книги / Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел

сти со можно генерировать произвольно заданными на бесконеч­ ности области Q напряжениями

Рассмотрим вопрос о минимальном количестве окружающих центральный элемент со области Q слоев типовых элементов, не­ обходимом для получения достоверного результата решения пе­ риодической задачи (3.1.1) — (3.1.3). Следуя принципу локаль­ ности, можно предположить, что достаточно ограничиться только одним окружающим слоем.

Для проверки этого предположения был проведен ч и с л е н н ы й эксперимент. Одно и то же решение периодической задачи полу­ чено в центральном элементе со области Q с одним и двумя окру жающими слоями типовых элементов. Естественно, что граничные условия краевой задачи для области Q различны для разного числа окружающих слоев. Другими словами, значения компонент тензора Ацтп в равенстве (3.1.10) зависят от выбранного числа окружающих элемент со слоев типовых элементов.

Варьирование в процессе численного эксперимента в широком диапазоне упругих свойств и относительной объемной концентра­ ции элементов структуры позволяет сделать вывод о том, что периодическую задачу о деформировании среды с регулярной структурой можно свести к краевой задаче для области, в центре которой находится конечное (причем достаточно малое) число типовых элементов.

При реализации краевых задач для области Q не всегда удается воспользоваться аналитическими методами. С точки зре­ ния удобства применения численных методов область Q можно ограничить произвольной поверхностью Га, на которой задает­ ся однородное распределение напряжений:

где о и определяются из (3.1.10) Для того чтобы исключить влия­ ние границы Га на упругое поле в центральном элементе со, ха­ рактерный размер области Q должен быть в 2,5—3 раза больше, чем характерный размер ансамбля со^.

Перейдем теперь к примерам решения периодических задач теории упругости для сред с регулярной структурой методом ло­ кального приближения. Рассмотрим деформирование однона­ правленного композиционного материала матричного типа, струк­ тура которого в поперечной плоскости характеризуется ячейкой типа «квадрат в квадрате» [49, 122). Условия нагружения: макро­ скопически одноосное растяжение оД = при плоском деформи­ рованном состоянии (е33 = 0). Относительная объемная концен­ трация волокон р варьировалась во всем диапазоне от 0 до 1.

51

На рис. 3.5, а показано распределение напряжений и инва­ риантов тензора напряжений в матрице и включении композита при малой концентрации волокон, на рис. 3.5, б — в ячейке периодичности при р — 0,2, а на рис. 3.5, в — в ячейке периодич­

мягкие волокна».

3.2. Термоупругая задача для сред е регулярной структурой

Рассмотрим периодическую задачу несвязанной термоупру­ гости о медленном однородном изменении температуры на вели­ чину ЛТ неоднородной среды матричного типа. Систему уравне­ ний такой задачи можно представить в виде

где a — тензор коэффициентов теплового расширения.

52

Рис. 3.6.

Макроскопические модули Юнга

Рис. 3.7.

Макроскопические коэффициенты Пуассона

При изотропных элементах структуры физические уравнения системы (3.2.1)

°,j П = Ь (г) [еоа (г) - За (г) АТ] 6У + 2|х(^) [eij (г) - а (?) АТ6У]

содержат кусочно-непрерывную периодическую функцию а (г), причем a,ij (г) = а (г)

Если макроскопическая модель неоднородной среды обладает прямолинейной анизотропией, то для данной задачи имеем

5с

т. е. в этом случае макроскопические уравнения Дюамеля—Ней­ мана

Таким образом, в ячейке периодичности среды необходима отыскать распределение напряжений о^- (г) и деформаций вг-7- (г), удовлетворяющее системе уравнений (3.2.1) и условиям периодич­ ности (3.1.2). После осреднения структурных деформаций по объему ячейки иг расчет коэффициентов теплового расширения с использованием выражения (3.2.4) не представляет трудностей.

Как и в упругой задаче, выделим среды с малой концентра­ цией включений. В этом случае можно воспользоваться решением задачи для неограниченного пространства, содержащего изоли­ рованное включение. Так как взаимодействие включений отсут­ ствует, то вблизи поверхности ячейки периодичности температур­ ные структурные напряжения равны нулю. Поэтому можно при­ менять как аналитические методы, рассматривая включение в не­ ограниченном пространстве, так и численные методы, когда иссле­

Перейдем теперь к расчетной схеме метода локального при­ ближения для периодической задачи термоупругости с учетом многочастичного взаимодействия включений.

Рассмотрим область Q с ансамблем со^ в центре, аналогичную введенной в п. 3.1. Будем параллельно рассматривать два вари­ анта расчетной схемы: с ансамблем со^, когда центральную область со окружает один слой типовых элементов, и с ансамблем со^, когда окружающих слоев два. Если во всех точках области Q медленно изменить температуру на одно и то же значение АГ, то напряжения в матрице, вызываемые ансамблем cov вследствие разницы коэффициентов теплового расширения структурных ком­ понентов, затухнут за пределами некоторой окрестности ансамб­

распределение напряжений и деформаций в центральной области со и на ее границе Г^. В силу локальности взаимодействия вклю­ чений это распределение моделирует распределение структурных переменных в ячейке периодичности среды с регулярной структу­ рой при изменении температуры последней на ту же самую ве­ личину АТ.

Однако только при температурном воздействии на область Q поле структурных переменных в центральном элементе со области Q не будет совпадать с решением периодической задачи (3.2.1), (3.1.2). Индикатором подобного несоответствия будет невыполне­ ние условия (3.2.2), связанного с истинным распределением тем­ пературных структурных напряжений Оц (/').

54

В зависимости от рассматриваемого варианта будем иметь

Таким образом, при однородном изменении температуры обла­ сти й в элементе со генерируются поля деформирования o tj (г), Eij (г), аналогичные тем, которые возникли бы в ячейке перио­ дичности среды с регулярной структурой при одновременном температурном воздействии (медленное однородное изменение температуры на величину АТ) и силовом нагружении (когда дей­ ствуют макронапряжения, определяемые выражением (3.2.5)).

Тогда для генерирования собственно термоструктурньтх нолей на бесконечности области й (или на ее границе TQ — при числен­ ной реализации решения краевых задач) необходимо задать однородное распределение напряжений 0 tj, «снимающее» в цен­ тральном элементе со упругие напряжения и деформации, которые соответствуют макронапряжениям а** -=

&i j ДЛЯ СО2?

Значения компонентов тензоров Aijtnn и Л\^тп должны быть найде­ ны из решения соответствующих упругих периодических задач.

Проведенные исследования посредством численной реализа­ ции соответствующих краевых задач несвязанной термоуиругости для различных структур и соотношений упругих свойств струк­ турных компонентов показали, чтс независимо от числа окружа­ ющих элемент со слоев типовых элементов с помощью специально подобранных для области й граничных условий в центральном элементе со генерируется одно и то же распределение переменных деформирования, удовлетворяющее условию (3.2.2).

Таким образом, метод локального приближения можно при­ менять для определения термоструктурных напряжений и де­ формаций в средах с регулярной структурой и последующего вычисления по формуле (3.2.4) макрокоэффициентов теплового расширения.

Ниже приведены результаты решения периодической задачи термоунругости (при плоском деформированном состоянии) для композиционного материала с ячейкой типа «квадрат в квадрате» методом локального приближения [36]. На рис. 3.9 показано распределение температурных напряжений в ячейке периодич­ ности композита при АТ = 100° и р -- 0,5, причем модули упру­ гости и коэффициенты Пуассона элементов структуры одинаковы,

55

oc*-/#f//rpafl

Рис. 3.10. Макроскопические коэффициенты теплового расширения однона­

а коэффициенты теплового расширения отличаются на порядок. На рис. 3.10 приведены расчетные значения коэффициентов теп­ лового расширения а* и а* однонаправленных композиционных материалов в продольном и поперечном направлении. Видно, что* при определенной объемной концентрации волокон значения мак­ роскопического коэффициента ос* могут превышать значения коэф­ фициентов теплового расширения элементов структуры.

3.3.Упругопластическая задача для сред с регулярной структурой

Рассмотрим обобщение метода локального приближения на случай, когда связь между напряжениями и деформациями для элементов структуры не является линейной. Физические урав­ нения системы (3.1.1) представим в виде

с регулярной структурой включает в себя уравнения (3.1.1), (3.3.1) и условия (3.1.2), (3.1.3), причем имеется в виду, что физи­ ческие уравнения системы (3.1.1) заменены уравнениями (3.3.1), Естественно, что при нелинейных законах деформирования элементов структуры нелинейными будут и свойства макроскопи­ ческой модели неоднородной среды. Поэтому для построения

L6

в явном виде зависимостей макромодулей от инвариантов е* тен­ зора макродеформаций ег* необходимо решить последовательность периодических задач с различными условиями (3.1.3), вычисляя каждый раз по осредненным напряжениям и деформациям зна­ чения макромодулей с помощью формулы (3.1.7).

Для сред с малой концентрацией включений решение перио­ дической задачи может быть получено на основе решения нрав­ ной задачи для ячейки периодичности с условиями на поверхности ячейки Oij (г) = stj.

В соответствии со схемой метода локального приближения унругоиластическая периодическая задача для неоднородных сред с учетом многочастичного взаимодействия заменяется краевой задачей для области Q с ансамблем со^. В силу ближнего порядка но взаимодействии включений, поля напряжений и деформаций, и центральном элементе со при заданных на границе области Q

где компоненты тензора В есть константы, не зависящие от мак­ ронапряжений s. При нелинейных законах деформирования эле­ ментов структуры вместо (3.3.2) необходимо записать

или, другими словами, тензор В зависят от конкретных значений макронапряжений.

Для определения граничных условий (тензора а) краевой задачи для области Q при упругонластическом деформировании элементов структуры неоднородной среды рассмотрим следую­ щий итерационный процесс.

1.Считаем, что упругая периодическая задача решена методом тонального приближения и компоненты тензора В, соответствую­ щие упругому решению, известны.

2.В качестве первого приближения а(1) для граничных усло­ вий области Q возьмем напряжения, определяемые из условия

.(О— В“ S

3.Решаем краевую задачу для области Q с граничными ус­

V

соответствующий граничным условиям 6$ . Если заданные макро напряжения таковы, что структурные напряжения не превы­ шают пределов пропорциональности элементов структуры, то

57

получим s\j = Sij, и решение задачи в элементе со области Q является искомым решением периодической задачи. В противном

Принципиальная схема предложенного итерационного процесса приведена на рис. 3.11.

Нетрудно заметить, что процедура определения тензора 6, соответствующего заданным макронапряжениям о* = при применении метода локального приближения для решения нели­ нейных периодических задач, во многом аналогична методу упру­ гих решений, схема которого приведена на рис. 3.12. Отличие

58

Рис. 3.13.

Зависимости «интенсивность напряжений — интенсивность деформаций» для матрицы (кривая 1) и для композита (кривая 2)

Рис. 3.14.

Зарождение и развитие плас­ тических зон в матрице одно­ направленного композита (р = = 0,2) при поперечном нагру­ жении

Рассмотрим пример применения метода локального прибли­ жения для исследования упругопластического деформирования однонаправленного боропластика с ячейкой периодичности «ква­ драт в квадрате» [34, 37]. Условия нагружения: макроскопически одноосное растяжение в поперечной плоскости при плоском де­ формированном состоянии. Волокна упругие: Ef = 410 ГПа, V/ = 0,21. Матрица упругопластическая:

= ей> +

Ф)__ ф(д) ,у ~ 2Gш

Здесь (р (а) — функция А. А. Илыошина [38], а = —1/ 3cTjJ*5*y, мо­ дуль объемного сжатия матрицы Ктпри деформировании остается постоянным.

59

На рис. 3.13 кривая 1 соответствует зависимости интенсивно­ сти напряжений аи от интенсивности деформаций ги для матри­ цы. На упругом участке Ет = 0,6 ГПа, vm = 0,32.

На рис. 3.14 показано зарождение и развитие пластических зон в матрице композита при последовательном увеличении рас­ тягивающих макронапряжений. Зоны одинарной штриховки относятся к участку I, а зоны двойной штриховки — к участку II кривой 1 (см. рис. 3.13). Кривая 2 на рис. 3.13 иллюстрирует

ГПа

Рис. 3.15.

Изменение макроскопического модуля сдвига при образовании пластических зон в матрице композита

связь интенсивностей макронапряжений а* и макродеформаций fc'u* На рис. 3.15 приведен график изменения макроскопического

Анализ результатов расчета упругопластического композита позволяет сделать вывод о том, что при образовании локальных пластических зон композит в целом деформируется по закону, близкому к линейному. Теоретический предел упругости компо­ зита (обозначен звездочкой на кривой 2 рис.3.13) при нагружении в плоскости, перпендикулярной направлению армирования, па значению величины в* несколько меньше, чем для матрицы. Этот эффект объясняется концентрацией напряжений в матрице, вы­ зываемой более жесткими волокнами.

3.4.Применение метода

вмеханике неоднородных сред

со случайной структурой

Метод локального приближения основан на наличии ближнегопорядка во взаимодействии элементов структуры. Это свойство деформирования структурно неоднородных сред не зависит от конкретного характера взаимного расположения элементов струк­ туры и их формы, поэтому метод может быть применен и в меха­ нике неоднородных сред со случайной структурой. Остановимся здесь на упругих задачах, поскольку обобщение на случаи термо­ упругого и упругопластического деформирования элементов структуры легко сделать, проведя аналогию с рассмотренными ранее задачами для сред с регулярной структурой.

Пусть имеется алгоритм численного моделирования случайной структуры на ЭВМ по заданным моментным функциям случайного

60