книги / Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел

По заданным феноменологическим структурным критериям раз­ рушения (1.2.5), (1.2.6) и найденным микронапряжениям можно вычислить вероятность микроразрушения, которая характеризует процесс разрушения на уровне элементов структуры.

Вероятность микроразрушения, в свою очередь, можно связать с вероятностью макроразрушения, т. е. вероятностью разрушения элементарного макрообъема. Это составляет основную задачу -заключительного, пятого этапа решения исходной краевой задачи. Моделированию процессов микро- и макроразрушеыия посвящены пятая и шестая главы книги. Предполагается, что разрушение лю­ бого элементарного макрообъема означает разрушение тела V (проблемы живучести тел с макротрещинами здесь не рассматри­ ваются).

Каждый из указанных этапов решения задачи (за исключени­ ем первого и третьего, которые можно объединить) представляет собой отдельную, сложную проблему механики структурно неод­ нородных тел.

1.6.Принцип локальности

Исходная информация о структуре микронеоднородной среды, как уже отмечалось, может Рыть задана совокупностью моментных функций материальных тензорных или скалярных величин. Эти моментные функции строятся, как правило, экспериментально на реальных образцах или с помощью численного моделирования структу­ ры [23]. Исследования, проведенные в этой области [9, 23, 103], показы­ вают, что моментные функции второ­ го и высших порядков разупорядоченных сред являются локальными.

На рис. 1.2 общая закономерность проиллюстрирована на примере моментной функции второго порядка случайного однородного и изотроп­ ного поля структурного модуля сдви­ га матричной смеси. Видно, что раз­ мер области статистической зависи­ мости поля G (г) примерно равен половине среднего расстояния между включениями.

Если моментные функции структурных свойств быстро затуха­ ют (т. е. локальны), то говорят, что в расположении элементов структуры имеет место ближний порядок [122]. Хотя и можно смо­ делировать статистически однородную структуру среды с дальним порядком в расположении элементов (например, когда центры включений матричной смеси случайным образом слабо отклонены от узлов тетрагональной или гексагональной решетки), моделями

2 1

реальных материалов с разупорядоченной структурой являются именно модели с ближним порядком.

При решении стохастических задач теории упругости микронеоднородных сред свойство локальности моментных функций обычно постулировалось наряду с условием статистической одно­ родности [9, 127]. Известна также гипотеза предельной локаль­ ностPI моментных функций [23], позволяющая избежать трудно­ стей, связанных с вычислением интегралов, в подынтегральные вы­ ражения которых входят моментные функции.

Теперь, когда свойство локальности моментных функций для материалов с разупорядоченной структурой подтверждено мно­ гочисленными исследованиями, существует основа для его более широкого использования в механике неоднородных сред.

То же свойство локальности, но уже характеризующее взаимо­ действие элементов структуры, было отмечено в работах [16, 73г 130]. Например, в работе [16] взаимодействие включений, вызы­ вающее искажения в упругом поле матрицы, заменяется взаимо­ действием точечных мультиполей, мощность и порядок которых зависят от формы и свойств элементов структуры. В этой работе предложено выделять содержащий конечное число мультиполей локальный объем, в матрице которого генерируется упругое поле,, адекватное упругому полю периодической задачи для матричной смеси.

Обобщая перечисленные результаты, можно сформулировать принцип локальности, согласно которому в расположении и взаи­ модействии элементов структуры имеет место ближний порядок.

Признаком ближнего порядка в расположении для сред со случайной структурой является локальность моментных функций второго и более высоких порядков полей структурных физико-ме­ ханических свойств. Ближний порядок во взаимодействии озна­ чает, что на формирование полей деформирования в некоторой области, содержащей произвольно выделенное включение, решаю­ щее влияние оказывают лишь ближайшие к ней элементы струк­ туры.

В книге приведены два новых метода решения задач механики структурно неоднородных сред, основанных на принципе локаль­ ности: метод периодических составляющих (глава 2) и метод ло­ кального приближения (глава 3). Результаты решения тестовых задач, полученные методом локального приближения, в свою оче­ редь подтверждают наличие ближнего порядка во взаимодействии элементов структуры.

22

ГЛ А ВА 2

Стохастическая краевая задача

теории упругости

структурно неоднородных сред

Стохастической краевой задачей называется задача, уравне­ ния которой и(или) граничные условия содержат случайные ве­ личины. К постановкам стохастических краевых задач приводят различные модели деформирования структурно неоднородных тел: тела с периодической структурой при случайных условиях нагру­ жения, тела с регулярной структурой (упорядоченным взаимным расположением элементов структуры) при случайных свойствах элементов структуры, контакт неоднородных тел с шероховатой поверхностью и т. д. В данной главе рассматриваются структур­ но неоднородные среды со случайным расположением и детерми­ нированными свойствами элементов структуры. Начало система­ тического изучения стохастических задач теории упругости для таких сред было положено работой И. М. Лифшица и Л. Н. Розенцвейга [57] применительно к поликристаллам. В дальнейшем решению стохастических задач было посвящено большое коли­ чество научных работ, среди которых можно выделить [9, 12, 59, 76, 115, 146, 148] и др. Результаты решения обобщены в несколь­ ких монографиях [23, 64, 122, 127] и имеют исключительно важ­ ное значение для развития статистической механики неоднород­ ных сред, и в частности механики композиционных материалов. Методы, разработанные для решения упругих задач, получают свое дальнейшее развитие в задачах теории пластичности и вяз­ коупругости микронеоднородных сред со случайной структурой [30, 132, 159].

Поскольку стохастическая задача теории упругости является основой статистической механики неоднородных сред, то актуаль­ ными остаются вопросы, связанные с дальнейшим развитием су­ ществующих методов решения и установлением областей их прак­ тического применения, а также с разработкой новых методов и их приложением для расчета структурных полей деформирования и макроскопических модулей упругости композитов.

Методологическая сторона рассматриваемой в главе стохас­ тической краевой задачи заключается в следующем. Пусть слу­ чайная однородная функция у (х) удовлетворяет в области О урав­ нению

а на ее границе условию

У (х) |эо = Ух И -

23

Коэффициент уравнения А (х) есть случайная однородная функция, моментные функции любого порядка которой извест­ ны. Кроме того, быстро осциллирующ ая функция А (х) такова, что допускает построение оператора с детерминированным пос­ тоянным коэффициентом А *, при действии которого на детерми­ нированную плавную составляющ ую у * (х) функции у (х) в об­ ласти О и на ее границе дО выполняются условия

Задача состоит в приближенном вычислении коэффициента А* по функции А (х) с использованием оператора осреднения и условия эргодичности [84, 93] и статистических характеристик случайной быстро осциллирующей функции В (х), такой, что

и предполагается, что при малом отношении периода осцилляции А (х) к размеру области О коэффициент А* и функция В (х) на зависят от граничных условий. Поэтому при решении стохастиче­ ской задачи теории упругости в качестве элементарного макрообъе­ ма рассматривается неоднородное тело F, в отношении к размеру которого размер элемента структуры есть бесконечно малая вели­ чина.

2.1.Постановка задачи

Пусть структурно неоднородное тело V с границей Г таковот что случайное поле структурных модулей упругости С (г) явля­ ется статистически однородным. На границе Г заданы перемеще-

ния ut (г) = Eijrj, причем гц = const — произвольный симметрич­ ный тензор малых деформаций. Если элементы структуры тела прочно соединены по поверхности раздела, т. е. на этих по­ верхностях выполняются условия непрерывности перемещений

24

Возможность представления вектора перемещений на границе в виде (2.1.3) соответствует случаю, когда тело V находится в ус­ ловиях макроскопически однородной деформации, т. е. во всех

2.2.Традиционный метод

Под традиционным методом здесь понимается общепринятый в статистической механике неоднородных сред метод решения стохастических задач, основанный на разложении случайных по­ лей на осредненные и пульсациоиные составляющие.

Представим поля структурных модулей упругости и переме­ щений краевой задачи (2.1.2), (2.1.3) в виде

где <нг (r)> = u t (0- Поскольку плавная составляющая <и (/')) искомого быстро осциллирующего поля и (г) в данной задаче из­ вестна, перейдем к краевой задаче относительно пульсаций век­ тора перемещения и' (г). Эта краевая задача состоит из уравнений

Уравнения (2.2.2) можно рассматривать как уравнения крае­ вой задачи теории упругости для однородного тела с тензором мо­

меры тела V неограниченно велики по сравнению с размерами элементов структуры, то решение краевой задачи (2.2.2), (2.2.3) не зависит от формы границы Г. Поэтому всюду внутри тела F, кроме малой окрестности, прилегающей к границе Г, решение задачи (2.2.2), (2.2.3) можно представить с помощью тензора Кель­ вина—Сомильяны G однородной среды, упругие свойства которой

25

Если <С> — изотропный тензор, то

где коэффициенты А и В связаны с постоянными Ляме тензора соотношениями

Возвращаясь к решению краевой задачи, имеем для неизвест­ ного поля и' интегродифференциальное уравнение (в прямой тен­ зорной записи)

Поверхностный интеграл в уравнении (2.2.5) отсутствует в силу условия (2.2.3).

Рассмотрим решение уравнения (2.2.5) методом последователь­ ных приближений и методом малого параметра.

Согласно первому из указанных методов в первом приближе­

Введем следующие обозначения:

Ed)(/S = $G (f,fx)-V -C '(fx)dfi,

V

Еда (f) = S G (r, fx) •v •[C' (fx) ••VE№D (f x)] drx.

У

Теперь, продолжая процесс последовательных приближений, бу­ дем иметь

26

где D (г) — случайное ограниченное поле, а — малый положи­ тельный детерминированный скалярный параметр.

Искомое решение уравнения (2.2.5) запишем в виде ряда

В силу единственности решения рассматриваемой краевой задачи

будем иметь и(0) (Г*) = 0.

Приравнивая сомножители при одинаковых степенях парамет­ ра а, получаем

u<i}(?) = | $ G (f, ri)-V -D (f1)d f1l - е ,

L V

(2.2. 12)

и(Ю(?) = S G (г, fi) •V •[D (fj) ■■Vu^D (fx)J dfi.

Введем обозначения

F (»(?) = $ G (r, fi)-V -D (fO dfb

V

Fw (?) = $ G ('. fi) •V •[D (h ) . •VF(ft_1} (rx)] dr1

и в итоге получаем

Легко заметить, что akF(k) = E^), а значит, решения уравне­ ния (2.2.5) методом последовательных приближений и методом малого параметра совпадают. Таким образом, решение стохасти­

27

ческой краевой задачи теории упругости в перемещениях (2.2.2)г (2.2.3), полученное традиционным методом, имеет вид

На основе решения (2.2.14) можно перейти к полям структурных деформаций и напряжений краевой задачи (2.1.1):

где I — единичный тензор четвертого ранга.

Выражения (2.2.15), (2.2.16) показывают, что структурные поля деформирования краевой задачи (2.1.1) линейно зависят от заданных макродеформаций е^. Сомножители, заключенные в (2.2.15) , (2.2.16) в квадратные скобки, являются случайными од­ нородными полями, определяемые геометрией элементов струк­ туры, их упругими свойствами и характером взаимного располо­ жения.

На основе выражений для полей деформирования (2.2.14), (2.2.15) , (2.2.16) можно перейти к решению задачи (2.1.1) в моментных функциях. Например, для моментной функции второго порядка случайного поля перемещений имеем

Если в представлении для тензора Е в виде бесконечного ря­ да ограничиться лишь первым слагаемым, то о решении стохас­ тической задачи говорят, что оно получено в корреляционном приближении. Для моментной функции (2.2.17) поля и (г)в кор­ реляционном приближении с учетом линейности операторов ос­ реднения и дифференцирования имеем

<И{ (г) и] (гг)У = И ^Gik (г, ft) GH (гг, r3) X

Метод вычисления несобственных интегралов типа (2.2.18), содержащих сингулярный тензор G, рассмотрен в следующих разделах данной главы. В этом методе используется каноническое

28

разложение моментных функций поля С (г) в ряды, причем члены ряда представлены в виде произведения сомножителей, один ив которых зависит только от модулей векторов га ( а - 1 , 2 , . . ., кг где к — порядок моментной функции), а другие — только от уг­ лов между векторами.

2.3.Каноническое разложение моментных функций

Пусть К %(fl7 r2) *= <х' (fj) x' (г2)> — моментная функция вто­ рого порядка случайной индикаторной функции х (/'), a d — пазмер области статистической зависимости [9], т. е. области, в кото­ рой значения локальной функции Ку (г, гх) отличны от нуля.

обычно удерживают конечное число слагаемых ряда (2.3.1). Один

из способов вычисления коэффициентов К состоит в построении по экспериментальным данным о структуре неоднородной среды аналитического выражения для Ку, после чего, задаваясь неко­ торыми значениями углов ф и 0, можно свести определение коэф­ фициентов разложения к решению системы алгебраических урав­ нений.

Например, для гранулированных композитов, которые состоят

где Dx *= <х' (г) х ' (г)> = р (1 — р), / (| гг — г2 |) — нормиро­ ванная моментная функция. Из анализа экспериментальных ре­ зультатов для нормированной моментной функции в [23] предло­ жено выражение

29

/ ( |гх — r2 |) проведено в работе [112]. Здесь на основе экспери­ ментальных данных, содержащихся в монографии [23], и резуль­ татов численного моделирования на ЭВМ структуры гранулиро­ ванных композитов, приведенных в работе [103], нормированная

где а = 5,5; Ъ= 3,6; а — —1,4.

Канонические разложения, аналогичные формуле (2.3.1), име­ ют место и для моментных функций третьего и более высоких по­ рядков. В общем случае моментная функция К%порядка п раскла­ дывается в ряд

(2.3.5)

где Tj = \rp — rq |; s — число сочетаний из п по 2 (число воз­ можных расстояний между точками). Например, гг = | — г2 |, г2 = I fi — г3 | и т. д.

Аргумент функции / в (2.3.6), (2.3.7) является приведенным расстоянием между точками

Дп)

* 2 J d*

г=1

Из условия локальности моментных функций вытекают неко­ торые свойства коэффициентов разложения, которые можно про­ иллюстрировать на примере разложения функции Кк второго по­ рядка (2.3.1):

30