книги / Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел

Обобщая результат (5.1.13), физические уравнения для любых сред с микроповреждениями представим в виде

конкретизирующем уравнения (1.2.4).

Рассмотрим возможные частные случаи уравнений (5.1.14) для изотропных сред. Пусть тензор микроповреждаемости задан через одну скалярную величину: соijmn = co/Ijmn. Тогда имеем

aij = 41 — <*>) e a a 6 ij + 2р. (1 — со)eij9

что справедливо для материалов, у которых накопление микроповрзждений приводит к одинаковому изменению модуля объем­

ного сжатия и модуля сдвига и не влияет на коэффициент Пуас­ сона

т. е. смысл величин а и В связан с изменением деформационных свойств материалов при гидростатическом давлении и чистом сдвиге соответственно, ь орщем случае при сложном напряженном состоянии эти величины являются случайными функциями инва­ риантов еь тензора деформаций е, т. е.

из обработки экспериментальных данных статистическими харак­ теристиками. В свою очередь а и В есть инвариантные меры тен­ зора микроповреждаемости изотропных сред, каждой из которых соответствует свои механизм сопротивления разрушению. Функ­ ция а связана с сопротивлением материала разрушению от отрыва под действием нормальных напряжений, а функция Р — от сдвига под действием касательных напряжений. Следовательно, для изо тройных материалов должны быть заданы два независимых кри­ терия разрушения: Фх (a) = 1 и Ф2 ф ; = л.

5.2.Краевая задача механики деформирования и разрушения структурно неоднородных сред

На основе структурно-феноменологического подхода деформи­ рование и разрушение элементарного макрообъема v можно ис­ следовать как единый процесс, описываемый при квазистатическом

81

структуры; tp — время разрушения; stj (t) — заданный тензор макронапряжений.

Уравнения (5.2.1) представляют собой замкнутую систему уравнений для полей структурных перемещений, деформаций и напряжений. Физические уравнения этой системы содержат тен­ зор микроповреждаемости, который должен быть предварительно найден для всех элементов структуры. Выражение (5.2.2) есть стохастическое условие разрушения элементов структуры, сог­

ласно которому при достижении хотя бы одной из мер M«Y) в ло­ кальной окрестности некоторой точки с радиусом-вектором г в момент времени t = tp своего критического значения с^) элемент структуры, включающий в себя эту точку, перестает нести на­ грузку, хотя в общем случае может передавать ее другим элемен­ там структуры. Предполагается, что разрушение элемента струк­ туры приводит к перераспределению полей деформирования и поля микроповреждении. Формула (5.2.3) указывает, что гранич­ ные условия краевой задачи имеют вид

Ti ( r ,t ) = s ij(t)n} (r),

где Tt — вектор поверхностных сил; п7- — вектор единичной нор­ мали к поверхности макрообъема v. При этом следует иметь в

виду,* что <<тг; (г, *)> = в*) (7).

Главная особенность краевой задачи (5.2.1) — (5.2.3) заклю­ чается в том, что поля деформирования и параметры разрушения связаны между собой одной величиной — тензором микроповреж­ дении со. «зта краевая задача является стохастической, так как

82

содержит случайные функции и поля. Вероятностный характер величин обусловлен не только разупорядоченностыо взаимного расположения элементов структуры , но и недетерминированно­ стью независимых постоянных тензоров ©йо.

В качестве инвариантной детерминированной меры структур­ ного разрушения введем скалярную величину

Процедура решения задачи (5.2.1)—(5.2.3) строится следую -s щим образом. В первом приближении тензор со принимается рав­ ным нулю и отыскивается решение стохастической краевой задачи теории упругости (гл. 2). Затем по найденным полям деформиро­ вания строится первое приближение поля микроповреждаемости

ными, согласно методу переменных модулей упругости [38], физическими уравнениями. Итерационная процедура по со про­ должается до тех пор, пока во всех точках среды не будет выпол­ няться условие

где 6 — положительная малая детерминированная наперед за­ данная величина.

Теперь по формуле (5.2.4) находим вероятность микроразру­ шения р11. Если получили, что р11 (г, t) — 0, то решение задачи закончено и действующие макронапряжения (5.2.3) не приводят к разрушению на структурном, а значит, и макроскопическом уровнях.

Если р 11(f, t) Ф 0, то необходимо организовать процесс по­ следовательных приближений с целью учета эффекта перераспрег деления полей деформирования между элементами структуры . О сходимости последовательных приближений можно говорить, если на каком-то шаге справедливо

При этом предполагается, что зависимость со = со (eh, f, t) обес­ печивает устойчивую сходимость вычислительной схемы краевой задачи (5.2.1), (5.2.3). Выполнение условия (5.2.5) свидетельству­ ет о том, что макронапряжения приводят к разрушению эле­ ментов структуры макрообъема v, но недостаточны для разруше­ ния макрообъема в целом.

Физическая модель, заложенная в основу стохастической крае­ вой задачи, позволяет выделить следующие стадии в процессе деформирования и разрушения структурно неоднородных средк

83

1.Макроскопические напряжения таковы, что обусловленные ими структурные напряжения не превышают пределов упругости элементов структуры. Макрообъем v деформируется упруго, ни­ каких изменений структурных свойств не происходит.

2.Макроскопические напряжения таковы, что поля деформи­ рования превышают пределы упругости одного или нескольких элементов структуры. В этих элементах структуры начинается развитие и накопление микроповреждений, их деформационные свойства изменяются, что приводит к постепенному (гл. 3) изме­ нению макросвойств среды.

3.Накопление микроповреждений достигает критической сту­ пени, и начинается процесс разрушения элементов структуры,

составляющих макрообъем V. В результате разрушения первого элемента структуры произойдет перераспределение полей деформи­ рования и поля микроповреждений между остальными элемента­ ми структуры, после чего может разрушиться еще один или сразу несколько элементов, и так до тех пор, пока процесс структурного разрушения не стабилизируется. О действующих на этой стадии макронапряжениях говорят, что они приводят к необратимым структурным изменениям среды, но недостаточны для ее макро­ скопического разрушения.

4. При некоторых критических напряжениях s = sKp процесс структурного разрушения не стабилизируется и происходит ка­ тастрофическое разрушение элементов структуры в макрообъеме v, т. е. макроразрушение.

Деформирование и разрушение среды можно описывать и на уровне макроскопических переменных деформирования. После ре­ шения краевой задачи (5.2.1)—(5.2.3) путем последовательного ос­ реднения ее уравнений можно найти тензор макроскопической по­ вреждаемости о*, который содержится в физических уравнениях

инвариантной детерминированной меры тензора макроповрежда­ емости можно рассматривать вероятность макроскопического раз­ рушения

этих мер, определяемые расчетным или экспериментальным путем,

т - С Г

Важнейшим результатом, вытекающим из решения стохасти­ ческой краевой задачи механики деформирования и разрушения, является установление функциональной связи между вероят­ ностями структурного и макроскопического разрушения.

8 4

5.3.Прочностные свойства порошковых композитов

Стохастическая краевая задача (5.2.1)—(5.2.3) является фи­ зически и статистически нелинейной. Поэтому представляет инте­ рес даже ее приближенное решение для каких-либо простейших моделей структурно неоднородных сред с целью проверки досто­ верности получаемых результатов. В этом смысле удобными для исследования являются некоторые модели механики порошковых композитов.

Современная технология изготовления изделий методами по­ рошковой металлургии такова, что микроструктура конечного продукта не является однородной. В качестве параметра неодно­ родности выделим изменение содержания легирующих элементов в микрообъемах dv.

Пусть композиционный материал есть макроскопически однород­ ный и изотропный. Элементарный макрообъем v такого материала представляет собой совокупность микрообъемов dvy каждый из которых характеризуется своим содержанием х легирующего

содержанием легирующего элемента в макрообъеме v. Предполо­ жим, что известна одноточечная плотность вероятностей / (#), т. е.

Поскольку микрообъемы однородны и изотропны, преимуществен­ ного направления в их расположении нет, то отличаются они друг от друга только содержанием легирующего элемента. Неоднород­ ность распределения легирующего элемента в макрообъеме при одном и том же среднем содержании характеризуется видом плот­ ности вероятностей и коэффициентом вариации кх:

оо

Естественным следствием химической неоднородности является неоднородность физико-механических (деформационных и проч­ ностных) свойств. Для того чтобы учитывать микронеоднородность порошковых композитов и прогнозировать их физико-механиче­ ские свойства, необходимо перейти к модели структурной механи­ ки деформируемого тела. Согласно структурно-феноменологиче­ скому подходу свойства микрообъемов при том или ином содержании легирующего элемента будем принимать равными соответствую­ щим свойствам однородных литых образцов с тем же содержанием легирующего элемента. Таким образом, функциональные (детер­ минированные) зависимости физико-механических свойств от со­ держания легирующего элемента для микрообъемов считаются совпадающими с аналогичными зависимостями для литых образ-

85

Рис. 5.1. Зависимость предела прочности марганцевых сталей (1 — на основе ст. 30г 2 — на основе ст. 40) от содержания леги­ рующего элемента; х — содержание мар­ ганца

цов. В первую очередь это справед­ ливо в случаях, когда порошки полу­ чены методом распыления. На рис. 5.1 представлены зависимости предела прочности ов однородных сталей от содержания легирующего элемента (данные взяты из L1U1J). Здесь же при­ ведены значения коэффициентов ап­ проксимирующего полинома ав —

— <*в (*):

Многие порошковые композиты с зернистой структурой тако­ вы, что легирующие элементы существенно изменяют прочностные свойства и практически не влияют на деформационные свойства. Тогда может быть принята упрощенная модель микронеоднородной среды (микрообъемы с одинаковыми модулями упругости и различными пределами прочности;, в рамках которой поле струк­ турных напряжений внутри v является однородным. Тензор микро­ напряжений Gij во всех точках среды совпадает с заданным

тензором макронапряжений o*j — stj , т. е. наиболее трудоемкий этап решения краевой задачи (5.2.1)—(5.2.3), связанный с определе­ нием полей деформирования, в данном случае становится тривиаль­

ным. При одноосном растяжении о*г = s вероятность микрораз­ рушения согласно (5.2.4) может быть найдена по формуле

а связь между вероятностями микро- и макроразрушения аппрокси­

ав = £ * (1 — со*р) е*,

о* — макроскопический предел прочности (временное сопротив­ ление разрыву).

86

.макроразрушение объема v, а критическое напряжение s = 5кр, соответствующее этому событию, и есть предел прочности сгв.

InN

(5.3.7)

InIV + In со*р

при известных N и о)Кр, а также / (х). Ллотность распределения f_(x) легирующего элемента в макрообъеме v посредством пара­ метров <я> и кх аппроксимируется следующими законами:

нормальный

/ (*) = ( - ^ ) С_1 [ехр (-*/& )]/[№ (с)].

где с = 1/А£, Ъ= <я> к2х.

В частном случае при кх = 0 имеем однородное распределение легирующего элемента, т. е. х (г) = (f)) = const. Очевидно, что чем больше коэффициент вариации кх при одном и том же среднем содержании легирующего элемента (другими словами,

87

чем больше степень неоднородности структуры), тем ниже макро­ скопический предел прочности материала.

На рис. 5.2 приведены расчетные зависимости временного со­

противления разрыву а* марганцевых сталей с различным со­ держанием легирующего элемента. Расчеты проводились по фор­ муле (5.3.7) при N = 0,95. На этом же рисунке показано влияние

Рис. 5.2.

Расчетные зависимости вре­ менного сопротивления разры_

ву с* (кривые 1—3 — для ста­

ли 30Г2, кривая 4 — для ста­ ли ЗОГ) от коэффициента ва­ риации к легирующего эле­ мента (Мп)

1 — ®кр = 0,85;

2 — ®кр = 0,75; 4?

8,4— о)кр = 0,60

величины критической макроповреждаемости. Видно, что с умень-

шением соКр (более хрупкие материалы) влияние неоднородности структуры на прочность материала существенно возрастает.

Рассмотрим теперь модель композита с несколькими легирую­ щими элементами. Каждый микрообъем характеризуется своим содержанием легирующих элементов х, у, . . ., z. Случайные од­ нородные функции х (г), у (г), . . ., z (г) считаются статистически независимыми и распределение легирующих элементов в макро­ объеме v может быть задано средними значениями <я>, <z/>, . . .

. . ., <z>, коэффициентами вариации кх, ку, . . ., кг и плотностями распределения fx (х), fy (у), . . ., fz (z). Для прогнозирования пре­ дела прочности сталей с несколькими легирующими элементами воспользуемся выражением

и..........гь — коэЛЛипиенты снижения прочности за счет неодно­ родного распределения соответствующего легирующего элемента.

Коэффициент у]х равен отношению о® к пределу прочности при кх Ф 0, ку — . . . = кг = 0. Остальные коэффициенты определя­ ются аналогично.

Проиллюстрируем предложенную методику, основанную на одномерном решении задачи (5.2.1)—(5.2.3), примером прогнози­ рования временного сопротивления разрыву хромоникелевых ста­ лей, полученных методами порошковой металлургии. Типичные гистограммы распределения легирующих элементов для стали 12Х2Н4 и их аппроксимация различными плотностями вероятно-

88

Рис. 5.3. Гистограмма распределения хрома в макрообъеме стали 12Х2Н4 (экспериментальные данные) и ее аппроксимация

1 — нормальное распределение, 2 — логнормальное распределение, 3 — гамма-распре­ деление

Рис. 5.4. Гистограмма распределения никеля в макрообъеме стали 12Х2Н4 (экспериментальные данные) и ее аппроксимация

1 — распределение минимального значения, 2 —нормальное расппеделение

Т А Б Л И Ц А 5.1 ВРЕМЕННОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ РАЗРЫВУ ПОРОШКОВЫХ КОМПОЗИТОВ

89

стей изображены на рис. 5.3 и 5.4. В табл. 5.1 приведены экспери­ ментальные и расчетные значения исследуемой характеристики при N = 0,95. Коэффициенты вариации определялись из гистограмм, построенных путем статистической обработки экспериментальных данных по распределению легирующих элементов [101]. Вычисле­ ния проводились при со£р =0,20 [102] с логнормальными плотностя­

ми распределения легирующих элементов. Значения принима­ лись равными 430, 700. 800 и 880 МПа для сталей 12ХНЗ, 12Х2Н4,

Рис. 5.5.

Влияние вида плотности расп­ ределения легирующих элемен­ тов на предел прочности стали 12Х2Н4

kx , hy — коэффициенты вариации хрома и никеля;

1 <— логнормальное распределение,

2 — нормальное распределение,

3 — распределение максимального значения,

4 — распределение минимального значения,

5 — гамма-распределение,

6 —логистическое распределение

45Х2Н4 и 45Х2Н4М соответственно. Сравнение экспериментальных и расчетных результатов показывает их удовлетворительное сов­ падение и подтверждает правильное качественное и количественное описание предлагаемой структурно-феноменологической моделью эффекта влияния степени неоднородности структуры на макроско­ пические свойства композитов.

Изменение некоторых параметров технологического процесса спекания изделий из порошков дает возможность получить раз­ личные законы распределения легирующих элементов. Влияние вида плотностей распределения на предел прочности стали 12Х2Н4 проиллюстрировано на рис. 5.5. При этом для простоты изображе­ ния предполагалось, что распределение легирующих элементов подчиняется одинаковым законам и коэффициенты вариации хрома и никеля совпадают. Анализ результатов, приведенных на рис. 5г5, позволяет сделать вывод о том, что вид закона распределения ле­ гирующих элементов существенно влияет на прочность порошко­ вых композитов.

90