книги / Механика разрушения вязко-упругих тел

Разрешая уравнение (17.9) относительно s и разделяя перемен­ ные, после интегрирования получаем

Если развитие трещины неустойчиво и существует критичес­ кая длина /= /* , длительность периода медленного роста трещи­ ны определится так:

В качестве примера исследуем долговечность пластин, конфигу­ рация которых приведена на рис. 14, 16—18. В этом случае Кг

определяется формулой (13.1). Подставляя (13.1) в соотноше-

где

На рис. 40 приведена зависимость величины хГ* от отноше­

лы ЭД-6 (см. табл. 2).

жимо мала по сравнению с Д£*, следовательно, ее, а также Д^ (поскольку AtiLnt*) можно не учитывать при определении дол­

Уравнение (17.13) устанавливает связь Ki со скоростью роста

трещины в вязко-упругой среде. Разрешая это уравнение отно­ сительно 0 и разделяя переменные, после интегрирования полу­

чаем

к ; - к .

t - U = \FXl)dl; F(l) =

>[(l+*(a) р j K i—Ki

(17.14)

В том случае, если развитие трещины неустойчиво, долговеч­ ность вязко-упругого тела с трещиной определится из соотно­ шения ^

В качестве примеров исследуем долговечность вязко-упру­ гих тел сложной геометрии, рассмотренных в предыдущей главе.

1. Рассмотрим случай, когда значение Ki определяется фор­

мулой (4.16), которая соответствует всестороннему растяжению пластины с круговым отверстием радиуса R и двумя коллинеар-

ными трещинами равной дли­ ны I, выходящими на контур

отверстия.

Из соотношений (4.16) и (8.13) следует

ф («/)= [(''«+ у) [i —

1

На рис. 41 приведены значения величины Г* в зависимости от параметра —■для эпоксидной смолы ЭД-6 (см. табл. 2) при

разных значениях параметра г0. Как следует из приведенных за­ висимостей, долговечность вязко-упругого тела с данным дефек­ том существенно зависит от геометрии дефекта, определяемой безразмерным параметром г0.

2. Пусть Ki определяется формулой (4.18), что соответству­

ет случаю всестороннего растяжения пластины с эллиптическим отверстием и двумя равными коллинеарными трещинами дли­ ною /, выходящими на контур отверстия, как указано на рис. 22.

значения хГ* для трещин, выходящих на контуры эллиптического и кругового отверстий, значительно превосходят значения долговечности для прямоли­

нейной трещины-разреза. И только при ^ ^ 2 для кругового от­

верстия и при ~ ^ 1 , 5 для эллиптического отверстия (т = 0 ,5 )

указанные характеристики становятся близкими, т. е. в этом

случае расчет долговечности пластины с рассматриваемым сло­ жным дефектом можно заменить решением более простой за-

дачи для трещины-разреза, что особенно важно при создании плоских образцов с искусственными трещинами для изучения долговечности вязко-упругих материалов.

Таблица 10

контура отверстия.

Т а б л и ц а 12

§ 18. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ПОЛИМЕРНОЙ ПЛАСТИНЫ С ТРЕЩИНОЙ. СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ

В работе [200] приведены данные экспериментальных исследований по определению долговечности тонкой пластины из полиуретана Solithane 50/50 со сквозной центральной прямоли­ нейной трещиной. Деформирование полиуретана Solithane 50/50 описывается интегральным оператором с экспоненциальным яд­ ром вида (2.21) с реологическими характеристиками, приведен­

ными в табл. 2. Полагается, что длина трещины значительно ме­ ньше ширины пластины, и поэтому для вычислений можно брать коэффициент интенсивности напряжений в форме (13.1) (рис. 43).

по приближенным соотношениям, полученным на основе ап­ проксимации (15.9), то данная задача является весьма удобной для сравнения теоретических решений с экспериментальными данными и выявления области применимости различных приб­ лижений.

На рис. 44 представлена зависимость долговечности 7* (с) по­

лиуретана Solithane 50/50 от безразмерного параметра (— )2 при

Р*

х = Ю"2-7. Сплошная линия соответствует численному расчету ILQ точной формуле (13.5). Пунктирная линия отвечает расчету долговечности по приближенной формуле (1.4), приведенной в [200]. Треугольниками обозначены экспериментальные данные для этого случая, приведенные в [200]. Следует отметить, что

чае. Как видно из рис. 44, рб= ^ намного лучше соответствует

экспериментальным данным. Это позволяет сделать вывод, что концепция d=const наилучшим образом описывает долговеч­ ность пластинчатого образца с центральной трещиной, выпол­ ненного из полиуретана Solithane 50/50.

Оценим теперь на этом примере область применимости ап­ проксимаций, используемых в настоящей работе. Получим приб­ лиженное соотношение для определения долговечности на ос­ нове аппроксимации (15.9). В рассматриваемом случае уравне­ ние (15.18) преобразуется к виду

(18.3)

где

Интегрируя уравнение (18.3), определим долговечность пласти ны с трещиной в форме

В табл. 13 приведены значения долговечности 7V1), 7V2) и Т^3К

рассчитанные соответственно по формулам (13.5), (18.4) и (17.16) для некоторых значений параметра Q = J Отметим, что

формула (17.16) получена на основе аппроксимаций (15.9) и

(17.6). Приведенные в табл. 13 расчетные данные показывают, что аппроксимация (15.9) дает приемлемую для практики точ­ ность (до 5%) при *7< 0,1 с. Применение дополнительной аппро­

ксимации (17.6) допустимо при той же точности, если ^<0,04 с. При дальнейшем уменьшении параметра q точность приближен­

ных решений возрастает. Следует также отметить, что, согласно работам [2, 181], в рассматриваемом случае, когда а = 0, ап­

проксимация (17.6) дает наихудшую точность. С ростом а точ­ ность аппроксимации (17.6) возрастает и будет наилучшей при значениях а, близких к единице.

§ 19. РАЗВИТИЕ ТРЕЩИН В ВЯЗКО-УПРУГИХ ТЕЛАХ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ

Все рассмотренные выше случаи относились к иссле­ дованию кинетики роста трещин при постоянных и медленно рас­ тущих внешних нагрузках. При этом единственной причиной докритического роста трещин являлась ползучесть вязко-упругого материала.

При действии циклических внешних нагрузок качественно меняется процесс разрушения. Наряду с ползучестью материа­ ла может возникнуть усталостное разрушение, вызванное по­ вторяющимися пластическими деформациями в концевой зоне трещины.

Следует отметить, что в общем случае связь между ползу­ честью и усталостью материала имеет сложный характер [37], однако, как показывают экспериментальные данные по усталос­ ти металлов при высоких температурах, в ряде случаев можно полагать, что повреждения от ползучести и усталости накапли­ ваются независимо друг от друга [37, 112, 141].

Будем в дальнейшем рассматривать относительно медленные движения, при которых можно пренебречь инерционными чле­ нами в уравнениях движения и пользоваться уравнениями ква­ зистатики в форме (3.1) — (3.3).

Рост трещин в вязко-упругих телах при циклических нагруз­ ках происходит из-за монотонного подрастания трещины вслед­ ствие ползучести и усталости материала в течение каждого ци­ кла и необратимости роста трещин.

В такой постановке исследуем медленный рост макроскопи­ ческой трещины в вязко-упругом теле под действием цикличес­ кой нагрузки, характеризуемой параметром нагружения вида •

где ро, Др, со не зависят от времени, а Др<Ср0.