книги / Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел

Такими же свойствами обладают и коэффициенты разложения (2.3.5).

До сих пор рассматривалось каноническое разложение моментных функций случайной индикаторной функции х (г). При разло­ жении моментных функций поля С (г) необходимо использовать явные представления для этого поля через тензоры модулей упру­ гости элементов структуры и функцию х (г). Ниже, в п. 2.5 дан­ ной главы, при расчете макроскопических модулей упругости композиционных материалов будут приведены два вида струк­ турных выражений С (г) через х (г). Согласно первому из них

С' (f) - [С, - С2] х' (г),

2.4.Моменты случайных полей стохастической задачи

Согласно (2.2.14) решение стохастической краевой задачи (2.1.2), (2.1.3) может быть представлено через случайное поле Е (г) и заданный тензор макроскопических деформаций е. Для нахождения момента второго порядка поля и (г) в корреляцион­ ном приближении по формуле (2.2.17) необходимо вычислять мо­ мент поля ЕФ (г):

<E(1) (f) Е(1) (f)> = j$ $ G (f, fx) G (f, f2)••[V•V•Kc x

где K c — моментная функция второго порядка поля С (г).

Аналогичным образом определение момента второго порядка поля структурных деформаций е(г), как это следует из (2.2.15)г

31

связано с вычислением момента поля VEM (г):

<VE(1) ( г ) VE(1> (f)> =

= $ $ VG(r, n) VG(r, f i ) - -[V-V-Kc (|fi — f2|)]dfidfa.

У У

(2.4.2)

Интегралы одинакового типа в формулах (2.4.1) и (2.4.2), со­ держащие тензор Кельвина—Сомильяны, можно рассматривать как несобственные, так как размер тела V неограниченно больше размера элементов структуры. Для вычисления интегралов при­ меним метод расщепления, основанный на каноническом разло­ жении функции Кс в равномерно сходящийся на отрезке [—d, d] ряд

оо

(2.4.3)

Метод расщепления, который реализуется последовательным ин­ тегрированием сначала по радиусам, а затем по углам, проиллюст­ рируем примерами вычисления моментов поля VE (г).

Подставляем (2.2.4) и (2.4.2) в (2.4.1) и, выбирая полюс в точ­ ке г = 0, переходим к полярной системе координат. Используя

V V

оо

(2.4.4)

32

С другой стороны, для второго приближения, например, поля VE (?) имеем

} (?) = Е М п , i (?) 4 - 5 Gia. j (?, ?i) [Саф pq (?l) Ертп, q ( ? I )],< P ^ I -

(2.4.10)

Второе слагаемое в правой части формулы (2.4.10) аналогично по структуре интегралу в равенстве (2.4.9). Поскольку величина,, заключенная в квадратные скобки этого слагаемого, представляет собой тензор четвертого ранга, свойства которого совпадают со

Анализ второго и последующих приближений поля VE (?) показывает, что последнее можно представить в виде бесконечно­ го ряда

^VE (?) = С (?).. J + . . . + С' (?)• •J- -С' (F). •J + ...

. . . + C '( f ) . . J . . .. . ..C '(f) ..J + . . .

___________ J

к со.множителей С'* • J

(2.4.12)

Явное представление (2.4.12) для случайного поля VE (?) име­ ет смысл, если ряд сходится к конечному пределу. Условия схо­ димости ряда (2.4.12) исследуются в следующем параграфе главы на примере расчета макроскопических модулей упругости компо­ зиционных материалов. Выражения (2.4.8) и (2.4.12) получены на основе гипотезы о предельной локальности моментных функ­ ций поля С' (?). Первое из них соответствует корреляционному приближению решения стохастической краевой задачи (2.1.1), а второе — сингулярному приближению [122].

2.5, Макроскопические модули упругости композиционных материалов

На основе решения стохастической краевой задачи (2.1.1) тео­ рии упругости неоднородных сред со случайной структурой можно вычислять макроскопические модули упругости таких сред. (Пе­ редняя уравнения (2.2.16), для тензора макромодулей С* получим

т. e. задача определения макромодулеи сводится к вычислению по­ правки к средним модулям упругости <С). Эта поправка может быть найдена, если воспользоваться представлением (2.4.12) для

34

случайного поля EvmUtq (г). Тогда для второго слагаемого правой части выражения (2.5.1) будем иметь

(CljpqEpmn, qУ= ^PijpqGklmn) Jpqkl Ч"

Из формулы (2.5.2) видно, что при вычислении макроскопиче­ ских модулей неоднородных сред необходимо учитывать моменты второго и более высокого порядков случайного поля структурных модулей упругости С (г).

Проиллюстрируем применение формул (2.5.1), (2.5.2) для рас­ чета макромодулей изотропных двухкомпонентных композицион­ ных материалов. Для того чтобы композиционный материал был макроскопически изотропным, необходимо и достаточно, чтооы случайное поле С (г) было оттнородным изотропным полем, т. е.

.многоточечные плотности вероятностей и моментные функции этого поля должны зависеть только от расстояния между точками.

Из общего класса макроскопически изотропных структурно не­ однородных сред выделим композиционные материалы с изотроп­ ными элементами структуры. Тензор <С> есть изотропный тензор с постоянными Ляме <Х> и <ц>, а тензор J — изотропный тензор,

Рассмотрим случай, когда поле структурных модулей С (г) задается с помощью индикаторной функции одного из элементов структуры по формуле,

Если р — относительная объемная концентрация элемента струк­ туры с упругими модулями Сх, то

к раз

Тогда из формул (2.5.1) — (2.5.3) получим ряды для вычисле­ ния макроскопических модулей сдвига G* и объемного сжа­ тия К*

35

сдвига, модули объемного сжатия и коэффициенты Пуассона соот­ ветственно первого и второго элементов структуры двухкомпонент­ ного композиционного материала.

Для исследования сходимости рядов (2.5.5) и (2.5.6) применим принцип Даламбера. Согласно этому принципу абсолютная сходи­ мость знакопеременного ряда обеспечивается, если отношение по­ следующего члена ряда к предыдущему по абсолютной величине меньше единицы. Разбивая каждый из рядов (2.5.5), (2.5.6) на два ряда, получаем условия абсолютной сходимости

2 (4 — 5тг)

15 <G> (1 — п) (GX - ^ M I - P X I ,

X гХ ^ - ^ И - рХ 1-

Характер изменения границ сходимости при различных соот­ ношениях упругих модулей элементов структуры g — GJG2 и к — К г1К2 показан на рис. 2.1, при этом в расчетах принималось vx — 0,2 и v2 = 0,25.

В области сходимости ряды (2.5.5) и (2.5.6) могут быть просум­ мированы, что приводит к формулам, которые могут быть исполь­ зованы для практических расчетов:

Рассмотрим примеры расчетов макроскопических модулей композитов, структура которых представляет собой статистиче­ скую смесь элементов двух типов с различными упругими свойст­ вами. Первый из материалов является спеченным порошковым

дексом 1 обозначены упругие свойства углеродистого вольфрама). В качестве второго материала взят хаотически армированный плас­ тик с характеристиками: Е х = 6,87• 1010 Па, vx ~ 0,2 и Е2

36

о Tqi ' Of р

Рис. 2.1.

Границы сходимости рядов для макроскопических модулей сдвига (а) и объемного сжатия

(б). Штриховка направлена в сторону области сходимости

Рис. 2.2.

Макроскопические модули объ­ емного сжатия композицион­ ных материалов

а — композиция «углеродистый вольфрам—кобальт»,

б — хаотически армированный пластик

Рис. 2.3.

Коэффициенты вариации струк­ турного модуля сдвига компо­ зитов

а — композиция «углеродистый вольфрам—кобальт»,

б — хаотически армированный пластик

= 0,588-1010 Па, v2 = 0,25. На рис. 2.2 показаны рассчитанные по формуле (2.5.10) зависимости для макромодулей К* от объем­ ной концентрации элементов структуры.

На рис. 2.3 приведены значения коэффициентов вариации структурных модулей сдвига, вычисленные по формуле

ri = |G1- G 2| ^ Z z L .

Коэффициент вариации г| характеризует степень неоднородности структуры. Сравнение результатов расчета макромодулей ком­ позитов по формулам (2.5.9), (2.5.10) с экспериментальными дан­ ными показывает, что наилучшее совпадение расчетных и экспе­ риментальных данных наблюдается при ц ^ 1. Чем больше коэф­ фициент г| отличается от единицы в сторону его увеличения, тем больше погрешность определения макромодулей. Это объясняется

3/

тем, что с ростом г] тензор <С), основанный на представлении (2.5.4), все более отличается от тензора С*, и нулевое приближе­ ние решения стохастической задачи в виде решения для однород­ ной среды с упругими свойствами <С> становится все менее удач­ ным. Наконец, когда значения модулей упругости элементов струк­ туры превосходят одно другого в 10—15 раз, формулы (2.5.9), (2.5.10) дают погрешность с экспериментом 20—30%.

В настоящее время существуют различные методы расчета мак­ роскопических модулей упругости композиционных материалов, основанные на решении традиционным методом стохастической краевой задачи теории упругости структурно неоднородных сред со случайной структурой. Подробный анализ этих методов дан в монографии [122]. Здесь же показано, что приведенные выше ре­ зультаты , а также результаты, полученные с использованием ги­ потезы сильной изотропии [59, 12] и другие, эквивалентны син­ гулярному приближению теории случайных функций.

Рассмотрим теперь задачу о вычислении макромодулей компо­ зиционного материала, представляющего собой низкомодульную полимерную матрицу, хаотически наполненную жесткими сфери­ ческими включениями одинакового размера. Модули упругости матрицы и включений по своим значениям отличаются на два по­ рядка и более. Для этого класса композитов формулы (2.5.3), (2.5.10) являются весьма грубым приближением.

Будем, как и ранее, предполагать, что материал есть макроско­ пически однородный и изотропный.

Выражение для поля структурных свойств, аналогичное выра­

где Sx и S2 — тензоры модулей податливости включений и матри­ цы. ""Случайный тензор структурных модулей податливости S связан с тензором модулей упругости С условием ортогональности

и, поскольку тензор S задан соотношением (2.5.11), будем отыс­ кивать выражение для тензора С из условия выполнения равенст­ ва (2.5.12) в среднем, т. е.

Сначала предположим, что включения абсолютно жесткие и S, = 0.

Тогда вместо (2.5.11) получим S (F) = S2 [1 - х (г)],

а для поля С (/*) из (2.5.13) будем иметь структурное выражение

38

где р* — р/ркр — приведенная относительная объемная концент­ рация включений; рКр — предельное значение величины р. Для наполненных монодисперсных композитов ркр 0,64 [103].

Теперь на основе выражения (2.5.14) можно записать

и с помощью соотношений (2.5.1) — (2.5.3) получить формулы для расчета макроскопических постоянных Лялю к* и ц* тензора (в корреляционном приближении)

где к2 и ц2 — постоянные Ляме тензора С2.

Если в формуле (2.5.2) просуммировать ряды (а эти ряды в данном случае сходятся для любых значений коэффициента Пуас­ сона матрицы v2), то макроскопические упругие постоянные Ляме рассматриваемой среды определяются следующими зависимостя­ ми:

где Н% и jff|a — коэффициенты, зависящие только от коэффициента Пуассона матрицы:

Анализ результатов расчета макросвойств по формулам кор­ реляционного приближения (2.5.15), (2.5.16) и с учетом суммиро­ вания рядов (2.5.17), (2.5.18) показывает, что разница в этих ре­ зультатах составляет величину, не превышающую 3% . Поэтому для практических расчетов модулей упругости композитов с аб­ солютно жестким наполнителем достаточно корреляционного при­ ближения, если тензор структурных модулей упругости задан выражением (2.5.14).

На рис. 2.4 приведено сравнение теоретических значений мак­ роскопического модуля сдвига эластомерного композита с экспе­ риментальными данными, приведенными в работе [131]. Как вид­

ной среды, учитывающую податливость жестких включений. Ис­ ходя из выражения (2.5.11) и условия ортогональности в среднем

39

(2.5.3) в корреляционном приближе­ нии с учетом податливости включений для макроскопических по­ стоянных композита, получим

Для макроконстант А,* и р* можно вывести зависимости, ана­ логичные (2.5.20), (2.5.21), но с учетом суммирования ряда (2.5.3), однако запись соответствующих формул достаточно громоздка и здесь не приводится. Как и для композиционного материала с аб­ солютно жесткими включениями, расчеты макросвойств по фор­ мулам корреляционного приближения (2.5.20), (2.5.21) и с учетом суммирования ряда (2.5.3) практически совпадают.

В частном для рассматриваемой среды случае при g = s = 0 формулы (2.5.20), (2.5.21) переходят соответственно в формулы (2.5.15), (2.5.16). Расчеты но этим формулам показали, что если значения модулей наполнителя и матрицы различаются на три

40