книги / Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел

Рис. 6.4. Зависимость надежности от вероятности микроразрушения

Рис. 6.5. Зависимость надежности от вероятности микроразрушения в об­ ласти малых значений величины р11

Неизвестную постоянную а определим из условия равенства мо­ мента <со*>, вычисленного с учетом (6.3.8) по формуле

1

<С0* > = ^ G>*/((D*)dG)*

о

и по формуле (6.1.2).

Если предположить, что со11 (f, t) есть однородная случайная функция пространственной координаты г, то ри (t) = <con (f, t)y и <(о* (t)} = рп (t). Тогда

Используя явное выражение для плотности вероятности (6.3.8) при выполнении (6.3.9) для вероятности макроразрушения из (6.1.10), получим

Формула (6.3.10) имеет принципиальное значение, так как свя­ зывает вероятности микро- и макроразрушения, причем очевидно, что рп (t) = р1 (t) только для абсолютно хрупких материалов, а в общем случае рп (£)Ф pl (t). Вероятность рп в (6.3.10) находится из решения стохастической краевой задачи и структурного кри­ терия прочности, а критическое значение макроповреждаемости определяется из (6.3.6). Как видно из (6.3.6), о)*р не является новой дополнительной константой материала, а выражается через известные предельные макроскопические постоянные.

На рис. 6.4 и 6.5 приведены графики, иллюстрирующие за­ висимость надежности N безотказного сопротивления разрушению

101

0,9792, при этом вероятность микроразрушения равна 0,2-10~4; 0,143-10~2; 0,51 -10“2 соответственно.

6.4.Оценка работоспособности системы «жесткая оболочка—заполнитель»

Рассмотрим пример численной оценки работоспособности кон­ струкции из композиционного материала. Пусть полый толсто­ стенный цилиндр из высоконаполненного эластомерного компо­ зита, имеющий длину 2Z, внешний радиус Ь, внутренний — а, по боковой поверхности скреплен с абсолютно жесткой оболочкой (рис. 6.6). По торцам и внутренней поверхности цилиндр нагружен равномерным давлением q. Композит представляет собой низко­ модульную изотропную матрицу с модулем сдвига G = 3,2-105 Па и коэффициентом Пуассона v = 0,45, хаотически наполненную одинаковыми жесткими сферическими включениями с относитель­ ной объемной концентрацией последних р = 0,5. Критерием проч­ ности для матрицы является критерий Баландина [25]

где а+ = 5-105 Па, а. = 20-105 Па — пределы прочности на рас­ тяжение и сжатие,

Gu — 011 -f- 022 + 033--- 0Ц022 ---

композита о)*р = 0,13.

Решение задачи разобьем на сле­ дующие этапы.

1. Вычисление макроскопических свойств. В гл. 2 для поля структур­ ных модулей упругости эластомерного композита с абсолютно жесткими

Рис. 6.6. Система «жесткая оболочка—за­

полнитель»

102

где Cij^n — тензор модулей упругости матрицы; у! = у — <х) — пульсация индикаторной функции; р* = р/0,64 — приведенная объемная концентрация включений.

В этой же главе на основе решения стохастической краевой задачи получены формулы для вычисления постоянных Ляме тензора макроскопических модулей упругости эластомерных ком­ позитов, согласно которым

ния напряженно-деформированного состояния однородного ци­ линдра с жесткой оболочкой изложена в работе [32]. Граничные условия краевой задачи на макроскопическом уровне имеют вид

В табл. 6.2 приведены значения компонент безразмерного тен­ зора макронапряжений а г7- = ofj/q в характерных точках кон­ струкции (см. рис. 6.6). Расчеты были поведены при геометричес­ ких параметрах конструкции Ыа = 3, ИЪ = 2.

Т А Б Л И Ц А 6 .2

МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ НАПРЯЖ ЕНИЯ В ХАР АК ТЕ РН Ы Х ТОЧКАХ КОНСТРУКЦИИ

3. Построение плотностей распределения структурных напря­ жений. Из решения стохастической краевой задачи теории упру­ гости (гл. 2) следует

103

где тензор J определяется по формуле (2.4.6), е* — макродефор нации, соответствующие рассчитанным макронапряжениям. Тен­ зор С' (г) в соответствии с выражением (6.4.2) для эластомерного композита запишем в виде

а для пульсаций этого тензора с учетом (6.4.2), (6.4.4) получим

В формулах (6.4.6) и (6.4.7) макронапряжения а* и макроде­ формации e|j связаны с напряженным и деформированным состоя­ нием того элементарного макрообъема, внутри которого отыски­ вается распределение структурных напряжений.

Одномерные плотности распределения структурных напря­ жений можно построить, вычисляя по пульсациям (6.4.7) централь­ ные моменты второго, третьего и высших порядков. Переход от центральных моментов к плотностям распределения осуществля­

Удерживая первые три члена ряда Эджворта, для плотности рас­ пределения величины р будем иметь

в точке С конструкции (см. рис. 6.6), соответствующие макрона­

пряжениям а* в этой точке.

Для данной конструкции обнаружен интересный физико-меха-

104

Ш

Рис. 6.7. Плотности вероятностей структурных напряжений

1 — для осевых напряжений <т2,

2 — для окружных напряжений рф

Рис. 6.8. Распределение макро­ напряжений (сплошные линии) и среднеквадратических отклоне­ ний структурных напряжений (штриховые линии) на поверхно­ сти цилиндра, скрепленной с оболочкой

1— для радиальных напряжений,

2 — для осевых напряжений

Рис. 6.9. Плотность вероятностей функции структурного разруше­ ния

нияеский эффект. На рис. 6.8 изображены графики распределения

радиальных ар и осевых oz макронапряжений по поверхности цилиндра, скрепленной с оболочкой, а также соответствующие им <среднеквадратические отклонения структурных напряжений. Ока­ палось, что при минимальном по модулю значении макронапря­

жения о* в точке С конструкции дисперсия радиального струк­ турного напряжения в этой точке максимальна. И наоборот, мак­ симальному значению осевого макронапряжения соответствует ми­ нимальная дисперсия осевого микронапряжения. Это означает, что прочностной расчет, проведенный по найденным макронапряжзниям без исследования структурных полей деформирования, может привести к результатам, неадекватным реальной физичес­ кой каргине разрушения конструкции из композиционного материала.

4. Определение вероятности структурного разрушения. Расчет вероятности структурного разрушения ри целесообразно прово­ дить в наиболее опасных точках конструкции, которые легко вы­ делить по значениям макронапряжений. Исходя из критерия

105

Литература

1. А кселърад Д . Р. Микромеханика материала со структурой.— В кн.: Теоретическая и прикладная механика: Тр. 14-го Междунар. конгр.

ШТАМ . Делфт. М.: Мир, 1979, с. 251—275.

2.Александров К . С. К вычислению упругих констант квазиизотропных

№ 4, с. 3 5 - 4 2 .

15.Вавакин А . С ., Салганик Р . Л . Эффективные упругие характеристики

107

19.Ванин Г. А . К основам теории композиционных материалов с неупоря­ доченной структурой.— Прикл. механика, 1983, т. 19, «N*2 3, с. 9—18.

20.Вентцелъ Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1964. 576 с.

21.Волков С. Д. Некоторые задачи статистической механики композитных

материалов.— Механика композит, материалов, 1979, № 5, с. 893— 899.

22.Волков С. Д ., Соколкип Ю. В. О нелинейной ползучести пластиков при: случайных нагрузках.— Механика полимеров, 1968, № 2, с. 237—245.

23.Волков С. Д., Ставров В. Я. Статистическая механика композитных материалов. Минск: Изд-во Белорус, гос. ун-та, 1978. 206 с.

24 Геракович К. Неупругие свойства композиционных материалов. М.: Мир, 1978. 295 с.

25.Голъденблат И. И ., Бажанов В. Л ., Копнов В. А . Длительная прочность

вмашиностроении. М.: Машиностроение, 1977. 248 с.

26.Горбачев В. И. Эффективные механические характеристики неоднород­ ных тел с периодической структурой.— В кн.: Упругость и неупругость.

М.: Изд-во МГУ, 1977, вып 5, с 7 -1 1 .

27.Григорян С. С. Об осреднении физических величин.— ДАН СССР,.

1980, т. 254, № 4, с. 1081—1085.

28.Грингауз М . Г., Филъштинский Л. А . Теория упругого линейно-ар­

мированного композитного материала.— ПММ, 1975, т. 39, вып. 3,

с.671—680.

29.Даниловская В. В ., Федоров А . С., Черномордик М. Е. Микронапряже­ ния, возникающие в модели однонаправленного композита при растя­ жении в направлении, перпендикулярном волокнам.— В кн.: Проч­ ность судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1978, с. 23—27.

30.Дудукаленко В. В ., Мешков С. И ., Сараев Л, А . К расчету эффектив­ ных характеристик пластичности неоднородных сред.— ПМТФ, 1979, № 5, с. 150—154.

31.Дунаев И. М . Разрушение эластомеров.— В кн.: Механика эластоме­ ров. Краснодар: Краснодар, политехи, ин-т, 1981, с. 24—33.

32.Елтышев В. А ., Поздеев А . А ., Соколкип ТО. В. О совместной работа системы «ортотропная стеклопластиковая оболочка—наполнитель».— Механика полимеров, 1976, № 5, с. 931—934.

33.Жигун И. Г., Полякова В. А . Свойства пространственно-армированных пластиков. Рига: Зинатне, 1978. 214 с.

34.Иванов В. Я ., Соколкип Ю. В ., Ташкинов А . А . Структурный анализ упругопластического деформирования однонаправленных волокнистых композитов.— В кн.: Тез. докл. V Всесоюз. конф. по композиционным материалам. М.: Изд-ео МГУ, 1981, вып. 1, с. 174—175.

35.Иванов В. Я ., Ташкинов А . А . Расчет полей структурных напряжений

в микронеоднородных упругих средах с регулярной структурой.— В кн.: Структурные превращения в полимерных и жидких кристаллах. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1981, с. 120—123.

36.Иванов В. Я ., Ташкинов А . А . Метод исследования полей температур­ ных напряжений в матричных композитах.— В кн.: Структурная меха­

ника неоднородных материалов. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982,

с. 62-68.

37.Иванов В. Я., Ташкинов А . А . Физически нелинейные задачи механики структурно неоднородных сред.— В кн.: Структурная механика неодно­ родных материалов. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982, с. 109—117.

38.Ильюшин А . А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации. М.; Л.: Гостехиздат, 1948. 376 с.

39.Ильюшин А. А . Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1978. 287 с.

40.Ильюшин А . А ., Победря Я. Е. Основы математической теории термо­ вязкоупругости. М.: Наука, 1970. 280 с.

41.Ильюшин А . А ., Поспелов И. Я. О методе последовательных приближе­ ний в задаче неустановившейся ползучести.— Инж. журн. Механика

тЕерд. тела, 1964, т. 4, № 4, с. 697—704.

1 0 8

42.Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных. М.: Наука, 1966. 260 с.

43.Канаун С. К. О приближении самосогласованного поля для упругой композитной среды.— ПМТФ, 1977, № 2, с. 160—169.

44.Качанов Л. М . Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 311 с.

45.Келли А. Высокопрочные материалы. М.: Мир, 1976. 261 с.

46.Кишкин Б. П. Конструкционная прочность материалов. М.: Изд-во МГУ, 1976. 184 с.

47.Козлов С. М. Осреднение случайных структур.— Мат. сб. Н. С., 1979,

т. 109 (151), с. 188—202.

48- Колтунов М . А . Ползучесть и релаксация. М.: Высш. шк., 1976. 277 с.

49Композиционные материалы: В 8-ми т. Т. 2. Механика композиционных материалов/Под ред. Дж. Сендецки. М.: Мир, 1978. 556 с.

50Композиционные материалы: В 8-ми т. Т. 5. Разрушение и усталость/ Под ред. Л. Браутмана. М.: Мир, 1978. 484 с.

51.Кольев И . М ., Овчинский А. С. Разрушение металлов, армированных волокнами. М.: Наука, 1977. 240 с.

54.Левин В. М . О коэффициентах температурного расширения неоднород­ ных материалов.— Изв. АН СССР. МТТ, 1967, № 1, с. 88—93.

55.Левин В. М. О концентрации напряжений на включениях.— ПММ, 1978, т. 41, вып. 4, с. 610—616.

56.Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 415 с.

57.Лифшиц И. М., Розенцвейг Л. Н. К теории упругих свойств поликрис­

таллов.— ЖЭТФ, 1946, т. 16, вып. 11, с. 967—980.

58Лифшиц И . М Розенцвейг Л. Н. Поправка к статье «К теории упру­ гих свойств поликристаллов».— ЖЭТФ, 1951, т. 21, вып. 10, с. 1184.

59.Ломакин В. А. О деформировании микронеоднородных упругих тел.— ПММ, 1965, т. 29, вып. 5, с. 888—893.

60.Ломакин В. А . Статистические задачи механики твердых деформируе­ мых тел. М.: Наука, 1970. 139 с.

61.Ломакин В. А. Зависимость прочности композитных материалов от

структурных параметров.— Механика композит, материалов, 1979,

№ 2, с. 291—296.

62.Малмейстер А . К., Тамуж В. П., Тетере Г. А. Сопротивление поли­ мерных и композитных материалов. Рига: Зинатне, 1980. 572 с.

63 Мельников С. В ., Соколкин Ю. В. Свойства случайных полей приме­ нительно к задачам механики стохастически неоднородных сред.— В кн.: Упругое и вязкоупругое поведение материалов и конструкций. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1981, с. 113—118.

64Механика композитных материалов и элементов конструкций: В 3-х-

т.Т. 1. Механика материалов/А. Н. Гузь, Л. П. Хорошун, Г. А. Ва

нин и др. Киев: Наук, думка, 1982. 368 с.

65 Милейко С. Т. Микро- и макротрещины в композитах.— Механика композит, материалов, 1979, № 2, с. 276—279.

66. Миллионщиков М. Д. Вырождение однородной изотропной турбулент­ ности в вязкой несжимаемой жидкости.— ДАН СССР, 1939, т. 22,

№5, с. 236—240.

67.Миллионщиков М. Д. К теории однородной изотропной турбулентнос­ ти.— ДАН СССР, 1941, т. 32, № 9, с. 611-614.

68.Миллионщиков М . Д. О влиянии третьих моментов в изотропной тур­ булентности.— ДАН СССР, 1941, т. 32, № 9, с. 615—617.

69.Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика: Механика турбулентности. М.: Наука, 1965. Ч. 1. 421 с.

70 Москаленко В. Я., Масленников С. М . Свойства корреляционных функций локальных характеристик микронеоднородных материалов.—

Вкн.: Проблемы надежности в строительной механике. Вильнюс, 1971,

с.147—159.

71.Москвитин В. В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Нау­ ка, 1972. 281 с.

109

72.Немец Я ., Сервисен С. В ., Стреляев В. С. Прочность пластмасс. М.: Машиностроение, 1970. 335 с.

73.Нигматулин Р. И . Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука,. 1978. 336 с.

74.Николаевский В . Я. Построение континуальных моделей сред с микро­ структурой методом осреднения.— В ки.: Проблемы осреднения и по­ строения континуальных моделей в механике сплошной среды. М.: Ин-т пробл. механики АН СССР, 1980, с. 78—82.

75.Новожилов В. В. О связи между напряжениями и упругими деформа­ циями в поликристаллах.— В кн.: Проблемы гидродинамики и механи­ ки сплошной среды. М.: Наука, 1969, с. 365—377.

76.Новожилов В . В. О связи между математическими ожиданиями тензоровнапряжения и деформации в статистически изотропных однородных упругих телах.— ПММ, 1970, т. 32, вып. 1, с. 67—72.

77.Обухов А . М. Статистическое описание непрерывных полей.— Тр. Геофиз. ин-та АН СССР, 1954, вып. 24, с. 3—12.

78.Палъмов В. А . Колебания упругопластических тел. М.: Наука, 1976. 328 с.

79.Панасенко Г. Н. Асимптотики высших порядков решения задач о кон­ такте периодических структур.— Мат. сб. Н. С., 1979, т. 110 (152),. вып. 4, с. 505—538.

80» Писаренко Г. С., Лебедев А. А . Деформирование и прочность материа­ лов при сложном напряженном состоянии. Киев: Наук, думка, 1976.

415с.

81.Победря В. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1981. 344 с.

82.Победря Б. Е. О численных методах решения некоторых задач упругих

ивязкоупругих композитов.— В кн.: Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: (Материалы VII Всесоюз. конф.). Новосибирск: ИТиПМ СО АН СССР, 1982, с. 8—17.

83.Победря Б. Е ., Шешенин С. В. Некоторые задачи о равновесии упруго­ го параллелепипеда.— Изв. АН СССР. МТТ, 1981, № 1, с. 74—86.

84 Пугачев В. С. Теория случайных функций. М.: Физматгиз, I960. 88Я с.

85.Работное Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наукйг, 1966752 с.

86.Работное Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. 383 с.

87Разрушение: В 7-ми т. Т. 2. Математические основы теории разрушения/ Под ред. Г. Любовица. М.: Мир, 1975. 649 с.

88Разрушение В 7-ми т. Т. 7. Разрушение неметаллов и композитных материалов. Ч. 1. Неорганические материалы/Под ред. Г. Либовица. М.: Мир, 1976. 633 с.

89.Регель В. Р., Лексовский А . М ., Поздняков О. Ф. Изучение кинетики разрушения композиционных материалов.— Механика композит, ма­ териалов, 1979, № 2, с. 211—216.

90Регель В. Р . Исследования по физике прочности композитных материа­ лов: Обзор.— Механика композит, материалов, 1979,,№ 6, с. 999—1017.

91Регель В. Р., Тамуж В. П. Разрушение и усталость полимеров и ком­

Алма-Ата, 1981, с. 322.

1 1 0