арифмотизированного введенной системой координат с базюом ( e / j e2 } ej ).

Используя„обозначения (7.7), имеем

Квадрат длины элементарной дуги соответственно для декар­ товой системы прямоугольных координат, для цилиндрической и сферической запишется так:

d s 2= d x 2/ d x * + d x 2 у

'd s 2= d r г+ r 2d</>2 + d z 2;

о1зг =а1.й‘ + Я гс 1 в г+ Я гзСл\9ЫЛ*.

Отсюда видно, что для прямоугольных декартовых зоордмис вое коэффициенты Ляке равны одеяние, дин иншядрическей системы ко­ ординат имеем

Если непосредственно определить квадрат элемента дуги представ­