книги / Механика разрушения вязко-упругих тел
..pdfИсследуем далее развитие трещины согласно двум рассматрива емым концепциям.
Концепцияd = const. В этом случае Q = (W \d)l- a[T(2—а)]""1. Подставляя это значение Q в (23.12) и учитывая соотношение
(8.11), преобразуем уравнение (23.12) к виду
( 4 - ) ’“ | + <л ° + й т ? * & ' |
(2злз> |
где |
|
D = dl~a [Г (2 — о)]-1, B = D р. |
|
Таким образом, уравнение (23.13) представлет собой анали тическую зависимость коэффициента интенсивности напряже ний от скорости роста трещины. При изменении скорости роста трещины^ от нуля до бесконечности Ki возрастает в (1 + (Ло-Ь
+ х)Р"1) 2 РазСкорость роста трещины в вязко-упругом компо зите согласно (23.13) определяется формулой
|
1 |
. _ | |
ВГ(1 + Л )Х ?-(/0* \1~а> |
I |
(23.14) |
Kf |
|
|
A = A (a ) A + J L |
и зависит от коэффициента интенсивности напряжений, струк турных параметров композита, механических и реологических свойств наполнителя и связующего.
Разделяя переменные в (23.14), после интегрирования полу чаем
1-а
(23.15)
Iо
В случае, если развитие трещины в аналогичном упругом компо зите при тех же нагрузках неустойчиво и существует критичес кая длина /= /* , отвечающая началу динамического роста тре щины, долговечность композитной пластины с трещиной опре делится из соотношения
T * ~ A /, = jF (/)d /. |
(23.16). |
/• |
|
В случае одноосного растяжения пластины (аналог задачи Гриффитса), как и в изотропном случае [75], имеем
K , - P V " ' . - Н Я |
(23.17) |
Подставляя (23.17) в (23.15) и (23.16), преобразуем (23.16) к виду
т
|
Т* = С |
[ F(y)dy, |
|
(23.18) |
где |
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
/ —— |
—— |
Г |
pl — pZy |
"|l—а |
с = ± Г Л 1 Т ( 2 - « ) Г а . |
Р ( у ) = [ — +- А)р, у ^ |
г |
||
При а = 0,5 величина Т* определяется формулой |
|
|||
|
(■гг) (,+л,‘ |
. ~ |
Ш |
+ - |
|
|
— 2 1 +А |
1п- |
|
|
(23.19) |
|
|
(1Ч-^) т - ' |
|
||
Концепция с = const. В этом случае[ 141] |
|
||||
|
6[/(0] = |
лГо |
|
(23.20) |
|
Преобразуем уравнение (23.12) к виду |
|
||||
|
(4 )‘=>+<л.+*>4Ж |
(23.21) |
|||
Здесь |
|
|
|
1+В0<Г |
|
£)0 = [Г (2 - а )Г 1. 5 = |
Р [Г (2 -а )Г 1, |
|
|||
|
|
||||
|
Я— |
; А ь |
tn |
g0a . |
|
Введем |
функцию z = |
i|)(/) такую, что >'(/) = K f2 (/). |
Тогда |
||
уравнение |
(23.21) запишется так: |
|
|
||
1+-|+Хи“-а’ М==(*Г'' |
(23*22> |
где
R — k (a )( Л р - f - y ) р % JTS f ’ |
Г (2 — а ) ’ |
Из уравнения (23.17) следует
м =
р
0 . |
|
|
|
0J96 |
|
|
|
|
|
4 \ |
V |
№ |
|
|
N |
|
|
|
V |
О М — 1. |
1н и ш |
---« |
«««»»«■ |
00/ |
0.1 |
|
|
Рнс. 57
|
X |
f |
)I—а |
j * l [ ( l + 4 K t - ( / 0 4] 1 |
|
|
(23.23) |
Разделяя переменные в урав |
|
нении |
(23.23), после инте |
грирования имеем |
|
t — t* = |
J F (z)dz, z0=tp(/„). |
Здесь |
(23.24) |
|
|
|
F (z ) = |
To----- = 1 |
И —a |
Г |
|
[(1 -{- Л) K j (z) — (K^)41J
(23.25)
Если |
существует |
обратная функция |
(= i|)(z), |
то |
уравнение |
(23.24) |
определяет |
зависимость длины |
трещины |
от |
времени. |
Рассмотрим в качестве примера аналог задачи Гриффитса. В
этом случае долговечность композитной пластины определится из выражения
2ln£i
(23.26)
где
F (у) = Г— |
'll—5" |
L(1 +
На |
рис. 57 |
(концепция d = const) |
и рис. 58 (концепция сг = |
||
= const) |
сплошными |
линиями обозначены зависимости величины |
|||
хТ5И^ |
х |
= |
о т |
отношения |
согласно формулам (23.18), |
(23.26) для следующих характеристик стеклопластика на основе
смолы ЭД-6 [70] а = |
0,5; |
р = 0,12 ч” 0,5; %==0,052 ч“ 0’5; |
Еа = |
|
= 0,981 Х7ХЮ 10 Н/м2; |
va = |
0,2; Е0= 0,981X0,315ХЮ10 |
Н/м2; |
|
v0= 0,382; Т == 285 К; Е °п = |
0,981 Х5,2ХЮ 10 Н/м2; |
Е°22=0,981 X |
||
X I,4X1010 Н/м2; ^ = 0 ,2 4 . |
Штриховыми линиями |
показаны ана |
||
логичные кривые, полученные из расчета долговечности изотропной пластины из одного связующего ЭД-6. Как следует из графиков, приведенных на рис. 57 и 58, армировка материала повышает долго вечность пластины с трещиной.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основе анализа результатов исследований, приве денных в монографии, можно сделать следующие выводы отно сительно характера разрушения вязко-упругих тел.
1. Длительность инкубационного периода развития трещи ны в вязко-упругом теле определяется реологическими свойства ми материала, геометрией тела и видом нагрузки (коэффициен том интенсивности напряжений для макроскопической трещины)
ихарактеристиками разрушения.
2.Длительность начального (переходного) периода разви тия трещины определяется указанными выше характеристиками
идля макроскопической трещины соизмерима с величиной инку бационного периода развития трещины.
3.Для изотропных и ортотропных вязко-упругих тел (дефор мирование которых описывается ограниченными операторами наследственной теории упругости) с макроскопическими трещи нами нормального разрыва для обеих концепций существует бе зопасный коэффициент интенсивности напряжений Ki6, опреде
ляемый через мгновенные и длительные постоянные материала,
такой, что при K i^ K i6 нет докритического роста трещин.
4.Долговечность вязко-упругих тел с макроскопическими трещинами нормального разрыва в общем случае (при произ вольном /(i) определяется длительностью основного периода мед ленного роста трещины, поскольку инкубационный и переход ной периоды развития трещин в этом случае вносят пренебрежи мо малый вклад в общую долговечность тела.
5.В том случае, если концевая зона не мала, начальный этап (инкубационный и переходной периоды) развития трещины вносит существенный вклад в общую долговечность вязко-упру
гого тела и при значительных размерах концевой зоны (^ >0,5)
соизмерим с длительностью основного периода медленного рос та трещины.
6.Развитие устойчивой трещины при постоянных нагрузках затухает со временем, и трещина через определенный промежу ток времени останавливается.
7.Развитие неустойчивых трещин при докритических посто янных и возрастающих внешних нагрузках происходит интенсив
нее, чем устойчивых, а при достижении критической длины (кри тического коэффициента интенсивности напряжений для макро скопической трещины) их развитие переходит на неустановившийся динамический режим.
8.Коэффициент интенсивности напряжений растущей мак роскопической трещины нормального разрыва в изотропной и ортотропной (трещина расположена вдоль оси ортотропии) плас тинах при постоянных и медленно меняющихся со временем на грузках является функцией скорости ее роста, т. е. существует универсальная (независимо от геометрии тела и вида нагрузки) зависимость, установленная ранее экспериментально для мно гих вязко-упругих материалов.
9.Как показало сравнение результатов расчета с экспери ментальными данными, концепция постоянства длины концевой зоны во время роста трещины хорошо описывает длительное раз рушение некоторых полимерных материалов, что обосновывает
ееприменение при изучении долговечности вязко-упругих тел. 10. Долговечность вязко-упругих пластин с двумя малыми
коллинеарными трещинами, выходящими на контуры отверстий (эллиптического и кругового), значительно отличается от долго вечности для пластины с эквивалентной трещиной-разрезом; с ростом длины это отличие уменьшается, и при 1>2R для круго
вого отверстия им можно пренебречь.
11. Долговечность вязко-упругих композитов (армирован ных однонаправленными упругими волокнами), разрушение ко торых происходит из-за развития трещин нормального разрыва в связующем, зависит не только от реологических и прочностных свойств связующего, но и от структурных параметров компози та (упругих характеристик и объемного содержания волокон и др.), что позволяет путем соответствующего подбора этих ха рактеристик при изготовлении композита уменьшать докритический рост образовавшихся трещин.
Для практического использования предлагаемой теории раз рушения вязко-упругих сред необходимо знать две группы экспе риментально определяемых параметров: 1) механические, реологические и структурные параметры вязко-упругого мате риала; 2) характеристики разрушения вязко-упругого мате риала.
К первой группе относятся мгновенно упругие константы ма териала и параметры ядер интегральных операторов вязкоупру гости. Методики нахождения этих величин разработаны и изло жены в работах [15, 71, 112]. В случае композиционных вязкоупругих материалов необходимо дополнительно знать такие структурные параметры, как объемное содержание волокон, ме ханические, и реологические константы связующего и волокон. Такие характеристики для некоторых композиционных материа лов приведены в работах [72, 136].
Для. предлагаемой модели разрушения, поскольку она двух фазная, необходимо знать два параметра разрушения материа ла, Для концепции Дагдейла — это напряжения в концевой зо не а и критическое раскрытие берегов трещины 6„. Для кон цепции постоянства концевой зоны — это параметр бк и размер концевой зоны d. Методика определения величины бк изложена в работах [67, 105, 110]. Параметр d можно определить путем
совмещения, теоретической (см. соотношение (12.5)) и экспе
риментальной зависимостей КС= К С(1)-
В заключение отметим, что предлагаемая теория, конечно, не учитывает всех особенностей разрушения вязко-упругих тел, на что указывалось в тексте книги. Это, естественно, может ограни чить область ее применения. Однако приведенные сравнения по лученных теоретических результатов с имеющимися в литерату ре экспериментальными данными показывают эффективность этой теории для описания длительного разрушения некоторых вязко-упругих полимерных материалов. Последующий учет та ких факторов, как нелинейность материала в массиве, разогрев материала в вершине трещины и других факторов, не учитывае мых предлагаемой теорией, явится ее дальнейшим развитием и, несомненно, расширит область ее применения.
1. Алешин В. И., Кувшинский Е. В. Материальное соотношение, контроли рующее медленный рост трещин в стеклообразном полиметилметакрила те.— Физика твердого тела, 1975, 17, № 3, с. 669—678.
2. Амусин Б. 3 Линьков А. М. Об использовании переменных модулей для решения одного класса задач линейно-наследственной ползучести.— Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1974, № 6, с. 162— 165.
3.Баренблатт Г. И. Математическая теория равновесных трещин, образую щихся при хрупком разрушении.— Журн. прикл. механики и техн. физи ки, 1961, № 4, с. 3—56.
4.Баренблатт Г. ИЕнтов В. МСалганик Р. Л. О кинетике распростра нения трещин : Общ. представления. Трещины, близкие к равновесным.— Инж. журн. Механика твердого тела, 1966, № 5, с. 82—92.
5.Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Салганик Р. Л. О кинетике распростра
нения |
трещин: Условия |
разрушения и длительная |
прочность.— Инж. |
|
журн. Механика твердого тела, 1966, № 6, с. 76—8(К |
|
|||
6. Баренблатт Г. И., Черепанов Г. П. О |
равновесии и распространении |
|||
трещин |
в анизотропной |
среде.— Прикл. |
математика |
и механика, 1961, |
25, № |
1, с. 46—55. |
|
|
|
7.Бартенев Г. М., Зуев Е. С. Прочность и разрушение высокоэластнческих материалов.— М.; Л .: Химия, 1964.—387 с.
8.Бартенев Г. М., Разумовская И. В. К теории временной зависимости
твердых полимеров.— Физика твердого тела, 1964, 6, № 3, с. 657—661. 9. Бессонов М. И. Механическое разрушение твердых полимеров.— Успехи
физ. наук, 1964, 83, № 1, с. 107— 135.
10.Бессонов М. //., Кувшинский Е. В. Об особенностях развития трещин в твердых полимерах.— Физика твердого тела, 1961, 3, № 2, с. 607—610.
11.Бленд Д. Теория линейной вязко-упругостн.— М .: Мир, 1965.— 199 с.
12.Браун У., Сроули Дж. Испытания высокопрочных металлических мате риалов на вязкость разрушения при плоской деформации.— М .: Мир, 1972.—246 с.
13.Брызгалин Г. И. К расчету на ползучесть пластинок из стеклопластика.—
Журн. прикл. механики и техн. физики, 1963, № 4, с. 132— 136.
14.Брызгалин Г. И. К описанию анизотропной ползучести стеклопласти ков.— Журн. прикл. механики и техн. физики, 1963, № 6, с. 177— 181.
15.Бугаков И. И. Ползучесть полимерных материалов.— М .: Наука, 1973.— 287 с.
16.Вавакин А. С., Гольдштейн Р. В.. Салганик Р. JJ., Ющенко Н. С. Об определении характеристик долговечности по данным кинетики роста трещин.— Механика полимеров, 1973, N° 4, с. 634—640.
17.Вавакин А. С., Козырев Ю. И., Салганик Р. Л. Напряженно-деформиро
ванное состояние концевой области трещины в полиметилметакрилате.— Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1976, № 2, с. 111— 120.
18.Вавакин А. С., Салганик Р. Л. К экспериментальному исследованию ско ростной зависимости трещиностойкости.— Изв. АН СССР. Механика
твердого тела, 1975, N° 5, с. 127— 133.
19. Ван Фо Фы Г. А., Озеров В. И. Вязко-упругие свойства некоторых по лимеров.— Прикл. механика, 1965, 1, № 8, с. 100— 105.
20. Витвицкий П. М., Леонов М. Я. Полосы скольжения при неоднородной
деформации |
пластинки.— Вопр. механики реал, твердого тела, 1962, |
вып, 1, с. |
13—28. |
21.Витвицкий П. М., Леонов М. Я. Растяжение за пределом упругости плас тинки с круговым отверстием.— Жури, прикл. механики и техн. физики, 1962, N° 1, с. 109— 117.
22.Витвицкий П. М., Панасюк В. В., Ярема С. Я. Пластические деформации в окрестности трещин и критерии разрушения : Обзор.— Пробл. проч ности, 1973, № 2, с. 3— 18.
23.Вязкость разрушения высокопрочных материалов.— М .: Металлургия, 1973.—304 с.
24.Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости.— М : Гостехиздат, 1953.—264 с.
25.Глушко В. Г., Долинина Н. Н., Розовский М. И. Устойчивость горных выработок.— Киев : Наук, думка, 1973.— 250 с.
26.Гольцев В. Ю., Морозов Е. М., Недошивин П. Е. Об устойчивости тон
колистового образца с трещиной при растяжении.— Завод, лаб., 1969, 35, N° 1, с. 96—98.
27.Горелик А. В. Исследование разрушения материала, армированного дискретными волокнами.— Прикл. механика, 1979, 15, N° 6, с. 25—30.
28.Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.— М .: Наука, 1971.— 1108 с.
29.Громов В. Г. К вопросу о решении граничных задач линейной вязко упругости.— Механика полимеров, 1967, N° 6, с. 999— 1011.
30.Громов В. Г. О математическом содержании принципа Вольтерра в гра
ничной задаче вязко-упругости.— Прикл. математика й механика, 1971, 35, N° 5, с. 869—878.
31.Гузь А. Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел.— Киев : Наук, думка, 1971 —276 с.
32.Гузь А. Н., Дышель М. Ш., Кулиев Г. Г., Милованова О. Б. Устойчи
вость |
тонких пластин с трещиной.— Докл. АН УССР. Сер. А, 1977, |
N° 5, |
с. 421—426. |
33.Гузь А. Н., Кулиев Г. Г., Цурпал И. А. К теории разрушения тонких тел с трещинами.— Прикл. механика, 1975, 11, № 5, с. 32—35.
34.Гуль В. Е. Прочность полимеров.— М.; Л .: Химия, 1964.—228 с.
35.Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики.— М .: Наука, 1966.—664 с.
36.Долинина Н. Н. О функциях специальных операторов теории упруго-на следственных сред.— Докл. АН СССР, 1966, 170, N° 1, с. 64—66.
37.Екобори Т., Инхикава М. Подход к проблеме взаимодействия усталости
и ползучести.— В кн.: Механика деформируемых тел и конструкций.
М.: Машиностроение, 1975, с. 178— 182.
38.Ентов В. М., Салганик Р. Л. О трещинах в вязко-упругих телах.— Инж. жури. Механика твердого тела, 1968, № 2, с. 88—94.
39.Ентов В. М., Салганик Р. Л. Трещина Прандтля в вязко-упругом те
ле : Стационар, распространение трещины.— Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1969, № 6, с. 41—60.
40. Ефимов А. Б. Осесимметричная контактная задача для линейновязко упругих тел.— Вести. Моек, ун-та. Сер. математики и механики, 1966,
№ 3, с. 84—89.
41.Ефимов А. Б. Контактная задача вязко-упругости в условиях полного
сцепления.— Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1970, № 5,
с. 161— 162.
42.Журков С. Н. Кинетическая концепция прочности твердых тел.— Вести. АН СССР, 1968, № 3, с. 46—52.
43.Журков С. Н., Нарзулаев Б. Н. Временная зависимость прочности твер
дых тел.— Журн. техн. физики, 1953, 23, № 10, с. 1677— 1689.
44.Зобнин А. И. Распространение трещины в полимерном материале.— Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1974, № 1, с. 53—56.
45.Зобнин А. И., Ломакин Е. В. Центральная поперечная трещина в ортотропной упругой полосе.— Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1974, № 1, с. 44—52.
46.Зорин А. И., Розовский М. И. Метод расшифровки иррациональной
функции |
интегрального |
оператора.— Прикл. механика, 1965, 1, № 9, |
с. 81—88. |
Д. О теории |
трещин квазихрупкого разрушения.— Жури, |
47. Ивлев Д. |
прикл. механики и техн. физики, 1967, № 6, с. 88— 120.
48.Ильюшин А. А. Об одной теории длительной прочности.— Инж. журн. Механика твердого тела, 1967, № 3, с. 21—35.
49.Ильюшин А. А., Огибалов П. М. О критерии длительной прочности.— Механика полимеров, 1966, № 6, с. 828—832.
50.Ильюшин А. А., Победря Б. Е. Основы математической теории термовяз коупругости.— М .: Наука, 1970.—240 с.
51.Ишлинский А. Ю. Уравнение деформирования не вполне вязкопласти
ческих тел.— Изв. АН СССР. Отд. техн. наук, 1945, 5, № 1, с. 10— 17.
52.Каминский А. А. О критических нагрузках, вызывающих начало раз вития трещин возле отверстия.— Инж. журн. Механика твердого тела, 1966, № 4, с. 45—49.
53.Каминский А. А. Исследование поля напряжений возле малых радиаль
ных трещин, выходящих на контур отверстия.— Прикл. механика, 1971, 7, № 12, с. 112— 115.
54.Каминский А. А. О медленном росте трещин в вязко-упругих телах.— Докл. АН УССР. Сер. А, 1975, № 5, с. 424—427.
55.Каминский А. А. О кинетике развития трещин в вязко-упругой орто-
тропной пластине.— Докл. АН УССР. Сер. А, 1975, № 12, с. 1098—1101.
56.Каминский А. А. Исследование развития трещин в вязко-упругой ани зотропной пластине.— Прикл. механика, 1976, 12, № 6, с. 76—84.
57.Каминский А. А. Исследование кинетики развития трещин в вязко-
упругой пластине произвольной формы.— Докл. АН УССР. Сер. А, 1977,
№ 6, с. 508—513.
58.Каминский А. А. Об одном приближенном методе решения уравнения
роста трещины в вязко-упругой среде.— Прикл. механика, 1977, 13, № 8,
с. 42—49.
59.Каминский А. А. Разрушение и долговечность упругих и вязко-упругих
тел с трещинами : Автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук.— Киев, 1977.—
42 с.
60.Каминский А. А. Докритнческнй рост трещины с немалой пластической
зоной в вязко-упругой среде.— Прикл. механика, 1978, 14, № 10,
с. 82—89.
61.Каминский А. А. О долговечности вязко-упругих тел с трещинами.—
Докл. АН СССР, 1979, 248, № 4, с. 819—821.