книги / Механика разрушения вязко-упругих тел

а функция 6о(0 запишется так [105]:

____

Здесь

R = a -f- d.

Раскрытие берегов трещины при г = а определится из соотноше­

ния

(14.4)

Для макроскопических трещин (d<Ca) в рассматриваемом случае справедливы уравнения роста трещин (12,4) — (12.7), ес­ ли в них вместо Ki подставить его значение согласно формуле

(4.13).

Исследуем развитие макроскопической дискообразной тре­ щины, описываемой уравнением (12.5) (концепция d= con st), и определим долговечность вязко-упругого массива с трещиной при длительном действии постоянной нагрузки р.

Поскольку для рассматриваемого случая коэффициент интен­ сивности напряжений также описывается формулой (13.1), ес-

ли в ней положить 1=а и я = - , то развитие трещины также

определяется соотношениями (13.4) — (13.5), если в них заме­ нить l(t) на a(t). Соответственно формулы (13.9) — (13.11) опи­

сывают развитие дискообразной трещины в среде Максвелла. Как видим, пространственный случай отличается от плоско­

го напряженного состояния тем, что вместо одного оператора имеется функция от интегральных операторов (14.1).

Если материал несжимаем, следовательно, v*=>v=0,5, зада­ ча упрощается, и мы имеем полную аналогию со случаем плос­ кого напряженного состояния, поскольку

Такую же аналогию будем иметь, если выполняется предпо­ ложение, что v* = v = const.

§ 15. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ РОСТА ТРЕЩИНЫ В ВЯЗКО-УПРУГОМ ТЕЛЕ

Как следует из предыдущего параграфа, в некоторых частных случаях решение уравнения роста трещины в вязкоупругом теле можно записать в квадратурах. Однако в более сложных ситуациях — для общих случаев нагружения и облас­ тей произвольной конфигурации, когда Ki имеет сложную струк­

туру, нахождение решений уравнений (12.4) — (12.7) представля­ ет значительные трудности.

В связи с этим в работах [125, 199] практически одновре­ менно для приближенного решения уравнений движения трещин в вязко-упругих средах была предложена следующая аппрокси­ мация интегрального оператора наследственной упругости:

T*y(t)~(T*-l)y(t). (15.1)

Ниже исследуем область применимости аппроксимации {15.1) для операторов наследственной упругости с ядром Абеля, экспоненциальным и дробно-экспоненциальным ядром, а также проведем уточнение этой аппроксимации для большого диапа­ зона параметров указанных ядер.

Если применить аппроксимацию (15.1) к общему уравнению роста трещины (10.5), то получим следующее приближенное уравнение:

Сравнивая уравнения (12.5), (12.7) и (15.4), видим, что они отличаются только структурой подынтегральных выражений. Представим эти уравнения в следующей форме:

1

где Q1(q)= ^R(qs)F(s)ds соответствует уравнению (12.5), Q2(<7) =

16

=\ R (ЯБ) ds — уравнению (15.4).

6

Сравнивая значения Qi(q) и Qz(q), оценим погрешность ап­

проксимации (15.1) для некоторых типов операторов наследст­ венной теории упругости.

1. Ядро Абеля. Пусть R(t—т) имеет форму (2.27). Вычисляя для этого случая интегралы Qi(q), получим

ненциальной функции (2.28). В рассматриваемом случае соглас­ но ( 12.11) имеем

\ У л

VQi (Ф

п=0 1(я + 1)(1- а ) + 1]Г [т+ (п + 1)(1 - а ) ]

(15.10)

После интегрирования и соответствующих преобразований ана логично предыдущему получим

Поскольку для малых концевых областей величина я очень

мала, а для большинства реальных вязко-упругих материалов X и р также малые величины, то в этом случае W<^ \ и Л<С1.

печивает применимость аппроксимации (15.9) для операторов с дроб­ но-экспоненциальными ядрами. При этом точность аппроксимации увеличивается с уменьшением W> что следует также из характера

Q1

а

/

В табл. 8 приведены значения интеграла (15.13) с ядром

которые были получены численным интегрированием с помощью таблиц [77].

В табл. 9 приведены значения приближенного вычисления интеграла (15.13) с помощью аппроксимации (15.9), которая в данном случае представима в форме

1

Сравнивая результаты, приведенные в обеих таблицах, мож­ но прийти к выводу, что для ядер Абеля аппроксимация (15.9) и ъ случае немалых концевых областей для многих значений у да-

Преобразовывая это уравнение и вводя безразмерные параметры

In

(дг.е)

Поскольку в рассматриваемом случае переходной период пре­ небрежительно мал, то начальное условие запишется так:

В качестве примеров найдем решение уравнения (16.2) для вязко-упругого аналога задачи Гриффитса, когда

и случая устойчивого развития трещины под действием двух, сим­ метрично расположенных растягивающих сосредоточенных сил одинаковой величины (см. рис. 15), когда Ki имеет вид

Представим внешнюю нагрузку в форме

р(0) = р * 1> + ь/(е)]-

Уравнение (16.2) для указанных двух случаев соответственно запишется так:

(Ki определяется соотношением (16.5)).

Решение уравнений (16.6) и (16.7) проводилось на ЭВМ БЭСМ-4 численным методом Рунге — Кутта [35].

На рис. 38 представлены результаты этого решения зависн- -мостыо безразмерных длин трещин х (0) от параметра 0 для слу­

чая, когда внешняя нагрузка растет со временем по линейному

закону

При х = 10 2, -jp = 9.

Как следует из характера этих зависимостей, неустойчивая трещина (аналог задачи Гриффитса) растет более интенсивно, чем устойчивая и со временем достигает критической длины 1=

= /*, когда начинается ее ди­ намическое развитие.

Устойчивая трещина разви­ вается равномерно по мере увеличения внешней нагрузки

и не имеет периода динамического развития. Если развитие устойчивой трещины происходит при постоянной нагрузке, то ее рост быстро затухает и трещина через некоторое время оста­ навливается. Это видно из зависимости, приведенной на рис. 39, которая представляет собой решение уравнения (16.7) при

§ 17. ДОЛГОВЕЧНОСТЬ ВЯЗКО-УПРУГИХ ПЛАСТИН С МАКРОСКОПИЧЕСКИМИ ТРЕЩИНАМИ

Исследуем долговечность тонких вязко-упругих плас­ тин различной геометрии с прямолинейными макроскопическими трещинами нормального разрыва, находящихся при длитель­ ном воздействии постоянных нагрузок. Будем полагать, что де­ формирование материала пластин описывается интегральными операторами Абеля и Эа*-операторами [112]. Согласно резуль­ татам, полученным в предыдущих параграфах, длительность ин­ кубационного и переходного периодов для макроскопических;