книги / Механика разрушения вязко-упругих тел
..pdfВ этом случае имеем
Е ц « E li* ^22 & £ 22» V21 ~ V21,
(22. 1)
о:2= с?2[ 1 + аз; ( - р)].
Здесь £ц, Е°2, v®b 0?2 — мгновенные значения соответствую-
щих реологических характеристик.
Исследуем развитие макроскопической трещины в ортотропной пластине, выполненной из материала со сдвиговой ползучес тью (трещина расположена вдоль оси Ох).
Подставляя выражения (22.1) в соотношение (20.14) и учи тывая соотношение (2.39), преобразуем функцию от интеграль ных операторов Г* к виду
P-я, |
|
т —T o V l + * Э 'а (- п |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
т — |
|
1 |
1/ 2/l/*» |
|
Е° |
|||
|
1 |
+1<3° |
||||||
* |
|
* У |
е |
уе |
\2 У |
{ V ж - |
||
|
\ |
|
|
°12 |
||||
|
|
|
|
|
ос = |
ЯС0, |
|
|
|
с |
- А |
|
[ а |
|
Г |
б?2 J |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
.(22.2)
(22.3)
(22.4)
Поскольку при развитии макроскопической трещины инкуба ционный и переходной периоды пренебрежимо малы, исследуем развитие трещины во время основного периода развития. Урав нение роста трещины во время этого периода имеет вид (10.Г), где R (t—т) — ядро интегрального оператора (22.2).
Покажем, что для приближенного решения этого уравнения можно применять аппроксимацию (15.9). С этой целью пред ставим оператор (22.2) в форме [25]
V l + : & (- У) - 1+ ^ ~ 3)11„ |
^ Л (- Р )- |
(22.5)
Ядре этого оператора согласно (22.5) и (2.28) имеет вид
* ( * - т ) |
V I |
(2ft — 3)!1 |
х* |
jZ j |
2ft!! |
(ft —1)! 2 { ( - Р ) " + п ( - Р Г 1+ • • • |
|
|
* = 1 |
|
|
(22.6)
+ 1" <“ - ' ) 2»J< - T W T W ^ r l •
Уравнение роста трещины (10.5) в рассматриваемом случае мож но представить в форме
(22-7)
Здесь qQ(q) согласно (22.6) имеет следующую структуру:
|
|
|
|
|
|
2k\\ |
(k |
_iчj Qnh> |
(22.8) |
|
|
|
|
|
|
k=i |
— 1)! |
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 /1=0 |
l(r t+ l)(l-a )] F(s)ds, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
l |
00 |
n(_P)«-l fosyU-»)-® |
|
|
|||
|
|
с712 = ^ s |
F (s)ds, |
|
||||||
|
|
|
Г[(я+1)(1-а)1 |
|
||||||
|
|
|
0 |
/1=0 |
|
|
|
|
|
(22.9) |
|
1 |
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Qnk = qbk |
|
[rt (n - 1 ) . . . (rt — (ft - 2))] (— py*—(*—'»(qs)nd~a)~a |
F(s)ds. |
|||||||
|
|
|
|
|
Г ((« + |
1) (t — <*)j |
— — |
|||
0 |
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, вводя безразмерные параметры Л=Я*71-« |
|
|||||||||
и вычисляя интегралы, входящие в (22.9), получим |
|
|||||||||
Qn1 |
|
|
|
|
( - |
w f |
|
|
|
|
|
|
1(я+1)(1-о)+ 1] |
r [ 4 - + ( « + l ) ( l - « ) ] ’ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Qm — |
|
|
|
|
я(— W f |
|
________ |
|
||
|
|
K » + l) ( l - a ) + l] |
Г [ - | - + (п + 1 ) 0 - a ) ] |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. (22.Ю) |
Л |
|
У я |
. .. W |
n (rt - |
1) ■. ■(л - (ft - 2))1 (~ « T ~ (* ~ D |
|
||||
Vnfc------ 2~ |
Л ^ |
|
|
[(« + |
1)(1 — a) + |
1] |
|
|||
|
|
|
rt= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x ________ !_________
Г [ 4 + ( r t + l ) ( l - a ) ]
Подставляя соотношения (22.10) в выражение (22.8) и отбра сывая малые члены порядка Л2. ЛW и выше, получим
q Q ^ e i - L Y * |
|
( 2 — а ) Г ( 2 ,5 — а ) |
’ |
|
(2 2 .1 1 ) |
||
2 |
2 |
|
|
||||
Теперь рассмотрим приближенное решение уравнения |
(22.7) |
||||||
на основе аппроксимации (15.9). В этом случае уравнение |
(22.7) |
||||||
преобразуется к виду |
|
|
|
|
|
|
|
т |
щ |
- ' +«■<«>■ |
|
|
<22'12> |
||
Здесь qQn(q) имеет согласно |
(15.17) следующую структуру: |
||||||
|
|
со |
|
|
|
|
|
qQn( q ) = k ( a ) ^ |
(2А — 3 ) И |
С о |
Q X |
|
(2 2 .1 3 ) |
||
2*11 |
(ft— 1)! |
|
|||||
где |
Л=1 |
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
о" |
у |
(- Р H «flip- g)- g |
rfj |
|
|
||
Qnl — ЯЛ) 2 u |
|
Г [(л + 1)(1 — ct)] |
|
|
|
||
О |
п= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
X оо |
( _ р)«—1(9s)n (l- e )- a |
|
|
|||
|
|
|
ds, |
|
|||
<Зп2 = < 7 ^ 5 2 ^ Г[(л+1)(1-а)] |
|
|
|||||
Ол=О
|
|
.(2 2 .1 4 ) |
П п |
[ П(„ _ 1 ) . . . (л — (ft — 2))] |
. |
Qnk = Я^ ) 2 и |
----------------- г [(«+!)(!-a)] |
as• |
О л = 0 |
|
|
Вводя безразмерные параметры Л и W и вычисляя интегралы,
входящие в (22.14), получим
оо |
|
(—Г)4 |
|
|
|
q"i=aSл= 0 |
|
|
|
||
|
Г [1+ (»+ 1)(1 -в)Г |
|
|
||
00 |
|
,п—I |
|
|
|
|
|
|
|
||
п=0 |
|
n(-w у |
! ) ( ! - « ) ] |
’ |
|
’ |
г [1 + ( /1 + |
(2 2 .1 5 ) |
|||
Qnn2 = A22 |
|
|
|
||
СО |
1) ■. ■(ft - (ft - |
2))1 (- гсу-Ц-1» |
|
||
[п (я - |
|
||||
Г[1+(п+1)(1-сс)1
п=0
Если подставить соотношения (22.15) в выражения (22.13) и отбросить малые члены порядка Л2, AW и выше, то мы также
придем к выражению (22.11). Следовательно, применение ап проксимации (15.9) к оператору V l + х Э J (— $') приводит к то
му, что приближенное значение функции У1+хЭа*(—р') б[/(/)] отличается от точного на малые члены порядка Л2, AW и выше.
Таким образом, аппроксимирующее выражение можно предста вить в виде
1Л + х э ; ( - р ') б [ /( 9 ] ^
(2ft —3)11 х* 6*~1
+ а ( « > 2 ! 2*1! (ft-1)1
(22.16>
Суммируя ряд в (22.16), окончательно приходим к следующей аппроксимации иррациональной функции от Э* оператора:
V I + кэ; ( - Р') 6[/ (*)]^ V 1 + Kk (а) [Э^(~ р'). 1] б[/ (*)]. (22.17)
Поскольку для макроскопических трещин параметр q мал, то
справедлива аппроксимация оператора (—р') (17.6). В этом
случае аппроксимирующее выражение (22.17) можно предста вить так:
У 1 + хЭ * (-Т О • б [I (0] ~ У 1 + k (a) б [/ ©]. (22.18>
Уравнение основного периода развития трещины (.10.5) преоб разуется с помощью аппроксимации (22.18) к виду
S* = Ь[1 (0] у 1 + k (a) |
(22.19 |
Для макроскопических трещин в рамках концепции d = con st уравнение (22.19), подобно тому как это сделано в третьей гла ве, преобразуется так:
1 + B W \^ * |
(22.20) |
где |
|
H. = xD, D = dI-° [Г (2 — a)]-C, B = p'D, |
= (/)-'. |
Разделяя переменные в уравнении (22.20) и интегрируя, окончательно получим
t — = |
(22.21) |
где
|
\ |
F(/) = |
I—а9 |
в[(1 + "^ _) л1 - ^ ) а1
Вкачестве примера рассмотрим одноосное растяжение пла стины с трещиной постоянными усилиями р, направленными нор мально берегам трещины.
Вэтом случае
Кг = р У Щ ) . |
(22.22) |
Интегрируя уравнение (22.21) при а= 0,5, получим аналити ческое выражение для определения долговечности ортотропной вязко-упругой пластины с трещиной в виде
— 2 ,/t |
(22.23) |
Здесь
h= k (« ) - &
§23. ИССЛЕДОВАНИЕ ДОЛГОВЕЧНОСТИ КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА
Рассмотрим разрушение композиционного материала, состоящего из упругих однонаправленных волокон и вязко-уп ругого связующего. Трещины в композитах можно условно раз бить на два типа [75]:
а) микротрещины — размер трещин сравним с толщиной во локон;
б) макротрещины — размер трещины мал по сравнению с размерами тела, но значительно больше толщины армирующих, волокон.
Остановимся на исследовании роста макротрещин, располо женных на значительном удалении от границ тела.
Как известно [75], в однонаправленных стеклопластиках при деформировании образуются трещины в связующем, направлен
ные параллельно армирующим волокнам. Будем исследовать разрушение композиционного материала вследствие развития во времени трещин указанного типа (рис. 56).
Отметим, что модель разрушения композита должна со стоять из двух основных элементов. Во-первых, это струк турная модель композиционного материала и, во-вторых, это
6; У |
|
|
модель |
разрушения |
(структура |
||||||
|
|
края |
|
трещины, |
критерии |
раз |
|||||
|
|
|
рушения). |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Будем |
моделировать |
компо |
||||||
|
|
|
зиционный |
материал |
анизотроп |
||||||
|
|
|
ной |
средой |
с приведенными ха |
||||||
|
|
л |
рактеристиками. |
Такое |
модели |
||||||
|
|
рование не всегда допустимо, по |
|||||||||
|
|
in |
|||||||||
|
|
этому |
|
возникает |
вопрос, |
когда |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
оно справедливо |
для |
композици |
||||||
|
|
|
онного |
материала, имеющего |
на |
||||||
|
|
|
рушение сплошности |
(трещину). |
|||||||
Рис. |
56 |
|
Этот |
вопрос |
был |
проанализиро |
|||||
|
ван в работе |
[203], где установ |
|||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
лено, |
что |
такая |
замена |
может |
||||
давать приемлемые для практики результаты только при соб людении условия малости размеров включений в композите (среднего радиуса волокон или толщины слоев) по сравнению с размерами трещин.
Вторым элементом при исследовании разрушения рассматри ваемой композиционной среды является выбор модели разруше ния. В качестве такой модели будем использовать, как и ранее, bk-модель, которая, как показали эксперименты [141], хорошо
описывает разрушение стеклопластиков.
Рассмотрим прямолинейный рост трещины в пластине из стеклопластика под действием растягивающих самоуравновешенных напряжений р(х), приложенных к берегам трещины.
Для выполнения прямолинейности роста трещины в связующем будем полагать, что связующее однородно и. обладает меньшим сопротивлением хрупкому разрушению, чем армирующие волок на. В противном случае при симметричном нагружении разру шение может перейти в область с пониженным сопротивлением хрупкому разрушению и нарушить прямолинейность развития трещины.
Будем моделировать однонаправленный стеклопластик вяз ко-упругим ортотропным материалом. Трещина в этом случае на правлена вдоль одной из осей ортотропии (оси Ох). Уравнение
контура трещины в рассматриваемом случае определяется соот ношением (20.12). Согласно работе [70], для однонаправленно
го стеклопластика с гексагональным расположением волокон мо жно приближенно представить временные операторы, входящие в (20.14), в виде
[£ 2*2]-г= [£l2]-' [1 + (— р)].
[<&]"* =[Gi2]-1[i + |
cal(-P)]. |
(23.1> |
||
|
. г*0 |
, 0 |
|
|
Здесь |
' £Ц» >21 ' |
5V2(. |
|
|
|
|
|
||
Щ М1- |
£ = |
ЗХТ]G°,/G0 |
(23.2) |
|
£<.(! + £) |
|
|||
2 (l+ v 0) ( l + i + 4-^ -) |
’ |
|||
|
||||
где £ц°, Ezz0— мгновенные модули упругости композита при ра стяжении вдоль осей х и у; Gi2°t V2i°— мгновенный модуль сдви
га и коэффициент Пуассона композита; £ а, va — модуль упругос ти и коэффициент Пуассона армирующих волокон; Е0, v0— мгно венный модуль упругости и коэффициент Пуассона связующего; g и т] — объемное содержание наполнителя и связующего; а, Я, Р — реологические параметры связующего. В рассматриваемом случае функция от интегральных операторов (20.14) имеет сле дующий вид:
|
т1{2 (1 + |
( - |
Р)) [т 2 ]/1 |
+ гЭ'а ( - р) _ щ3] + |
||||||
где |
|
+ Щ (1 + СЭ; ( - |
Р)) (1 + |
%Э: ( - |
fi))}*\ |
(23.3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тл |
п V |
1 |
т* |
_ 1 f |
EU |
_ |
о |
гп |
Ь°П |
|
22 |
|
V |
£° ’ |
тз |
V2l* |
mk |
Л0 • |
|||
|
|
|
|
|
"22 |
|
|
|
J 12 |
|
Эту функцию, согласно [112], можно разложить в сходящийся операторный ряд (2.45), который в данном случае имеет вид
Т. = miaY t1 + ааЭ*а (— Р) +
Здесь
|
«1 = = |
1 |
Ъ |
|
|
2 |
а ' |
||
где а3 |
|
1 |
Ьс |
|
а |
4 |
а2 + |
||
|
а2у?Эа2(— Р) + а3х3Э;3 (— Р) + .. .].
(23.4)
|
/г 1 |
с |
\_ |
= |
(, 2 |
а |
8 |
1 |
Ь3 |
\ |
|
16 |
а* |
) |
1 |
а = 2тл — 2ma-f- mk, |
6 = 1 + |
2{щ — m3) + (1 + £/x) m4* |
||
з |
, |
t |
41 |
|
с = ~ |
+ т ,- j- , |
d ~ 324 |
‘ |
|
|
|
|
||
Заменяя степени от оператора по формуле |
(2.41), преобразуем |
|||
ряд (23.4) к виду
(23.5)
Здесь
Уравнение роста трещины в этом случае можно также предста вить в форме (22.7), где qQ(q) имеет вид
яQ(<7) = 2
k={
причем функции Qnh определяются также соотношениями (22.9)
и (22.10). Отсюда следует, что аппроксимация (15.9) справедли ва и в рассматриваемом случае с точностью до величин Л и W
первого порядка. Поэтому, следуя результатам предыдущего параграфа, интегральный оператор (23.3) аппроксимируем сле дующим образом:
Г.6[/(0] ~ т,v |
1 + y.k (а) (Э;-1)[2 (т2 Vl+%k(a){9'a- \ ) - m z) + |
|||
|
|
+ m4(l + £ft(a) (Э;1))]^6[/(0], |
(23.6) |
|
или, |
с учетом |
аппроксимации |
(17.6), представим |
оператор Г* |
так: |
|
|
|
|
|
|
|
И - х - £ $ 7 Г Х |
|
х [ 2 |
(т , ] / Г1 |
— т з) + |
/”i ( l + £ 1 + Qp) |
(23.7) |
Отметим, что и в более общем случае, когда Ец*> £ 22* , V2 1* и Gi2*
есть операторные величины, можно с помощью аппроксимации (15.9) получить соответствующие аппроксимирующие выраже ния. Действительно, если указанные операторы имеют вид + ^ Э а*(—Р)], то с помощью процедуры, изложенной выше, оле-
ратор Г* можно представить в виде ряда
(23.8)
где Ко— одно из чисел X*; а* — безразмерные параметры.
Как следует из (23.8), по аналогии с изложенным выше дока зательством в рассматриваемом случае также справедлива ап проксимация (15.9) с точностью до малых величин Ло=Хоq1^ ,
первого порядка. Если ввести обозначение
T* = F [V ? ; ( - Р), . .. КЭа ( - Р)1, |
(23.9) |
то аппроксимирующее выражение оператора Т* можно записать
так:
Г*8 [/ (0] ~ F [X0ft (a) (Si • 1 ),... K k (а) (За ■D] 8 [I (*)], |
(23.10) |
||||
или, с учетом аппроксимации (17.6), в форме |
|
||||
'О |
1 + |
QP |
- • |
--K г Щ - ]вР«н* |
<23Л1> |
т л т * р [ к |
т |
Ш |
" |
||
В случае, если параметры р* операторов Эа*(Р0 различны, к со отношениям (23.10) и (23.11) можно прийти, исходя из разло жения функции от операторов (2.46).
Следует также отметить, что аппроксимирующие соотноше ния (22.18), (23.7) и (23.11) отличаются от соответствующей ап проксимации, полученной в работе [49], наличием корректирую щего множителя, который существенно улучшает точность по лученных выше аппроксимаций.
Исследуем теперь кинетику роста трещины в композите. Ис ходя из аппроксимации (23.7) и пренебрегая в уравнении (10.5) малыми членами порядка q2, преобразуем его к виду
(23.12)
где