книги / Механика разрушения вязко-упругих тел

Из (9.10) и (8.18) следует, что /* существует для всех трещин, размер которых превышает безопасный размер /б = / * |l +

а Д^ согласно (9.9) существует лишь для 1Ъ удовлетворяющих неравенству lx> l * { \ +

где Х = “з~- (т]в — коэффициент вязкости [112]). Соответственно из (8.7) получим

Таким образом, при d ^ l o всегда Д

где 6 [JC, /(0]==^<ADM (01» a V определяется из уравнения

Уравнение (10.1) есть нелинейное интегральное уравнение сложной структуры, решение которого в общем случае пред­ ставляет -большие трудности.

Проведем качественный анализ уравнения (10.1). Ввиду то­ го что развитие устойчивых и неустойчивых трещин на этом этапе имеет качественное различие, проведем их исследова­ ние раздельно.

Остановимся вначале на изучении роста неустойчивых тре­ щин. Начиная с момента t\ скорость движения такой трещины

близка к постоянной, за исключением небольшого интервала времени перед окончанием этого периода, когда трещина пере­ ходит на динамический режим развития. Поскольку оба сла­ гаемых в правой части (10.1) положительные величины, причем 8o[l(t)] увеличивается с ростом l(t), то, очевидно, что при T06o[l(t)]>6K уравнение (10.1) не будет иметь решения.

Итак, условие

будет критическим и совпадает по форме с обычным критерием предельного раскрытия (5.21), отличаясь от него тем, что вмес­ то упругих постоянных материала в условии (9.1) стоят мгно­ венно упругие постоянные. Длину трещины l(t=ti,*)=l* и вре­

мя /*, когда эта длина достигается, будем называть крити­ ческими.

Анализируя структуру уравнения (10.1) можно заключить, что оно как бы состоит из двух частей: мгновенно упругой (первое слагаемое) и вязкой (второе слагаемое), причем если вязкая часть в начале движения трещины играет основную роль, то с ростом трещины ее величина убывает 1 и доминиру­ ющее положение приобретает мгновенно упругая часть уравне­ ния (10.1). При /= /* начинается динамический рост трещины, который происходит за короткое время и составляет малую часть от полного времени развития трещины (долговечности), поэтому его вкладом в долговечность вязко-упругого тела с тре­ щиной можно пренебречь, полагая, что время t** совпадает с

временем полного разрушения тела.

Таким образом, долговечность вязко-упругого тела с тре­ щиной 71* определяется в виде

1 Как будет показано ниже, при 1-+L второе слагаемое уравнения (10.1)

стремится к нулю.

Здесь Д/*=/**—11, а величины t* и Д/i определяются по

формулам, приведенным в § 8, 9.

Отметим также, что развитие неустойчивых трещин в вяз­ ко-упругих телах представляет наибольший интерес (по срав­ нению с устойчивыми трещинами), поскольку их развитие очень опасно и в ряде случаев может привести к полному разрушению вязко-упругого тела. Поэтому в последующих разделах основ­ ное внимание будет уделено этому важному классу задач.

Остановимся теперь на исследовании развития устойчивых трещин. При длительном действии постоянной внешней нагруз­ ки развитие трещины в отличие от предыдущего случая про­ исходит с убывающей скоростью и через некоторое время тре­ щина останавливается. Для поддержания незатухающего дви­ жения трещины необходим рост внешней нагрузки со време­ нем. Существенным отличием рассматриваемого случая от пре­ дыдущего является то, что для устойчивых трещин уравнение (10.1) описывает медленный рост трещины и при критическом значении внешней нагрузки. Это следует из того, что функция б 17(0] убывает с ростом трещины.

Реальную опасность полного разрушения развитие устойчи­ вой трещины может представить лишь в том случае, когда участок устойчивого роста трещины сменяется неустойчивым. При этом трещина может медленно расти до -начала участка неустойчивого роста, а далее произойдет ее спонтанное разви­ тие, вызывающее разрушение тела. Время, прошедшее от при­ ложения внешней нагрузки до момента достижения начала участка неустойчивого роста, и будет определять долговеч­ ность тела -в этом случае.

В заключение преобразуем уравнение (10.1) к виду, необ­ ходимому для его исследования в дальнейшем. Заменяя в вы­ ражении (10.1) т=0 + £' и t'=t—qy получим

бк= Т0 |б0[/(0 ]+ —е)60[/ (0), l(t))dQ\. (10.5)

Здесь q — время, за которое конец трещины проходит рассто­ яние, равное d.

§И. ИССЛЕДОВАНИЕ МЕДЛЕННОГО РОСТА ТРЕЩИНЫ

СНЕМАЛОЙ КОНЦЕВОЙ ОБЛАСТЬЮ

Как отмечалось выше, большинство исследовании по данной проблеме посвящено изучению развития трещин с очень малыми концевыми зонами. Из решения задачи в такой постановке следовало, что длительность инкубационного и ne­

ss

Отметим, что перед переходом трещины на динамический режим развития для t, близких к £**, процесс уже нельзя счи­

тать квазистационарным, однако, поскольку в этот период ско­ рость трещины также резко возрастает, то существенно умень­ шается интервал времени q=t—1\ следовательно, для опреде­

ленных размеров концевых зон и в этом случае можно прибли­ женно использовать представление (11.2), тем более что дли­ тельность этого периода невелика и его вклад в долговечность тела незначителен.

Спомощью замены

ипредставления (11.2) преобразуем уравнение (11.1) к виду

(11.3)

где

«рЮ -тгг

т - 1п Pa-m s + PK/n*sa- 2 m s + P 4 Ра — ms — Р Vm*s* —2ms + ра J

0 В рассматриваемом случае справедливо соотношение

(11.6)

г

где

Соотношения (11.4), (11.6) позволяют представить реше­ ние уравнения (11.3) в параметрической форме

где д согласно (11.4) связано с длиной трещины соотношением

Обозначим

/(/1) = /1= (1+ х )/0(х = ^ ) , 9(У = 90-

Длительность периода квазистационарного роста трещины получим согласно формулам (11.7) и (11.8) в виде

Полная долговечность определится по формуле (10.4). Про­ иллюстрируем полученное решение на примере материала Мак­ свелла.

В этом случае

и из уравнения (11.9) определяем связь между длиной трещи­ ны и временем в форме

(1U 2)

Здесь

1

g (у) = Яф(у) £ (у), £ (Т) — J Ф (s) * •

О

Втабл. 3 приведены значения £(у) для некоторых величии

у.Длительность периода квазистационарного развития трещи­ ны в этом случае получим из формулы

(11.13)

Отметим, что решение для вязко-упругого аналога задачи Гриффитса в рассматриваемом случае получается аналогично* причем оно следует из формул (11.7) — (11.10) и (11.12), (11.13),.

если положить У=^^-(Ро — равномерно распределенные растя-

гивающие усилия на «бесконечности»).

риодов развития трещины, позволяют (для тела Максвелла) оп­ ределить вклад каждого из периодов в долговечность тела с трещиной.

Для макроскопических трещин (d«c0 из выражения (11.13) имеем 1

A/i при надлежащей малости у величины /* и At\ будут пре­ небрежимо малыми по сравнению с At* и их можно не учиты­

вать при определении долговечности пластины с трещиной. Рассмотрим трещину с немалыми концевыми зонами. Возьмем

для определенности d0= у . В этом случае v2= l , и из (11.13)*

получаем

1 Это выражение совпадает с аналогичной формулой (1.3), получен­ ной в [75].