книги / Механика разрушения вязко-упругих тел

Кельвина (стандартное линейное тело). В заключение рассмот­ ренная задача обобщается на пространственный случай. Ука­ зывается, что из полученных результатов легко найти решение задачи о росте дискообразной трещины в вязко-упругом масси­ ве (вязко-упругий аналог задачи Зака). В случае вязко-упруго­ го аналога задачи Гриффитса для тела Максвелла получена простая формула 1

ной, где о — напряжения в концевой области; у0, т — реологи­

ческие параметры; р0— интенсивность внешних нагрузок; р* — критическая нагрузка Гриффитса. Внук [199], исходя из модели терщины Дагдейла и энергетического критерия, представил уравнение, описывающее докритический рост трещины в вязкоупругом теле, в следующем виде:

Здесь М — интегро-дифференциальный оператор, описывающий медленный рост трещины; Y — функция ползучести; G — поток

энергии в вершину трещины, отнесенный к единице площади трещины; Gc — критическое значение величины G; р — -параметр внешнего нагружения; Д — размер концевой зоны; I — длина

1 В формуле (1.3) исправлена незначительная погрешность, допущенная в [75].

Здесь а=1+А; 6* — критическое раскрытие трещины в вершине.

Для случая, когда все вязко-упругие свойства тела сосредо­ точены в малой концевой зоне, Внук [199, 200] пренебрегает оператором М и рассматривает упрощенное уравнение

Во многих своих работах для упрощения сложной структуры уравнения, описывающего медленный рост трещины в вязко-уп­ ругом теле. Внук применял следующую аппроксимацию [199]1:

мации (15.1), приведенной в главе III, где показано, что для -случаев, рассматриваемых в работах Внука (материалы Макс­ велла, Фойгта, линейное стандартное тело), эта аппроксимация дает существенную погрешность. Так, приближенное значение (1.7) отличается от точного в три раза.

Уравнение медленного роста макроскопической трещины, по­

1 Уравнения (1.4) и (1.6) получены также с помощью аппроксимации

В том случае, если /?//<< 1 и значения R не изменяется в ин­ тервале времени [t, £0], уравнение (1.13) преобразуется в урав­

нение (1.8).

Предложенная Внуком модель разрушения является более сложной, чем обычная бк-модель и ее обобщение на случай дли­ тельного разрушения вязко-упругих тел. Если при применении бк-модели нам необходимо знать две константы материала бк и а, то в модели Внука их три: кроме бк и а входит еще неко­

торый параметр структуры материала А, который в общем слу­

ны) и применить аппроксимацию (1.7), т. е. по существу урав1* неиие (1.8) соответствует двухпараметрической модели типа Г. И. Баренблатта [3]. Однако для исследования разрушения вязко-упругих тел такая модель непригодна (см. §6), поскольку одновременное требование постоянства параметров d и а при­

водит к невыполнению условия конечности напряжений на краю концевой зоны 1 при х = /+ А во время роста трещины.

Внук и Кнаусс [202] исследовали начальный период разви­ тия пространственной дискообразной трещины с вырожденной кольцевой пластической зоной в вязко-упругом массиве. В ос­ нову исследования положена модифицированная модель Леоно­ ва—Панасюка—Дагдейла, когда напряжения в концевой зоне трещины a=a(t) полагаются зависящими от истории нагруже­

где Л, В, С — константы материала; % — функция деформиро­

ванного состояния

Индексы v и е обозначают соответственно вязко-упругие и уп­

ругие компоненты деформации.

Выбранный закон деформирования материала в концевой зоне трещины приводит к тому, что с ростом ползучести мате­ риала увеличивается функция %и вызывает соответствующую релаксацию напряжений в концевой зоне трещины, что в свою очередь приводит к росту пластической зоны у края трещины.

1 Концевая зона представляется разрезом на продолжении линии трещи­ ны, на берегах которого приложены самоуравновешенные напряжения о0.

где с0, с2, т — положительные .величины, не зависящие от вре­ мени.

Изучается случай плоской деформации, когда деформирова­ ние вязко-упругого тела зависит от двух интегральных операто­ ров £* v*. Однако конкретные примеры рассмотрены при упро­ щающем предположении, что v * = v = co n st (v — коэффициент Пуассона). Исследование ведется для модели трещины, подоб­ ной моделям Г. И. Баренблатта [3] и М. Я. Леонова, В. В. Панасюка [85] при неравномерном распределении напряжений по длине концевой зоны, однако при этом полагается, что нап­ ряжения в концевой зоне не меняются со временем.

В качестве критерия разрушения применяется локальный энергетический критерий Черепанова — Райса [138, 179], кото­ рый в рассматриваемом случае имеет вид

( 1.20)

о

где v — нормальное перемещение берегов трещины; vm — его критическое значение (2vm — критическое раскрытие трещины);

Г — удельная энергия разрушения; о ( о ) — напряжения в кон­ цевой зоне трещины.

При исследовании используется предположение, что вторая производная логарифма функции податливости мала относитель­ но логарифма времени. В такой упрощенной постановке вычис­ лена скорость роста трещины нормального разрыва в вязкоупругом теле вида (1.19), которая определяется следующим со­ отношением:

На основе уравнения (1.21) Шепери исследовал несколько конкретных задач механики длительного разрушения вязко-уп­ ругих материалов.

Относительно учета неравномерности распределения напря­ жений в концевой зоне отметим следующее. В рассмотренной выше работе Кнаусса [165] показано, что эта неравномерность' (для малых концевых зон) несущественна при исследовании кинетики роста трещины. К тому же выводу для упругого слу­ чая ранее пришла Л. В. Онышко [103], которая показала, что для малых концевых областей неравномерность распределения напряжений не влияет на характеристики разрушения.

Маккартни [171] в рамках модели Дагдейла рассмотрел развитие трещины в линейном вязко-упругом теле под действи­ ем постоянной или монотонно возрастающей нагрузки. В этой

энергетический критерий. Отмечается, что рост трещины в -вяз­ ко-упругом теле Мак-свелла можно описать с помощью упомя­ нутых выше критериев, если учитывать диссипацию энергии в концевой зоне. Показано, что локальный энергетический крите­ рий позволяет описывать закономерности роста трещин в вяз­ ко-упругих телах более общей реологической структуры. Так, скорость трещины нормального разрыва в вязко-упругом теле, деформирование которого описывается интегральными опера­ торами разностного типа, в случае постоянных внешних нагру­ зок определяется формулой

концевой зоне (см. рис. 23); Ki(t) — коэффициент интенсивности

напряжений; Г — энергия разрушения; v — коэффициент Пуас­ сона; j(t) — функция ползучести; точка над буквой обозначает

производную по времени.

Из соотношения (1.22) легко определить время до разруше­ ния tf вязко-упругого тела с трещиной

При этом, как и в работах [74, 75], предполагается, что