книги / Теория упругости. Ч. 1 Основные уравнения механики сплошных сред. Вариационные методы

- 21 -

Два базиса называются биортогональными (взаимными), если их векторы удовлетворяют соотношению

В рассмотрение вводятся такие скалярные произведениявекторов основного и взаимного базисов:

(I.2C)

Векторы ё* расположены под произвольными углами друг к другу (косоугодъшщ система координат) и модула их могут отличаться от единицао

Из определения биортогональных базисов следует, что каж­ дый вектор одного базиса перпендикулярен к двум векторам взаимно­ го, а с третьим вектором.того же индекса составляет острый угол.

пяы другого,-и наоборот* Следовательно,базис, взаимный со взаимным-

основной.

Взаимный базис может быть построен по основному ё„

- 25 -

9J> 9*2 Уз*

Физически -\/в представляет собой обьем параллелепипеда, построен­ ного на векторах основного базиса, а - на векторах взаимного базиса.

Ортогональные системы координат получили наибольшее распростра­ н и в в приложениях, поэтому рассмотрим случай ортогональных ба­ зисов. В этой случае из величин (I.I9), (1.20) отличны от нуля

Или

* * V « e *; Qs m9 s s ° , l

Метрический тензор в случае ортогонального триэдра базис­ ных векторов являетсядиагональныы, т.е. его ковариантные компо­ ненты равны:

гональные декартовые координаты (ортогональный триэдр - единич­ ных векторов i.A ) не было нужды в различении верхних и нижних индексов. Б общем тензорном анализе оно должно последовательно проводиться; "немые" индексы всегда располагаются один сверху, второй снизу, а свободные индексы имеют одинаковое расположение в левой и правой частях формулы. Суммирование может производить­ ся только по разноименным (верхний и нижний) "немым" индексам.

§ 1.4. Тензоры в обобщенных координатах

Поскольку вектор (тензор 1-го ранга) полностью определяется в системе обобщенных координат, задаваемой или произвольным неортогоцадьным бааисом, .или тремя ковариантными компонентами а (- , или тремя конхравариантыими компонентами а 1%можно рассматри­ вать соответствующие компоненты .тензора 2-го ранга*.

Ковариантные. контраваоиантные .и смеианные компоненты тензоров.*С помощью.векторов основного и взаимного базисов мож­

определяют ко-, контра-,' контрако- и кокоытравариаытные компо­ ненты этого тензора. Точка в обозначениях смешанных компонент

применением только декартовой*'системы прямоугольных координат. Тензор 2-го ранга - это величина, полностью определяемая

в любой системе координат 9 числами (или функциями), вазы ваемымн компонентами.' Эти компоненты могут быть ковариантнынн Qik ,контравариануныыи a lA , смешанными а * , . При изме­ нении пространственной системы координат эти компоненты преоб­

- 29 -

Qt* = 9ле.а с = -

шанные компоненты, один рае контравариантные и дважды ковариантные и т.д.

Операция поднятия и опускания индексов. Под этой операцией понимают правило получения одних компонент тензора через другие при помощи оператора - метрического тензора. Правило заключается в том, что "поднимаемый" ("опускаемый") индекс переходит в мет­ рический тензор, а на то место, куда он должен быть поднят (опу­

щен) , ставится "немой" индекс суммирования; вторым "немым" ин­ дексом. суммирования является свободный индекс метрического тен­

зора. Например,

нет нужды указывать место индекса смешанных компонент, так как

=р * = р * . Свойство тензора быть 'сшй!етричным инвариант­

но по отношению к выбору багиса: тензор, симметричный в ортого­ нальном баэнса единичных векторов ‘s. оставтся симметричным в косоугольном базисе.

Правилу инвариантности тензорных уравнений, упоминаемое выое, должно быть дополнено требованием, чтобы все тензоры, входящие в уравнение в виде слагаемых, имели не только одинако­ вый ранг, но и одинаковую "ковариантность". Ковариантные ком<- поненты нельзя складывать о контравариантными, а смешанные ком-

- 30 -

помета йожно складывать только тогда, когда они иноэт одина­ ковое строенье, т.е; QL и и т.д.

Поскольку -компоненты тенвора любого ранга п могут быть представлены в трехмерном пространство в виде суммы произволе­ ний компонент .трех векторов, то естественно^ понятие "физичес­ ких” компонент вектора йокет распространяться и на физические компоненты тензоров 2-го.и высших рангов. Под фнзическаыы ('фак­ тическими") компонентами вектора понимаются компоненты, размер­ ности которых совпадают с размерностями.рассматриваемого вектора. Правда, почти.всегда все вычисления производятся с обычными ко- и'-контравариантныыи компонентами н только в конце, если.нужно, делается пересчет на физические компоненты.

В пространстве с заданной метрикой всякая физическая пли геометрическая величина может быть представлена компонентами любого строения. Поэтому, если определены какие-либо компоненты тензора, то по формулам, аналогичным (1.44)* всегда иокно найти его компоненты любого другого строения.

§ 1.5. Основы тензорного анализа

Физические свойства материала, имеющие тензорный характер, мо­ гут меняться как с течением времени, так и от точки к точке в некоторой части пространства. Это приводит к расскотрзвнз тензорфункции скалярного аргумента и радиуса - вектора точки:

* а - * « ( * ‘ * )-

Рассмотрение дифференциальных и интегральных операций над тензорфункциями составляет предмет тензорного анализа.

О тонаор-функции говорят, что она задана, если каждому до­ пустимому численному значению скалярной величины t соответству­ ет одно вполне определенное значение тензорной величины .t ik .

Тензорный анализ является наиболее вахвой частью тензорного ■счисления, поскольку не отдельные тензоры, а тензорные поля важны в приложениях. Конечно,' все операции тензорной алгебры справедливы и для тензоров, образующих поля, если считать, что алгебраические операции производятся над тензорами поля в каж­ дой точке пространства* Hanptaiep, сложение тензоров двух полей