книги / Теория упругости. Ч. 1 Основные уравнения механики сплошных сред. Вариационные методы

-II

"C22t? 4, * c22 2 2 ***VJ>4.5 'C2 3 & 4* * ^<?5/4/ *

Формула (1,1) применительно к единичным векторам запнется так:

Тогда, подставив (1.3) в (I.I)fполучим закон-преобразования проекций векторов:

Здесь учитывается соотношение связи косинусов углов между ося­ ми новой и отарой систем:

( i V )

Таким образом, вектор - величина, определяемая в любой си­ стеме координат тремя числами (ждя функциями) а£ , которые при изменении пространственной системы координат преобразуются в

по эакону

- .1 2 -

Три величины а. являются компонентами вектора. Коли а с- обра­ щаются в нуль в какой-либо системе координат (вектор равен ну­ лю), то они равны нулю и в другой системе вследствие однород­ ности закона преобразования.

Некоторые геометрические объекты,, а также многие физичес­ кие свойства, требуют для своей характеристики более трех чисел (функций). Это приводит к понятию следующего за вектором по слои

(компонент) и определяютоя тензором второго ранга. Совокупностью 6 J *27 компонент можно характеризовать пьезоэлектрические

свойства кристалла - это телэор третьего ранга. Упругие свойства анизотропного тбла определяются тензором четвертого ранга - со­ вокупностью 3 =61 чисел (компонент). Тензорон ранга Л назы­ вается совокупность велжчнн 3 * •

- 1 3 -

Пусть-в системе дх, х2 хл линейная зависимость между компо­ нентами векторов Q и 6 запишется согласно (1.7) как

Сравнивая это выражение с (1.10), подучим в силу произвольности вектора $

Справа в этом выражении стоит двойная оумиа по £ и т от I до 3. Таким образом, тензор 2-го ранга - это величина, определяе­

мая в любой системе координат девятью числами (или функциями)^, которые при иамененин системы координат ^ в Л преобразуются по 88К0НУ (1.12). В е л и ч и н ы я в л я ю т с я компонентами тенвора 2-го ранга. Бели Qik обращаются в нуль в какой-либо системе коорди-

- » -

нат, то они равны нулю в любой другой системе вследствие одно­ родности преобразования (I.I2).

Нельзя отождествлять матрицу с тензором. Тензор - самостоя­ тельная физическая величина, задание которой требует знания матрицы. Определитель матрицы является одним из инвариантов тен­ зора.

Тензором к -го ранга называется совокупность величин а£гС , ^ которые при преобразовании координат преобразуются по формулан

Запись закона изменения компонент тензора при переходе от одной системы к другой в форме (I.I2) показывает преимущества тен­ зорной записи. Так, уравнения (I.I2) в развернутом виде записы­ ваются следующим образом:

<2„ = Ы о/ Q..

т.е. всего девять уравнений с девятью слагаемыми в правой части. Закон изменения компонент тензора четвертого ранга запишется в виде 81 уравнения.

§ 1.2. Основные операции с тензорами

Закон преобразования тензоров при изменении системы координат связан с тонятмм инвариантности уравнений относительно коорди­ нат, Под инвариантностью уравнений обычно понимается веяэменяемость их вида при переходе от одной системы координат к другой.

Инваржантность уравнений, описывающих тот или иной физичес­ кий закон, является их непременным свойством, ибо закон должен иметь одну м ту же формулировку в любой системе координат вслед­ ствие однородности и изотропности реального пространства. Для инвариантное» уравнений необходимо, чтобы все тензоры, которые входят в виде слагаемых в' это уравнение, были т/наорами одного раита. Вектор не может быть сложен со скаляром, тензор 2-^го ран-

- 15 -

га с вектором и т.д. Это положение имеет такой же универсальныйхарактер, как и положение об одинаковой раамерности слагаемых в уравнениях.

Сложение тензоров. Пусть QiM и б6А. - два тензора 2-го ранга. Составим числа ссА в виде сумм соответствующих компонент тензоров:

ция образования его компонент - сложением этих тензоров. Прави­ ло сложения относится к любому числу тензоров любого.ранга.

Таким образом, суммой тензоров одного ранга называется тензор того же ранга, компоненты которого равны суыме соответ­ ствующих компонент слагаемых. Очевидно, что складывать можно только тензоры одного ранга.

Аналогично понятию суммы вводится понятие разности двух тензоров.

Умножение тензоров. Пусть имеется два тензора <зсА: и <SiA.. Составим в. каждой координатной системе всевозможные произведения компонент одного тензора на компоненты другого.

CiKSm ~ а СЛ ^Сгг>

Числа ciKght образуют тензор 4-го ранга. Поскольку

ленив некоммутативно. Правило умножения относится к любому числу тензоров любого ранга и строения.

Произведением.нескольких тензоров называется тензор, компо­ ненты которого равны произведениям компонент сомножителей. Ранг

произведения тензоров равен сумме рангов сомножителей. Свертывание тензоров. Свертыванием называется суммирование

компонент тензора по двум каким-либо индексам. Можно производить свертывание тензоров, рангкоторых не менее двух.

В результате свертывания тензора оо другим индексам полу­ чим суммы QtM£, • Таких сумм каждого вида будет три. .Напри­ мер,. для Qiee, имеем:

-17 -

шш по паре индексов, например, <- и £ , если компоненты, подучаю­ щиеся при перестановке этих индексов, равны друг другу, т.е.

Трваор второго ранга именуется симметричным, если он равен своему транспонированному:

а ..

у

Тензор а£уЛ- называется антисимметричным по паре индексов, если ври ж поростановве компоненты меняет знай, т.е.

у антисимметричного (кососимметричного) тензора компоненты с равBurib пндеасамп, по которым имеет место антисимметрия, равны нулю.

Свойство симметрий (антисимметрии) не зависит от выбора систе­ мы координат.

СшшатричиыЙ и кососиыметрнчный тензоры второго ранга имеют

- 18 - порядок нарушен. В- этом случае антисимметричный тензор ыске? быть записан как

симметричного топора перестановка индексов не меняет атот тен­ зор.

Смммвтрмрованяем навываетоя операция перестановки пары ин­ дексов ж последующее олохенже подученного тензора с исходным. При етои получается симметричный тензор относительно принятой пары индексов.

Альтернароваякам называется операция нерестановкя пары ин­ дексов к последующее анчххаяке полученного тензора кз коходкого. Пря этом подучатся аитюимметрячнмй тензор относительно при­ мятой пары индексов. Как было показано выражением (1.И-), симме­ тричная часть $ск тензора i £A равна половнне от результата сим-

- 19 -

§1.3. Основные понятия тепаооной в косоугольном базиса (репера) "

Одним пв важнейших достоинств векторного (тензорного) исчисления является тс, что уравнения,описывающее какое-либо физическое явление, можно формулировать безотносительно к координатным систоиш.и Однако при ревевши конкргтиых зап^ч, связанных с вычжслеиияып, каждую задачу обычно преобразовывают к виду, содержа­ щему омалярные величины. Это можно сделать, пользуясь удобной системой координат, когда тензорное (векторное) уравнение раз­ лагается на эквивалентную систему скалярных уравнений, содержа­ щих только скаляры (чиола), подчиняющиеся правилам арифметичес­ кого очета.

Каждое такое разложение связано с определением подходяще­ го бависа, который строится в соответствии с выбранной системой координат. Базис - это координатные векторы, пря помощи которых вадаетоя направление координатных линий.

Векторный базис. Базис трехмерного пространства образуется системой любых трех линейно независимых векторов <?,,ёл ,ёл . Трой­

Причем коэффициенты раэдожавия определяются единственным обра­ зом.

В качестве базиса могут быть выбраны три любых иекоипханар-

торов, отложенных от начала координат, - единичными теэд&с осей координат.

Если базисные векторы ^взаимно ортогональны к моду­ ли кх равны..единице, то они называются ортами прямоугольной

декартовой системы координат и обозначаются сг, ^?,£(рис. 1.2).- При решении конкретных задач обычно пользуются ортогональ-

-ними системами координат: прямолинейной (довартовой) аля f-рпзо- линейными (цилиндрическими, сферическими, эллпптичоскшп и т.д.)-

Впрямолинейной системе координат бааионые векторы одинаковы во всех точках по величине и направлению; в криволинейных - направ­ ления баимсных векторов меняются от точки к точке. Многие свой­ ства систем координат становятся значительно яснее, если рассма­ тривать их как предельный олучай обобщенных криволанойных коор­ динат, базио которых не прямоугольный, а координатные линии не прямее линии.

Рассмотрим три некомпланарных вектора er , e 2 ,eJb Это не еди­

ничные и не вваныно ортогональные векторы; Объем паралделепнпе-

произведение предетавляет собой объем парадделепмоеда оо знаком

(+) или (-), в завиоимооти от того, будет острым или тупым