книги / Тензорные алгебра и анализ

Условимся считать в выражениях вида - — индекс J нижним. В рамках

данного соглашения иногда пользуются краткой записью ------ д х* Это

соглашение эквивалентно определению (7.14), согласно которому векторы

базису а, в (7.14) всегда отличен от нуля (условие (7.7)). Следовательно,

векторы е, образуют базис в Х3. Этот базис, состоящий из векторов ejy

касательных к координатным линиям в данной точке пространства <ЛЗУ

называется локальным базисом.

Для произвольной системы координат векторы локального базиса различны в различных точках пространства с/13. Исключением является декартова система координат, в которой все локальные базисы совпадают с реперными векторами. Существование такой системы координат в аффинном пространстве делает возможным отождествить векторные пространства значений векторного поля в различных точках Ccrf3.

Если векторы локального базиса в какой-либо точке области образуют правую тройку, то и в других точках этой области тройка локальных базисных векторов всегда будет правой (предлагаем убедиться в этом), и такую систему координат можно назвать правой. Конечно, подобный вывод справедлив и для левой системы координат.

Рассмотрим закон преобразования векторов локального базиса при преобразовании систем координат. Пусть имеются две системы координат

гладкости тензорного поля над ним определяется операция ковариантного дифференцирования. Рассмотрим сначала векторное поле

Явная запись аргументов в (7.18) подчеркивает, что значение векторного поля / в данной точке S' задано компонентами в локальном базисе е,.

Производная базисного вектора по криволинейным координатам

* * ’ найденная в каждой точке области аффинного пространства, есть векторное поле. В каждой рассматриваемой точке разложим эту производную по векторам локального базиса:

се

я ,

(желательно запомнить закономерность в расположении индексов справа и слева).

Выражение в скобках называют ковариантной производной контравариантных компонент вектора. Кроме частной производной данных компонент в ковариантную производную входят компоненты частных производных векторов локального базиса.

В аффинном пространстве ранее введенный локальный базис следует считать основным базисом.

7.5.Аффинное евклидово пространство

Будем полагать, что в введена какая-либо декартова система координат. Тогда согласно (7.15) векторы локального базиса в каждой

точке М € dl3 совпадают с реперными векторами выбранной декартовой

системы координат е, = at . Сопоставим данному общему для всего с//3

базису произвольную фундаментальную (положительно определенную) матрицу аг Этим фактически определяется однородное в di3 поле

тензора /. Аффинное пространство с однородным полем единичного тензора называется аффинным евклидовым пространством и обозначается <А$3.

Если в М QC/1£3 определена какая-либо криволинейная система координат (7.11), то компоненты фундаментальной матрицы локального

откуда видно, что фундаментальные матрицы локальных базисов различных точек различаются. Если реперным векторам в <А&3

сопоставлена фундаментальная матрица atj = 5^, то

соответствующее паре точек М М ' ь&Ш3: dx - х тг при М ’-> М (характер стремления, например, покоординатный). Если в di£3 введена некоторая

тогда скалярный квадрат

ds2 - d x - d x - d^dt/e, • е7 = g,jd^d^J

Из положительной определенности матрицы [gq] следует, что в любой точке

ds2= >0.

Последнее называют квадратом длины элемента дуги кривой, проходящей через точки М и А/' Если в с№3 параметрически задана гладкая кривая

х - x(t), то длина дуги этой кривой может быть найдена по формуле

'rlA r L ' г Й Г л . ldxd$‘V dxdtj. 'r l <% dt'

Угол между двумя линейными малыми элементами dx, и dx2 в данной точке М определяется как

Если в качестве криволинейной системы координат принять декартову ортонормированную, то

ds2 =bydx‘dxJ = dxidxt - etc2 +dx2+~.+dx2

ортогональной, если в любой точке векторы локального базиса

Таким образом, для ортогональной системы координат матрицы ковариантных и контравариантных компонент метрического тензора в любой точке являются диагональными (но не обязательно одинаковыми для различных точек).

являются рассмотренные ранее цилиндрическая и сферическая системы координат, а также декартова ортогональная (декартова с попарно ортогональными координатными линиями). В п. 7.3 мы ссылались на

декартовы ортонормированные системы координат с ортонормированными реперными векторами.

В случае произвольной криволинейной (не декартовой) системы координат, в частности, ортогональной, различные векторы локального базиса в точке могут иметь различную физическую размерность

м- Ш ,

К]

то есть физическая размерность [е{] вектора et зависит от физической

разложении значения тензорного поля в точке по локальному базису различные компоненты тензора могут иметь различную физическую размерность. В приложениях это часто бывает неудобно. В этом случае для ортогональной криволинейной системы координат вводят безразмерный базис

(73,)

Компоненты тензора в базисе, построенном из векторов /,, называют физическими компонентами тензора.

Найдем связь физических f iJ и контравариантных Т1 компонент тензора второго ранга

Г = V efi, = TyH,HJl,l/ = ft l j j о

[bJJ определяются в каждой точке сЛ€} выражениями (7.17), Однако физические компоненты тензора при таких заменах координат не будут

Г/-* Смысл выясненного свойства заключается в интегрируемости

дифференциальных уравнений (7.14), гарантирующей существование радиус-вектора х в аффинном евклидовом пространстве [5]. В курсе дифференциальной геометрии будет показано, что свойство (7.41) остается справедливым в римановом пространстве и других пространствах без кручения (в общем случае пространства аффинной и метрической

связности симметрией (7.41) не обладают, называют коэффициентами

аффинной связности, а равенство (7.20) с несимметричными коэффициентами аффинной связности рассматривается основным).

2. С помощью (7.39) и (7.41) можно получить выражение символов Кристоффеля I рода через компоненты метрического тензора;

(самостоятельно проверить). С использованием формул (7.41) и (7.42г) можно выразить и символы Кристоффеля II рода через gtJ;

(7.42")

л 2 8 д%к

Из (7.42) симметрия символов Кристоффеля по паре индексов jk видна более непосредственно. Равенства (7.42) могут быть получены из тождества Риччи (см. п. 7.8), играющего в многообразиях с полем фундаментального тензора (пространстве метрической связности и римановом пространстве) роль аксиомы. В римановом пространстве вид выражений (7.42) в точности сохраняется.

3. Символы Кристоффеля не являются компонентами какого-либо тензора.

Данное утверждение предлагается доказать самостоятельно на основе компонентного определения тензора.

7.8.Ковариантное дифференцирование тензорного поля

Сиспользованием формул (7.20) и (7.34) можно получить выражения для компонент ковариантной производной тензорного поля II ранга в различных базисах:

Для тензоров p-го ранга количество слагаемых равно р + 1. Читателю предлагается убедиться, что целесообразность расстановки индексов в (7.44) не оставляет возможности ошибиться (“формулы сами себя пишут” [3]).

Сформулируем свойства ковариантного дифференцирования.

1.Линейность,

(aA,j + РЯ* )>к= о А \к + рВ\ к.

2.Производная тензорного произведения тензоров,

(A JBmn)tk - А \кВтя + А*В™.

3.Производная произведения тензоров,

4.Производная свертки,

Свойства 2-4 можно резюмировать так: операции умножения или свертки и ковариантного дифференцирования переставимы. В N4 вместо записанных можно использовать компоненты тензоров произвольных рангов (конечно, если формально эти композиции имеют смысл).

5. Ковариантные производные компонент тензора ранга р являются компонентами тензора ранга р+ 1.

Например i = f.e' = tiel — вектор, а /'у, tt J являются компонентами

ковариантные компоненты которого есть обозначения частных

производных по . Следует* обратить внимание на то, что операция д(. на

векторы е‘ в представлении V = е*д1не действует.

б .Т о ж д ество Ри ччи .

Ковариантные производные компонент фундаментальной матрицы

Учитывая, что всё это согласно свойству 5 суть различные компоненты тензора III ранга,

g,j,.e'eV = g\ke ,e / = g‘MeieJe>=д W * =v/’

Данное свойство в <Л€-3 следует из однородности поля тензора / .

Следствие: при ковариантном дифференцировании компоненты фундамензальной матрицы локального базиса ведут себя как постоянные

— их можно выносить и вносить под знак ковариантной производной. Например,

V = v , ( g V = g vv (',

(разобрать подробно). Заметим, что хотя ковариантная производная компонент фундаментальной матрицы равна нулю, ее частные производные в общем случае не нулевые,

7.9.Дифференциальные операторы первого порядка

Свертывая набла-вектор различными способами с тензором, определяют различные дифференциальные операторы первого порядка, не зависящие от выбора системы координат. Последнее свойство делает эти операторы удобными в применении в физике и механике сплошной среды.

7.9.1 . Градиент тензора

Рассмотрим сначала скалярное поле <p(5',£',5J), где <р — непрерывно дифференцируемая функция 3 переменных. Тогда, с использованием (7.26), дифференциал этой функции преобразуется к виду

Выражение в скобках (7.47) по теореме об обратном тензорном признаке есть линейная форма (вектор). Этот вектор называется градиентом скаляра и обозначается

где использован введенный ранее набла-оператор V. Градиент скаляра можно трактовать как тензорное произведение вектора V и скаляра ф.

Для векторного поля рассуждения аналогичны. Пусть t(%*t%2&3) —

векторное поле, тогда

По теореме об обратном тензорном признаке выражения в скобках (7.49) есть тензоры II ранга, которые обозначаются соответственно

Э5 и называются транспонированным градиентом вектора и градиентом

вектора. Запись градиента вектора с использованием набла-оператора