книги / Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел

поля С (г) структурных модулей упругости [23]. Из полученной реализации случайной структуры произвольным образом выде­ лим ансамбль со^, содержащий одно включение в центре и окру­

задавать не зависящие от координат детерминированные напря­ жения dij. Выделим в ансамбле со^ центральную стохастическую ячейку, продолжив до пересечения перпендикуляры к серединам отрезков, соединяющих центры вклю­

понент тензора аг-7-.

Поскольку предлагаемый подход позволяет получить решение стохастической краевой задачи теории упругости неоднородных сред в реализациях, необходимо построить решения краевых задач для области Q в центральной стохастической ячейке, каждый раз выбирая новый ансамбль из их представительной выборки. Затем, осредняя по реализациям, находят моментные функции или плотности вероятностей инвариантов полей структурных напряжений и деформаций, а также макроскопические модули упругости сред со случайной структурой.

Для оценки числа реализации N , необходимого для достовер­ ного осреднения случайных величин, можно использовать следую­ щий признак. Если при вычислении относительной объемно"! концентрации включений р по N и N + 1 стохастическим цен­ тральным ячейкам значение р остается постоянным, то N — необходимое число реализаций.

61

ТЛАВл 4

Краевые задачи теории упругости и вязкоупругости при случайных нагрузках

Как было отмечено ранее (гл. 1), расчет полей макроскопиче­ ских напряжений и деформаций является одним из необходимых этапов при решении задач механики структурно неоднородных тел. На этом этапе неоднородная среда заменяется ее макроскопи­ ческой моделью с заранее вычисленными свойствами (гл. 2, 3). Соответствующие линейные и нелинейные детерминированные краевые задачи могут быть решены традиционными в МДТТ методами, изложенными, например, в монографиях [40, 48, 81, 86]. В данной главе предлагается метод построения и решения в моментных функциях краевых задач механики деформирования однородных тел при случайных нагрузках.

Метод построения уравнений в моментных функциях второго порядка впервые предложен в 1924 г. ФридманОхМ и Келлером при изучении турбулентных движений жидкости в гидромехани­ ке [145]. Основная идея метода состоит в использовании диффе­ ренциальных уравнений для коэффициентов корреляции между пульсациями в двух различных точках. Фридману и Келлеру не удалось извлечь из этого метода конкретные результаты. Только в 1937—1938 гг. Карман и Ховарт получили этим методом закоп убывания интенсивности изотропной турбулентности в слу­ чае равномерного беспорядочного расположения начальных тур­ булентных возмущений в бесконечном пространстве при равенстве нулю средних скоростей [144]. Независимо от Кармана и Ховарта исследованием этой проблемы занимался М. Д. Миллионщиков в работах [66—68] и продвинулся в некоторых направлениях дальше этих авторов. Именно, в работе [66] впервые составляются уравнения в моментных функциях второго порядка для пульсаций скорости и давлений и выводятся явные аналитические зависихмости для коэффициентов корреляции в двух точках в любой мо­ мент времени. В работе [68] указывается метод построения урав­ нений в моментных функциях третьего порядка. Уравнения в моментных функциях второго и третьего порядка, приведенные в упомянутых выше работах [66—68], получены без повышения порядка дифференциальных уравнений с ростом порядка момент­ ных функций.

Отличительной особенностью метода, развиваемого ниже, яв­ ляется то, что уравнения в моментных функциях составляются без повышения порядка производных с ростом порядка момент­ ных функций (аналогично методу М. Д. Миллионщикова). Этот метод приводит к инволюционным (якобиевым [42]) системам диф­ ференциальных уравнений в моментных функциях, решение ко­ торых существует и единственно. При этом, как и ранее, в поста-

62

иовке статистических краевых задач встречаемые векторные и тензорные случайные поля предполагаются непрерывными [77]. Из непрерывности случайного поля вытекает непрерывность всех моментных функций, характеризующих рассматриваемое случай­ ное поле. Таким образом, встречаемые ниже моментные функции считаются непрерывными и дифференцируемыми.

4.1.Принцип построения уравнений

вмоментных функциях

для стохастических краевых задач

Рассмотрим наиболее простые линейные в статистическом

ными функциями различных порядков; иг (г) — искомая случайная векторная функция. Уравнения в моментных функциях первого порядка получаются путем применения оператора математичес­

Чтобы перейти от уравнений (4.1.1) к уравнениям в момент­ ных функциях второго порядка, запишем уравнения (4.1.1) в пульсациях относительно двух произвольно взятых значений пе­ ременной

оператор математического ожидания после умножений. В резуль­ тате имеем систему из двух дифференциальных уравнений в част­ ных производных для определения моментной функции второго

Система уравнений (4.1.4) не замкнута, так как содержит не­ известные функции М ц и Nij. Для определения этих неизвестных

63

Уравнения (4.1.4) и (4.1.5) в совокупности образуют замкну­ тую систему уравнений. Таким образом, интегрируя уравнения (4.1.5) при соответствующих начальных условиях, определяем неизвестные моментные функции Мц и N tj. Методы отыскания решения системы линейных дифференциальных уравнений (4.1.4) для оператора L = dldt приведены в работе [42]. Система вида (4.1.4) в частных производных первого порядка, для которой решение существует и единственно (при дополнительных усло­ виях, называемых условиями интегрируемости), называется ин­ волюционной (якобиевой) системой дифференциальных уравне­ ний. Ниже это понятие распространяется на произвольный ли­ нейный оператор.

Система линейных дифференциальных уравнений (4.1.4) для одной неизвестной моментной функции является инволюционной системой, так как эта система удовлетворяет условиям интегри­ руемости

Соотношения (4.1.6) выполняются для системы уравнений (4.1.4) с непрерывными функциями тождественно, как нетрудно убедиться на основании соотношений (4.1.5). Поэтому для ре­ шения (4.1.4) применимы методы, известные из общей теории диф­ ференциальных уравнений в частных производных и разработан­ ные для полных инволюционных систем. При решении конкрет­ ных задач удобнее всего поступать следующим образом: сначала определять все множество функций, удовлетворяющих первым уравнениям системы (4.1.4), затем определять подмножество функций, удовлетворяющих вторым уравнениям. Из решения уравнений (4.1.4) и (4.1.5) в совокупности определяются момент­ ные функции второго порядка неизвестной функции и, при совмещении двух произвольно взятых точек гх и г2, находится дис­ персия.

Аналогичным образом составляются уравнения в моментных функциях третьего порядка и выше. Эти уравнения приводятся в работах [5, 22, 98, 99].

34

4.2.Краевая задача нелинейной теории вязкоупругости при случайных нагрузках

Если в уравнениях в моментных функциях конкретизировать оператор L, то получим соответствующие уравнения краевых за­ дач теории упругости и вязкоупругости при случайных нагрузках.

Рассмотрим стохастическую краевую задачу теории вязкоупру­ гости изотропных в естественном состоянии однородных тел при случайных нагрузках, имеющих малые дисперсии. Предполагает­ ся, что пульсации полей деформирования малы в обобщенном смысле (в смысле малости дисперсий и возможности линеаризации нелинейных в статистическом смысле соотношений). Это предпо­ ложение эквивалентно предположению о том, что задача может быть сформулирована в моментных функциях только первого и второго порядков.

Пусть однородная сплошная среда, занимающая область Q, имеет детерминированные реологические свойства. Напряжения, деформации и перемещения при случайных нагрузках — случай­ ные функции координат точек тела и времени, удовлетворяющие уравнениям равновесия, геометрическим уравнениям и гранич­ ным условиям, выраженным в моментных функциях. Например, для гладкой в исходном состоянии границы области Га имеем граничные условия в напряжениях

(4.2.1)

где случайный вектор поверхностных сил задан совокупностью моментных функций.

При решении стохастической краевой задачи теории упруго­ сти при случайных нагрузках встречается линейный оператор L u вида

(4.2.2)

Замкнутые системы уравнений в моментных функциях для опера­ тора (4.2.2) и примеры решения краевых задач в моментных функциях приводятся в [60, 105, 112].

В краевых задачах теории вязкоупругости используются про­ странственно-временные операторы

где тензор операторных модулей упругости имеет вид

Здесь Е , v — операторные значения модуля упругости и коэф­ фициента Пуассона.

65

рами и металлами показывают, что а имеет значение, близкое к 0,7 [85].

Исходя из условия постоянства модуля объемного сжатия, по­ лучаем представление операторного коэффициента Пуассона [86]

где v0 — мгновенный коэффициент Пуассона.

Экспериментальные методы определения числовых характе­ ристик вязкоупругих свойств среды рассмотрены в работах [14, 48, 62, 85].

Заменяя в уравнениях для моментных функций перемещений статистической краевой задачи теории упругости упругие модули

временными интегральными операторами С, получаем уравнения в моментных функциях перемещений статистической краевой за­ дачи теории вязкоупругости. При решении полученных выше сис­ тем уравнений в моментных функциях, записанных в операторной форме, применяем принцип Вольтерра в формулировке Ю. Н. Ра­ ботнова [85, 86], распространяя его на статистические краевые за­ дачи теории вязкоупругости: статистическую краевую задачу теории вязкоупругости однородных сред при случайных нагрузках следует решать в моментных функциях как обычную статистиче­ скую краевую задачу теории упругости при случайных нагрузках и лишь в окончательном решении (для моментных функций) упру­ гие модули нужно заменить временными интегральными опера­ торами. При этом используются известные фундаментальные свойства «9а-операторов. Основная трудность, возникающая при реализации принципа Вольтерра—Работнова для статистических краевых задач, как и в классической теории вязкоупругости, со-

стоит в расшифровке функций «9а-операторов, появляющихся в результате замены упругих модулей в надлежащим образом пред­ ставленном решении статистической краевой задачи теории вяз­ коупругости. Уравнения в моментных функциях и примеры ре­ шения статистических краевых задач вязкоупругости приводятся в [22, 97, 98].

вб

Во многих случаях определяющие макроскопические законы вязкоупругости композитов могут оказаться существенно нели­ нейными. По этой причине необходимо рассматривать физически нелинейные краевые задачи теории вязкоупругости. Эти краевые задачи отличаются от линейных группой принятых физических уравнений. Запишем последние в следующей форме:

где 1/з 0, о — шаровые составляющие случайных тензоров дефор­ маций и напряжений; stj — девиаторные составляющие этих тензоров; ёи, ои — интенсивности тензоров скоростей деформаций

и напряжений; = e ij— e\f — девиаторная составляющая тензо­ ра случайных деформаций ползучести;

P = cru(3eu)~1;

fu (<TU), С (t) — детерминированные функции, определяемые экспе­ риментально при простом растяжении стандартного образца.

Аналогично тому, как это сделано в [86] для детерминирован­ ных функций, вторая и третья группы физических уравнений (4.2.7) преобразуются к следующему виду:

где

тец = 2G0ei5— 3gGo exp (— 3gG0 *) $ ец exp (3gG0 ) dt,

о

G0 — мгновенный модуль сдвига; g — детерминированное число, выбираемое так, чтобы выполнялось условие 0 ц 1, в кото­ ром г] — функция Ильюшина,

где tey = (K — 21зт)

Уравнения (4.2.9) представляют собой физические уравнения рассматриваемой нелинейной стохастической краевой задачи тео­ рии вязкоупругости. В случае, когда внешние силы или переме­

67

щения границ области Q детерминированы, уравнения (4.2.9) переходят в соответствующие уравнения работы [41].

ГДе Ури = <Фг7>*

Выражения для сри в (4.2.8) нелинейны в статистическом смыс­ ле (содержат произведения случайных функций). Из (4.2.8) на­ ходим

— <^Ь'атп) — дисперсии случайного поля напряжений.

По условию задачи дисперсии напряжений малы. Это является основанием для применения в (4.2.11) линеаризации функции Ильюшина по известным формулам [84].

Присоединяем к уравнениям (4.2.10) уравнения равновесия и геометрические уравнения для моментных функций первого по­ рядка

На поверхности Г& области Q для моментных функций перво­ го порядка <сх^> поля напряжений имеем

где (Т{у — заданные моментные функции первого порядка век­ тора поверхностных сил.

Система уравнений (4.2.10), (4.2.12) является незамкнутой, так как содержит «лишние» неизвестные — центральные моменты второго порядка btj = bjt. Как видно из (4.2.11), функции Ьц можно найти, если известны моментные функции второго порядка

68

(4.1.3), (4.1.4), перейдем к уравнениям в моментных функциях

В выражениях для F ij1( и Ф огр а н и чи м ся моментными функция­ ми первого и второго порядков, что справедливо при предположе­ нии о малости дисперсий напряжений, деформаций и перемеще­ ний. В результате имеем

Здесь и в уравнениях (4.2.14), (4.2.15) цифровые индексы указы­ вают, к какой точке (МФ или М <2)) относятся соответствующие операторы, моментные функции и переменные.

и N i f t и по 18 функций K ijn и L ijn соответственно. Следовательно, эти системы уравнений замкнуты.

Перемножая пульсации физических уравнений (4.2.9) в двух произвольных точках и применяя оператор математического ожи­ дания, находим физические уравнения для моментных функций второго порядка случайных напряжений

69

где

Геометрические уравнения для моментных функций второго порядка имеют следующий вид:

(4.2.17)

Записывая пульсации уравнений (4.2.1) в двух произвольных точках поверхности Гя и применяя оператор математического ожиДания после перемножения, получаем граничные условия для моментных функций второго порядка

где (T iT my — заданная по условию задачи моментная функция второго порядка случайного вектора поверхностных сил.

Система (4.2.19) представляет собой совокупность уравнений от­ носительно моментных функций первого порядка вектора переме­ щений и отличается от системы уравнений краевой задачи, поставленной в [99] для случая детерминированных внешних сил, тем, что содержит «поправки» в виде функций btj, которые нельзя определить в рамках классической механики деформируемых сред.

70