книги / Механика разрушения вязко-упругих тел

развитие трещин будет неустойчиво. Движение таких неустой­ чивых трещин начинается с момента достижения внешней на­ грузкой критической величины, определяемой из условия (5.6), и имеет динамический, спонтанный характер. Приведем также некоторые критерии разрушения типа (5.6), изложенные в мо­ нографии [141], и соответствующие разрушению анизотропных тел.

В случае линейно упругого анизотропного тела, характеризу­ емого девятью константами яц, ai2, flj3, я22, я23, я3з, «44» «55» «45»

имеем

2. Основываясь на представлении (4.1), Дж. Р. Ирвин выд­ винул силовой критерий хрупкого разрушения, который для тре­ щин нормального разрыва при плоской деформации имеет вид

Здесь Kic— критический коэффициент интенсивности напряже­ ний.

В случае плоского напряженного состояния критерий Ирви­ на записывается так:

ГДе /(с — критический коэффициент интенсивности напряжений

при плоском напряженном состоянии. Характеристики K ic и К с связаны с удельной энергией разрушения у следующим образом:

Здесь Кис — критический коэффициент интенсивности напряже­

ний при поперечном сдвиге.

И, наконец, критерий хрупкого разрушения при продольном

Здесь Ктс — критический коэффициент интенсивности напряже­

ний при продольном сдвиге.

Отметим, что K io К о К и о /Сшс — некоторые постоянные ма­ териала, определяемые из эксперимента. Величины K ic и Кс на­

зывают вязкостями разрушения соответственно при плоской де­ формации и плоском напряженном состоянии.

В настоящее время имеется обширная литература (библио­ графия приведена в работах [106, 110, 141], где рассматривают­ ся методики определения указанных характеристик разрушения и даны значения критических коэффициентов интенсивности на­ пряжений для различных материалов.

В том случае, если внешние растягивающие нагрузки направ­ лены под углом к плоскости расположения трещины, развитие трещины происходит под некоторым углом к плоскости ее пер­ воначального расположения.

Если материал разрушается хрупко под действием нормаль­ ных растягивающих напряжений, то такую ситуацию называют обобщенным нормальным разрывом.

В ряде работ [105, 141] для описания этого случая введена гипотеза о том, что направление начального развития трещины будет происходить вдоль линии, где нормальные растягиваю­ щие напряжения достигают максимальной интенсивности. Эта гипотеза получила экспериментальное обоснование в работах [104, 197]. Если в однородной упругой плоскости имеется сис­ тема у-трещин, то, согласно работе [105], величина критической нагрузки р вызывающей развитие наиболее опасной трещины.

определяется из условия

Здесь op*(j)(r, р*) — значение напряжений арМ при критических нагрузках р = р * Р*(Л — полярные углы, определяющие на­

чальное направление распространения трещин. Согласно рабо­ там [105, 141], значение р*0> можно представить так:

Следует также отметить, что в работах [26, 31—33, 137] раз­ вит новый подход в механике разрушения, который основывает­ ся на концепции о локальной потере устойчивости возле трещин в упругих телах. Некоторые исследования по этой проблеме по­ лучены на основе теории изгиба тонких пластин.

В последние годы в этом направлении решен ряд задач ста­ тическим (бифуркационным) методом [31—33], исходя из трех­ мерной теории упругости при малых докритических деформациях.

3.Наиболее известной из двухфазных моделей разрушения

щее напряжение в теле нигде не превосходит предела хрупкой прочности ао, при этом зависи­ мость между напряжениями и деформациями линейна всюду, где напряжения не достигают величины аоПолагается также, что берега трещины взаимодействуют только в том случае, ког­ да их раскрытие меньше некоторой константы материала 6К. Таким образом, нормальное раскрытие берегов трещины 6(х) в .зоне ослабленных связей меньше бк, а для трещины разруше-

ния (где берега не взаимодействуют) выполняется условие

6 (Х )< 6 к .

Из условия об ограниченности напряжений в теле, а следова­ тельно, и в конце зоны ослабленных связей вытекает условие о плавности смыкания берегов трещины, которое имеет вид

Зто условие выражает размер концевой зоны d через параметры

/ И (То*

И, наконец, условием начала разрушения является критерий KPT-критического раскрытия трещины, имеющий вид

Как видим, эта модель, которую, следуя [105], будем называть бк-моделыо, при реализации требует экспериментального опре­ деления двух параметров сто и бк вместо одного Кс (или Kic)

для трещин нормального разрыва в случае модели Гриффитса— Ирвина.

В работах Дагдейла [149], М. Я. Леонова и П. М. Витвицкого [20, 21] предложена модель, близкая предыдущей по матема­ тической трактовке, однако отличная от нее по физической сущ­ ности. В этой модели область ослабленных связей трактуется как вырожденная узкая пластическая область. Все определяю­ щие соотношения этой модели получаются из предыдущей заме­ ной <т0 на сгт — предел текучести материала. Дагдейлом было получено и подтверждено экспериментально соотношение для определения пластической зоны при растяжении тонкой пласти­ ны с прямолинейной трещиной следующего вида:

(р — растягивающие внешние усилия).

В последующие годы резко усилился интерес к модели Лео­ нова— Панасюка— Дагдейла. Была проведена большая рабо­ та по созданию и обоснованию методов определения критическо­ го раскрытия трещины, установлению пределов его применимос­ ти. Было обнаружено, что 6к-модель и критерий КРТ хорошо описывают процесс разрушения довольно широкого класса ма­ териалов как металлических, так и полимерных.

В последнее время предложен ряд методов измерения рас­ крытия трещины и исследованы влияние геометрии образца и на­ чального надреза (трещины), масштабного фактора, температу­ ры, схемы и скорости нагружения, а также возможность перено­

са лабораторных испытаний на реальные конструкции (библио­ графия по этому вопросу приведена в [22]).

Некоторые авторы [22] считают, что критерий КРТ уже до­ статочно обоснован и его можно применять для выбора матери­ алов и количественной оценки прочности конструкций в случае пластичных материалов. В частности, отмечается, что соотно­ шение

определяющее критическое значение растягивающего напряже­ ния р* (аналог задачи Гриффитса), хорошо отображает реаль­

ные зависимости для малоупрочняющихся материалов и нагрузок, не приводящих к полному течению материала. Следует отметить, что 6к-мо-

дель и критерий КРТ нашли значительное применение при ис­ следовании докритического роста трещин в вязко-упругих те­ лах (см. § 1). Подробное изложение этого вопроса приведено

г L

Здесь Г — кривая, окружающая конец трещины (разреза), ко­ торая начинается на нижнем берегу разреза и кончается на его верхнем берегу, как показано на рис. 24, кривая эта обходится

против часовой стрелки; s — длина дуги; Т — вектор внешних усилий, действующих на Г; W — плотность энергии упругой де­

формации; и — вектор перемещения.

В работах Г. П. Черепанова [138, 141], Райса [116, 117] по­ казано, что интеграл / не зависит от пути интегрирования для линейно и нелинейно упругих тел, а также для идеально-пласти­ ческих и упруго-пластических тел, основанных на деформацион­ ных теориях пластичности, /-интеграл характеризует скорость уменьшения потенциальной энергии тела Э и представляется так:

Вычисляя интеграл / для линейно упругого тела и основываясь на асимптотических выражениях для напряжений и смещений вблизи края трещины (4.1) — (4.6), получим

j = ^ ( i q + K b ) + - k i <?»■

Критерий разрушения, основанный на концепции /-интеграла, для трещин нормального разрыва записывается следующим об­ разом:

и соответствует моменту страгивания трещины, причем

Приведем теперь значение /-интеграла для двухфазных мо­ делей, к примеру, предложенных в работах [3, 85, 149]. В общем случае для трещины нормального разрыва в упругом теле, когда напряжение в концевой зоне есть произвольная функция от рас­ крытия берегов трещины а=сг(6) (рис. 25), выражение для /- интеграла представимо так:

Для модели Леонова—Панасюка—Дагдейла, когда cr(6)=as, это выражение упрощается к виду

Выражения (5.28) и (5.29) устанавливают связь между кри­ тическим значением /-интеграла / с и критическим раскрытием трещины 6К. Согласно (5.28) в общем случае эта связь запишет­ ся так:

а для схемы Леонова—Панасюка—Дагдейла

Несмотря на то что /-интеграл можно использовать в качестве критерия упруго-пластического разрушения, имеются определенные существенные ограничения области его примени-

I 1 Г I I

мости. На основе аналитических выводов применение /-интегра­ ла ограничивается нелинейной упругостью и деформационной пластичностью вместо более общего пластического течения. Это ограничение исключает большие пластические деформации, не­ пропорциональность нагружения и разгрузки и поэтому не мо­ жет допускать и субкритическое подрастание трещин. Это — жесткое ограничение, так как субкритический рост обычно свя­ зан со значительной пластичностью у кончика трещины [88].

Отметим также; что в работах [165, 182] сделана попытка использовать концепцию /-интеграла для исследования роста трещин в вязко-упругих средах.

5. В работах [124, 125] предложена упрощенная схема струк­ туры трещины в полимерных материалах. Эта двухфазная мо­ дель является существенной модификацией бл-модели [105]. В отличие от последней в ней учитывается изменение напряжений (сил сцепления) в концевой области в зависимости от силовых, геометрических и реологических параметров. Модель основана на том экспериментальном факте, что вблизи концов трещин в линейных полимерах, таких как полиметилметакрилат, перед окончательным разрушением происходит расслоение материа­ ла. Таким образом, в тонких пластинах вблизи концов берега трещин связаны тяжами (связями), представляющими собою тонкие нити, ориентированные вдоль действия нагрузки (рис. 26).

Приведем основные положения и соотношения этой модели для вязко-упругого полимерного материала.

Рассмотрим бесконечную тонкую пластину из полимерного материала (полимерную пленку), ослабленную трещиной длиной 2L (см. рис. 26). Пластина на бесконечности растягивается по­

стоянными усилиями р, нормальными берегам трещины. Проти­ воположные берега трещины в концевой области на участках

—jjr- соединены тонкими нитями-тяжами, т. е. концевые области

трещин в полимерах имеют строение, подобное трещинам «се­ ребра» [8— 10].

Ограничимся исследованием раскрытия трещины под дейст­ вием малых докритических постоянных нагрузок, при которых материал пластины и тяжей деформируется, следуя соотноше­ ниям линейной теории вязкоупругости.

В дальнейшем будем рассматривать случай, когда тяжи ори­ ентированы вдоль действия внешней нагрузки. Область трещи­ ны длиною 2/0, где берега трещины не взаимодействуют, соглас­ но [82], назовем трещиной разрушения, рост которой происхо­ дит путем последовательного разрыва тяжей.

Будем моделировать трещину прямолинейным разрезом. По­ лагаем, что ширина всех тяжей одинакова и равна Ь. Тогда если

N тяжей непрерывно заполняет концевую область, то Ь = - ^

Как и в случае бк-модели, будем требовать, чтобы напряжения в теле не превышали предела упругости и были конечны, т. е. выполнялось условие (5.20).

Трещина разрушения начинает расти, если произойдет раз­ рыв тяжей на ее границе с концевой областью. Будем полагать, как и в работе [195], что тяжи при разрыве всегда достигают предельной вытяжки 6/t и разрушаются. Основываясь на этом условии, в качестве критерия разрушения используем критерий КРТ, имеющий вид (5.21).

Полагая в дальнейшем, что тяжи, стягивающие берега тре­ щины вблизи концов, непрерывно заполняют концевые области, заменим приближенно распределение напряжений o(x) по дли­ не концевой области, вызванных деформацией тяжей, ступен­ чатой нагрузкой (рис. 27), осредняя а(х) по ширине каждого тяжа. Обозначим средние величины напряжений в крайних тя­

правый конец трещины).

Будем полагать, что деформирование материала пластины и тяжей описывается соотношениями линейной теории вязкоупру­ гости, изложенными в §2, 3.

В этом случае задача сводится к плоской задаче линейной теории вязкоупругости для изотропной пластины с разрезом дли­ ною 2L, по берегам которого приложены следующие самоуравновешенные напряжения:

Раскрытие берегов трещины под действием нагрузки в форме (5.32) легко определить из соотношения (3.20) в виде

Отметим, что соотношение (5.33) следует из соотношения (3.20) в предположении, что /0 и L не изменяются со временем.

В этом случае в соотношении (3.20) операции действия опера­ тора Г* и интегрирования коммутативны, откуда следует соот­ ношение (5.33). На основе соотношений (5.20) и (5.33) условие конечности напряжений представим так:

i

Уравнение контура трещины, для которого справедливо ус­ ловие (5.20), примет вид