книги / Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел

и более порядков, то учет податливости жестких включений не да­ ет заметной поправки.

Таким образом, при вычислении макроскопических модулей двухкомпонентных изотропных композиционных материалов мож­ но использовать формулы (2.5.9), (2.5.10), если упругие модули элементов структуры отличаются на один порядок, формулы (2.5.15), (2.5.16), если отличие составляет от двух до трех поряд­ ков, и формулы (2.5.20), (2.5.21) если отличие — более трех по­ рядков.

2.6. Метод периодических составляющих

Традиционный метод решения стохастической краевой задачи (2.1.1) основан на разложении случайных полей деформирования и структурных модулей упругости на осредненные и пульсационные составляющие. При этом нулевым приближением решения задачи для неоднородной разупорядоченной среды является ре­ шение для однородной среды с осредненными свойствами. В главе 1 было указано, что моментные функции структурных модулей упругости разупорядоченных неоднородных сред локальны, т. е. в расположении элементов структуры имеет место ближний по­ рядок. Другое важное свойство этих моментных функций заклю­ чается в том, что у них имеется (^гасть^отрицательных значений (см. рис. 1.1). Согласно [20, 93], это^и^етельствует о наличии периодических составляющих в соответствующих случайных по­ лях. Поэтому здесь на примере задачи (2.1.1) предлагается метод решения стохастических краевых задач, основанный на разложе­ нии коэффициентов уравнений и искомых величин на периодиче­ ские детерминированные функции и соответствующие им случай­ ные отклонения.

пусть имеется ооласть Vp, топологически подобная области У, но упругие свойства которой являются детерминированными пе­ риодическими кусочно-постоянными функциями Ср (г). Поставим для области Vp краевую задачу теории упругости сред с регуляр­ ной структурой, аналогичную краевой задаче для области V. Тог­ да при макроскопически однородном деформированном состоянии 8* = е имеем

Отметим, что граничные условия краевой задачи (2.6.1) тако­

вы, что ец = <efj (/")>, причем под оператором осреднения для пе­ риодических функций понимается осреднение по ячейке периодич­ ности, совпадающее по смыслу с объемным осреднением случай­ ных однородных эргодичных полей [84].

Таким образом, коэффициенты системы (2.6.1) Ср (г) и иско­ мые напряжения стр (г) и деформации ер (?) есть периодические

41

функции, относительно ор и 8Р это справедливо всюду внутри Vv на расстоянии порядка размера ячейки периодичности от границы Г. Предположим, что решение краевой задачи (2.6.1) нам извест­ но. Его можно получить методом осреднения [6], получившего развитие для краевых задач механики композитов в работах [7, 26, 79, 82]. Тогда подобно выражению (2.2.14), можно записать

где Fp (г) — известная периодическая функция. Для периодиче­ ских функций ар (г) и ер (г) имеем

Перейдем теперь непосредственно к решению исходной стоха­ стической краевой задачи (2.1.1) с использованием решения (2.6.2) краевой задачи для тела с регулярной структурой (2.6.1). Пред­ ставим случайное поле упругих модулей в виде

причем соответствие между неоднородными средами со случайной

Вместо уравнений (2.6.7) можно записать уравнения относи­ тельно и0, эквивалентные уравнениям теории упругости сред с регулярной структурой при действии случайных объемных сил. Эти уравнения имеют вид

42

удовлетворяет уравнению

Оп

Вмонографии [13] есть пример построения тензора Gv для слои­ стых композиционных материалов.

Теперь из (2.6.9) для искомой составляющей и0 поля переме щений и получим интегродифференциальное уравнение (в прямой тензорной записи)

решение которого рассмотрим методом последовательных при­ ближений и методом малого параметра.

Согласно методу последовательных приближений для первого приближения имеет место

fe=l

Перейдем к решению уравнения (2.6.10) методом малого папаметра. Представим случайное поле С° (г) в в и д е ^ = аК, где К (г)— случайное ограниченное поле. Искомое решение запишем в виде

43

Подставляя (2.6.14) в уравнение (2.6.10) и приравнивая сомножи­ тели при одинаковых степенях параметра, получаем

Сравнивая (2.6.15), (2.6.16) с выражениями (2.6.11), (2.6.12) и

учитывая, что в (2.6.14) U(0) — 0 в силу единственности решения, легко убедиться, что и в рамках метода периодических составляю­ щих метод последовательных приближений и метод малого пара­ метра приводят к одному и тому же результату.

Таким образом, решение стохастической краевой задачи (2.6.7), (2.6.8) в перемещениях имеет вид (2.6.13), а решение стохастической краевой задачи (2.1.1), полученное методом пе­ риодических составляющих, имеет вид

где

М ,„,,(?) = S Мйп(П> к=1

м у пп(г) = $ Gf* (г, Гг) [Cl5m(f,) Npqmn (fL)],} dr г,

V

Сравнивая метод периодических составляющих с традицион­ ным методом решения стохастической краевой задачи (2.1.1), следует отметить, что нулевым приближением метода периодиче­ ских составляющих является решение для среды с регулярной структурой, поэтому уже в первом приближении удается естест­ венным образом учесть такие тонкие эффекты структурной меха­ ники, как геометрическая форма элементов структуры и инвер­ сия их свойств, неоднородность напряжений и деформаций в эле­ ментах структуры и т. д. Связывая решения задач для тел

44

с регулярной и периодической структурой, метод периодических составляющих можно обобщить для краевых задач с более слож­ ными, чем (2.1.3), граничными условиями. Важным преимущест­ вом метода периодических составляющих является и независи­ мость выбора нулевого приближения от соотношения значений модулей упругости элементов структуры.

Осредняя выражение (2.6.19), получим новую формулу для расчета макроскопических упругих модулей неоднородных сред со случайной структурой

Из формулы (2.6.20) видно, что если среды со случайной и регулярной структурой имеют одинаковые средние модули, то макроскопические модули упругости этих сред не совпадают.

При вычислении макромодулей и моментных функций полей деформирования можно использовать каноническое разложение функций типа <С° (?) С° (?)) и математический аппарат, изло­ женный в п. 2.3, 2.4 данной главы.

г л а в а з

Метод локального приближения

При исследовании деформирования структурно неоднородных сред, в частности композиционных материалов, хорошим прибли­ жением являются модели сред с регулярной структурой. Пред­ полагается, что в элементарном макрообъеме таких сред поля де­ формирования являются периодическими, т. е. для расчета струк­ турных напряжений и деформаций и вычисления макромодулей можно рассматривать периодические задачи, принимая во внима­ ние, что осредненные по ячейке периодичности напряжения дол­ жны быть равны заданным макроскопическим. В настоящее время разработаны эффективные методы решения периодических задач [6,28,143,15?], используемые в механике композитов.

В данной главе рассмотрен метод, основанный на принципе локальности и использующий эффект ближнего порядка во вза­ имодействии неоднородностей. Это обстоятельство является важным, так как позволяет рассматривать обобщение метода ло­ кального приближения для сред со случайной структурой. Суть метода заключается в замене периодической задачи краевой задачей для области, содержащей конечное (причем достаточно малое) число включений. Приведена методика определения зна­

45

чений компонент тензора напряжений на границе области в за­ висимости от заданных макронапряжений. Результаты числен­ ного решения тестовых задач подтвердили достоверность метода локального приближения [35].

Хотя изложение метода дано для двухкомпонентных сред матричного типа с изотропными элементами структуры, его мож­ но обобщить и для сред с более сложными структурными свойствами*

3.1. Упругая задача для сред с регулярной структурой

Рассмотрим периодическую задачу теории упругости для не­ однородных сред матричного типа с регулярной структурой. Пусть а — вектор трансляции, смещением на который ячейки периодичности можно синтезировать структуру среды (рис. 3.1). Систему уравнений запишем в виде

tfij, } (г) = О,

eij ю = 4

причем постоянные Ляме Л (?) и \i (?) в физических уравнениях являются кусочно-однородными периодическими функциями. Условия периодичности для искомых полей деформирования

и заданные макронапряжения а* — т. е.

(3.1.3)

Vi

позволяют выделить единственное решение системы (3.1.1). Определив напряжения и деформации во всех точках объема ячейки периодичности,соответствующие заданным макронапряжени­ ям, можно вычислить имакроскопические модули упругости среды.

Включения при деформировании сред матричного типа вза­ имодействуют друг с другом посредством упругих полей матрицы (за исключением предельного случая, когда включения касаются друг друга; этот случай здесь не рассматривается). Если включе­ ния в матрице расположены далеко друг от друга, то упругое поле матрицы вокруг произвольно выделенного включения, как

иупругое поле самого включения, определяется только особен­ ностями совместного деформирования этого включения и матрицы

ине зависит от наличия или отсутствия других включений. Тогда механика деформирования среды с малой концентрацией включе­ ний может быть построена на основе решения задачи об изоли­ рованном включении. Согласно такому решению искажения, вызываемые в упругом поле матрицы инородным включением, затухают на расстоянии порядка трех-четырех характерных раз­ меров включения [123]. Таким образом, если структура среды

46

такова, что включения не взаимодействуют друг с другом, то за пределами области затухания поля напряжений и деформаций в матрице являются однородными (рис. 3.2). Легко показать, что структурные напряжения в этой области равны заданным макро­ скопическим, т. е. Ojj (г) = stj. Это следует из эквивалентности объемного и поверхностного осреднения и условия однородного

Рис. 3.1.

Неоднородная среда матрич­ ного типа с двумя элементами структуры

а, б — тетрагональная регулярная структура,

«в — гексагональная регулярная структура

Рис. 3.2.

Зона однородного напряженнодеформированного состояния в среде с малой концентрацией включений

распределения напряжений на поверхности ячейки периодич­ ности vx.

Для расчета напряжений и деформаций во включениях и об­ ластях неоднородного напряженно-деформированного состояния матрицы достаточно решить систему уравнений (3.1.1) для области

(3.1.2), (3.1.3) граничными условиями (3.1.4) дает возможность использовать для решения краевой задачи (3.1.1), (3.1.4) такой универсальный метод, каким является метод конечных элементов.

Приведем пример реализации указанного подхода для сред с неканонической формой включений. Пусть в изотропной упругой матрице включения образуют кубическую решетку и имеют куби­ ческую форму, причем ориентация кубиков-включений согласо­ вана с симметрией решетки в целом. На рис. 3.3 показано рас­ пределение безразмерных напряжений o tj = Oi^/q в плоскости центрального сечения кубика при макроскопически одноосном растяжении среды sn = q. Анализ распределения напряжений в матрице и включении при разных соотношениях их упругих свойств позволяет сделать следующие выводы [ИЗ]: а) увеличе-

47

ние модуля Юнга включений приводит к значительному увели­ чению нормальных напряжений внутри включений и небольшому их возрастанию в матрице; б) на границе раздела включения и матрицы вблизи вершин куба имеет место концентрация каса­ тельных напряжений, которые существенно возрастают при уве­ личении отношения Е[!Ет.

Рис. 3.3. Распределение напряжений по включении и матрице

Ет — 50 МПа, vm = 0,45, Vy: = 0,3, Ej = 500 МПа (сплошные линии), Ej = 1000 МПа

(штриховые линии)

Для включений канонической формы бывает удобнее решать задачу о деформировании неограниченного пространства, в цен­ тре которого находится единственное включение. Система урав­ нений (3.1.1) тогда дополняется условиями на бесконечности

В некоторых случаях получено точное аналитическое решение задачи (3.1.1), (3.1.5) [49, 123].

Вычисление макроскопических модулей осуществляется в два этапа. Вначале по формуле

щие макронапряжеииям а* = s{j, а затем путем обращения мак­

определяют макромодули. Естественно, что полностью макроско­ пические свойства среды могут быть определены путем обращения уравнений (3.1.7), если число независимых постоянных тензора С* не более шести.

48

При произвольной объемной концентрации элементов струк­ туры требуется учитывать взаимодействие включений друг с дру­ гом посредством упругих полей, вызываемых в матрице. Задача, о распределении структурных переменных деформирования с уче­ том многочастичного взаимодействия связана с проблемой о вза­ имодействии многих тел. Структурные переменные па поверх­ ности TVl ячейки периодичности ь\ распределены неоднородно и заранее неизвестны.

Рис. 3.4. К всстрсевЕЮ расчетной схемы

а — для среды с гексагональной структурой, б — для среды с тетрагональной структурой

Пусть геометрический центр произвольной ячейки периодич­ ности о) совпадает с началом координат. Окружим выделенный типовой элемент (ячейку периодичности) несколькими слоями аналогичных типовых элементов в соответствии со структурой рассматриваемой среды и поместим полученный ансамбль со^ в область Q (схема с одним слоем для сред с гексагональной и тетрагональной структурой изображена на рис. 3.4).

Область Qt = Q — о>2 заполнена однородным материалом со свойствами матрицы.

Предположим, что мы знаем распределение напряжений на по­ верхности ГГ1 типового элемента и\ регулярной структурно неоднородной среды, соответствующих данной структуре и свой­ ствам элементов структуры, а также заданным макронапряже-

(т. е. считать со генератором напряженно-деформированного состоя­

и альтернативную задачу о генерировании упругого поля в цен­ тральном элементе со области Q с помощью сложного, но одно­ родного напряженного состояния, заданного на бесконечности области Q.

49

Действительно, пусть для области £2 заданы на бесконечности напряжения

(3.1.8)

В результате взаимодействия центрального включения с матри­ цей и со смежными включениями в ячейке (о будут действовать неоднородно распределенные напряжения. Осредненные по со напряжения, соответствующие заданным на бесконечности обозначим qij. В силу локальности взаимодействия включений можно предположить, что распределение напряжений и деформа­ ций в центральном элементе со области £2 совпадает с распреде­ лением структурных переменных а*7 (г), е*7- (г) в ячейке перио-

дичности среды при макронаиряжениях оц = qtj. Другими сло­ вами, решение краевой задачи для области £2 с граничными усло­ виями (3.1.8) в центральном элементе со адекватно решению перио­ дической задачи (3.1.1), (3.1.2) при условии

(3.1.9)

Перейдем теперь к вопросу о том, можно ли подобрать такие которые бы генерировали в элементе со области £2 распределе­ ние напряжений и деформаций, одинаковое с распределением в ячейке периодичности среды с регулярной структурой пере­

менных деформирования, удовлетворяющего заранее заданным

макронапряжениям а*- = При упругом деформировании элементов структуры справед­

лива линейная зависимость между заданными макронанряжениями S[j и искомыми граничными условиями Gij краевой задачи для

следовательности краевых задач для области £2 (в общем случае несимметричного включения таких задач шесть), когда на бес­ конечности задано одноосное растяжение и чистый сдвиг.

Так как компоненты тензора А^тп определяются однозначно и система уравнений (3.1.10) имеет единственное решение, то напряжения с^7, найденные из (3.1.10), будут единственным обра зом генерировать поля деформирования в центральном элементе

ообласти £2, соответствующие заданным макронапряжениям stj. Теперь осреднением по области со можно найти компоненты

тензора макродеформаций е* = etj, соответствующие макрона­ пряжениям afj — stj, и вычислить значения компонент тензора

С*тп. В упругом случае эти значения не зависят от конкретного макроскопического напряженно-деформированного состояния среды. Поэтому для расчета макромодулей упругое поле в обла­

50