книги / Механика разрушения вязко-упругих тел

Отметим, что точно такое же соотношение можно получить с помощью принципа Вольтерра. Таким образом, в рассмотрен­ ном случае принцип Вольтерра справедлив при любом характе­ ре изменения длины трещины. Второй, наиболее распространен­ ный случай, когда a (t)= L (t), в частности, соответствует одно­

родному растяжению пластины «на бесконечности». Здесь, ана­ логично предыдущему, можно показать, что справедливо ра­ венство

только при монотонном росте L(t).

Нормальные перемещения берегов трещины определяются из соотношения (7.8) при a = L (t) . Отметим, что к соотношению

(7.8) приводим в рассматриваемом случае с помощью принципа Вольтерра.

Третий из указанных случаев a (t) = l( t) аналогичен преды­

дущему и для него справедливы критерии применимости прин­ ципа Вольтерра, изложенные выше.

Итак, можно констатировать, что для концепции d=const принцип Вольтерра выполняется всегда, если трещина растет монотонно со временем, а для некоторых типов внешних нагру­ зок, когда a(7)=const, этот принцип справедлив для любого за­ кона изменения длины трещины.

Концепция <?=const. В этом случае длина концевой области может изменяться со временем. Согласно доказательству, приве­ денному выше, операции интегрирования по области [0, d(t)] и

действия оператора 71* коммутативны только в случае монотон­ ного роста концевой зоны. Условия коммутативности указанных операций для второго интегрального члена выражения (7.2) бу­ дут точно такими же, как и в предыдущем случае. Таким обра­ зом, для выполнения коммутативности всех указанных опера­ ций, а следовательно, и для применимости принципа Вольтерра при исследовании роста трещин в рамках концепции a= const необходимо выполнение дополнительного условия монотонного роста концевой зоньпнесли все эти условия выполнены, то нор­ мальные перемещения берегов трещины также определяются формулой (7.8), где нужно положить a(t) = а .

Условие конечности напряжений на концах разреза при х = =d~L(t) в рассматриваемом случае имеет вид

- а д

Условие плавности смыкания берегов трещины (5.20) с учетом коммутируемости операций дифференцирования по х и действия оператора Т* в общем случае запишется так:

- m

Как следует из (7.11), условие плавности смыкания берегов, трещины совпадает с условием конечности напряжений (7.10) только в случае коммутативности операций интегрирования и действия оператора Г*, что эквивалентно принципу Вольтерра. Заметим, что в упругом случае такое совпадение имеет местовсегда.

В качестве иллюстрации критериев применимости принципа Вольтерра рассмотрим макроскопическую трещину (d(t)<gil(t))„ Если CJQ(!*, /) =qo(t), то из условия (7.11) для концепции

о = const следует

Из условия (7.12) следует, что при однородном растяжении плос­ кости усилиями cjo(t) = р о = const размер концевой зоны растет* если растет l(t), следовательно, в этом случае справедливо при­

менение принципа Вольтерра.

Приведем пример, когда принцип Вольтерра неприменим. Пусть a=const и q0(t) = ^ 0=const, тогда согласно (7.13) d(t)

убывает с ростом трещины, следовательно, нет^коммутируемости операций интегрирования и действия оператора 7* в соотно­ шении (7.6).

Выведем, основываясь на соотношениях (7.6) и (7.8), необ­ ходимую нам в дальнейшем формулу для определения переме­ щений берегов трещины под действием постоянного давления ро.

В заключение отметим, что полученные здесь критерии при­ менимости принципа Вольтерра справедливы и для других бо­ йчее сложных случаев, таких, как трехмерные и анизотропные за­ дачи о распространении трещин в однородных вязко-упругих те­ лах, а также плоские задачи для областей более сложного вида при условии, что для указанных задач существуют функции Грина.

При наличии функций Грина доказательство применимости принципа Вольтерра имеет везде одну и ту же структуру, посколь­ ку центральным местом этого доказательства является установ­ ление критериев коммутативности действия оператора наследст­ венной упругости (агрегата операторов в более сложных слу­ чаях) и операции интегрирования по областям приложения внешней нагрузки.

К этому выводу можно прийти, основываясь на результатах работы [127], в которой с общих позиций строго обоснованы критерии применимости принципа Вольтерра для ряда задач те­ ории вязкоупругости с изменяющимися со временем граничны­ ми условиями.

Далее в работе будем исследовать задачи о распространении трещин в вязко-упругих телах, когда выполнены условия, обес­ печивающие применение принципа Вольтерра.

§ 8. ИНКУБАЦИОННЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ ТРЕЩИНЫ

Развитие трещины в вязко-упругом теле при докритических нагрузках в общем случае можно условно разбить на три периода [75, 125]: инкубационный (подготовительный), пе­ риод медленного квазистатического роста трещины и период ди­ намического развития трещины.

Во время инкубационного периода происходит раскрытие бе­ регов трещины без ее роста (при возрастающих нагрузках р(х, t)

возможно подрастание концевой области).

Согласно принципу Вольтерра, изложенному в предыдущем разделе, уравнение контура трещины в однородной вязко-упру­ гой пластине можно во многих случаях представить так:

где 6(/) = Г 0бо(/)— упругое раскрытие берегов трещины при

х= 1.

Отметим, что, по-видимому, впервые для б,«-модели уравне­ ние, определяющее величину инкубационного периода, было по­ лучено в [124]. Здесь была найдена простая аналитическая за­ висимость, определяющая t* для материала, деформирование ко­

торого описывается Эа*-операторами Ю. Н. Работнова [111].

Вработе [74] соотношение (8.7) было получено для вязкоупругого аналога задачи Гриффитса.

Как известно (см. § 2), различают два типа вязко-упругих материалов. Во-первых, материалы, кривые ползучести которых имеют горизонтальную асимптоту*, и материалы с квазивязким течением (тела типа Максвелла).

Всвязи с этим отметим, что если при монотонно возрастаю­ щей нагрузке решение уравнений (8.4) и (8.6) всегда существу­ ет, то иная ситуация будет, когда внешняя нагрузка не изменя­ ется со временем. В этом случае решение уравнения (8.7) будет существовать для произвольной нагрузки только для вязко-уп­ ругих тел типа Максвелла. Следовательно, разрушение этих вяз­ ко-упругих тел может иметь место при сколько угодно малых на­ грузках.

Пусть внешняя нагрузка представима в форме pf(xt у), где р — параметр нагружения, имеющий размерность напряжения, f(x, У) — некоторая функция координат. Тогда для вязко-упру­

гих тел первого типа решение уравнения (8.7) существует то­ лько для параметров р, больших некоторого предела рб-

Другими словами, при р<рб величина 6(x=lo, t) не может

достичь бк даже за сколько угодно большое время и роста тре­ щины не происходит. Будем, следуя [73], называть рб безопас­

ными нагрузками.

В общем случае величины безопасных нагрузок определяют­ ся из соотношения 21

где Too и То — соответственно длительное (t=oo) и мгновенное

(/= 0 ) значения функции Г* - 1.

1 Деформирование таких вязко-упругих тел описывается ограниченными интегральными операторами [113], к примеру Эа -операторами [111].

2 Для вязко-упругого аналога задачи Гриффитса при концепции а = const подобное соотношение получено в работе [75].

Выражение (8.8) для вязко-упругой пластины можно пред­ ставить в виде

где £(ь Еоо — мгновенный и длительный модули упругости.

Для макроскопических трещин (d<C/), вершина которых уда­ лена на значительное расстояние от границ тела, упругое рас­ крытие берегов трещины при x = l( t) можно выразить через ко­

Тогда коэффициенты интенсивности напряжений, соответст­ вующие безопасной нагрузке iCi6, определяются из (8.9) соот­ ветственно по формулам

где Ki* — критическое значение коэффициента интенсивности

напряжений, соответствующее критическому значению парамет­ ра нагрузки р*, которая вызывает рост трещины в теле с мгно­ венными характеристиками.

В большинстве случаев Кг можно представить в виде

где т|а— некоторые геометрические параметры.

Тогда для первой и второй концепций соответственно имеем

Отметим, что для вязко-упругих тел, деформирование котоых описывается ограниченными интегральными операторами ?112], существует безопасный размер трещины /б, такой, что

при /^ /б трещина не развивается.