книги / Тензорные алгебра и анализ
..pdfравный альтернированному тензорному произведению р векторов a,b,c,..„f, умноженному на р/, называется р-вектором (поливектором;
дляр —2 — бивектором, дляр=3 — тривектором и т.д.). |
|
|
Внешним |
произведением кососимметричных тензоров А |
и В |
|
р |
ч |
называется кососимметричный тензор С , определяемый выражением |
||
С =Лл В = (- £ ^ - [ А В ] , |
(3.14) |
|
р * ч р ч |
p ! q ! Р ч |
|
то есть, чтобы найти внешнее произведение кососимметричных тензоров, нужно выполнить альтернирование их тензорного произведения и
результат умножить на (Р + Я)!
р'ч-
Для кососимметричных тензоров первого ранга (векторов) имеем бивектор
а л Ь =2![аЬ] =2!у'(аЬ -Ь а) =аЬ-Ьа.
Для кососимметричных тензоров — бивектора а л b и вектора с имеем
(ab - Ь а)лс = a b -b a )c ] - 3([abc] + [bac]) = 6[abc] (3.15)
(использована линейность операции альтернирования). Из данного примера становится ясным требование, обусловившее выбор
коэффициента (р + ч>! в (3.14): внешнее произведение р-вектора и q- p!q!
вектора есть (р+д)-вектор.
Внешнее произведение векторов обладает свойствами: а) билинейности;
по первому аргументу (аа +fib) л с = (ад + рЪ)с - с(аа +fib) =
= ((аа)с - с(ад)) + ((fib)с - с(fib)) = а(а л с) + fi(b л с) , по второму
—аналогично;
б) ассоциативности;
(а л Ь ) л с =3![аЬс] из (3.14), а л ( Ь л с ) =а л(Ь с -сЬ ) =
= 3L .(fabcJ - [асЬ]) = 3![аЬс] ;
в) антикоммутативности;
а л b = ab - ba = ~(ba - ab) = -Ь л а .
Свойства внешнего произведения кососимметричных тензоров, аналогичные "а” и "б*7, можно доказать по приведенному выше образцу, третье свойство принимает вид
e, |
(eJ xek) =e, ■(€#«')= €jue, •e' |
, |
|
|
||
e' |
(e‘ х е ') = € ‘‘ |
|
|
|
|
|
Для произвольных векторов |
|
|
|
|
||
а |
(Ь у. с)~ a‘bJcket |
= a‘bJck CiJk= |
С** |
(3.21) |
||
Операции (3.19), (3.21) можно записать в безындексной форме |
|
|||||
с в а х Ь = Ь (а - € ) = (€ Ь) ■а = |
|
|
|
|||
= - |
в € Ь й е д |
= (Ьа):€ =€:(Ьа), |
|
|
(3.22) |
|
д |
х c^ = G- |
Ь)-а = д - (Ь • (с • € =€(а,Ь,с), |
|
|
||
то есть смешанное умножение представляет собой трилинейную внешнюю форму.
Любому тензору второго ранга Т можно поставить в соответствие аксиальный (ассоциированный) вектор
(3.23)
Тензор второго ранга Г симметричен тогда и только тогда, когда его аксиальный вектор равен нулю. Докажем необходимость
Г = Г" =>2t =|:Т = € „ 7 V =€tJ Г*е‘ = - € „ Й У = в .
Достаточность
/ = 0 => € .7 =€„* 7 V = 0 =>G*4 7* = 0;
свернув последнее равенство с |
, получаем |
С” е„д 7* = Оо ( 6 / 6 / |
- 5, * 5 / )Т* = Г* - Т” = о , |
что эквивалентно симметрии Г.
Поскольку симметричная часть тензора второго ранга есть симметричный тензор, в силу последнего свойства
i= - e : T = - e .f r + T J = - е - г ,
2 = 2 = ’ * 2 = ' то есть аксиальный вектор тензора однозначно определяется его
кососимметричной частью. По этой причине чаще рассматривают аксиальный вектор кососимметричных тензоров.
Если А — антисимметричный тензор, то его можно однозначно найти по его аксиальному вектору а ,
(3.24)
Таким образом, аксиальный вектор а антисимметричного тензора А и сам этот тензор связаны взаимно однозначно.
Для антисимметричного тензора А и ассоциированного ему вектора а справедливы свойства:
4. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ТЕНЗОРОВ ВТОРОГО РАНГА
4.1. Алгебра
Линейное пространство X называется алгеброй, если в нем введена еще одна алгебраическая операция — умножение, удовлетворяющая аксиомам:
а) ассоциативности (x*y)*z =x*(y*z);
б) дистрибутивности
x*(y + z) =x*y + x*z, (у + z)*x= y*x +z*х; а(х+у) = (ах)* у = х*(ау)
(хул — произвольные элементы X, аеЯ).
Если существует элемент е алгебры 8 такой, что е*х =х*е = х для всех хе8, то е называют единицей алгебры (единица единственна), а саму 8 — алгеброй с единицей. Если операция умножения коммутативна, то есть выполняется аксиома х*у = у*х для произвольных х,уе8, то 8
называют коммутативной алгеброй.
Нормированное пространство X называется нормированной алгеброй, если оно является алгеброй с единицей и при этом выполнены еще две аксиомы:
а) МИ/;
б) ||Л5’||<ИИЫ|.
Отображение / : Х-*У называется гомоморфизмом алгебры, если: а) f ( x +y) =f ( x ) + f ( y ) ;
б) f( a x ) =a f(x ) \
в) f(x * y ) =f( x ) * f( y ) .
Две алгебры называются изоморфными, если существует их взаимно однозначный гомоморфизм.
Две алгебры называются изометрически изоморфными, если существует изоморфизм алгебр, являющийся их изометрией (см. п. 1.8) как нормированных пространств.
Элемент х алгебры 8 называют обратимым, если он имеет обратный элемент, то есть если найдется такой х ~‘, что
х* хч =х~'*х~е
(алгебра 8 должна иметь единицу). В противном случае х — необратим.
Если dim£r = 0, то ё тсостоит из одного нулевого вектора. В этом (и только в этом) случае для каждого базиса е,,е2,е3 пространства £3
векторы |
е, *Т, е2• 7\ е3 |
Т также образуют базис для |
£3. Действительно, |
||||||
если |
допустить, |
что |
последние |
линейно |
|
зависимы, |
то |
||
аеу-Г + (Зе, |
Т +уе3 -Т =0, где не все числа а, (3, |
у |
равны нулю, |
что |
|||||
равносильно |
а Т = 0 |
при |
а =ае,+ |
+уе3*0 |
|
(*.— |
линейно |
||
независимы), |
что противоречит условию |
dim£r = 0. |
В компонентной |
||||||
форме, |
не существует |
{а*}Ф{0}, чтобы {а*}[Ц] ={0} у а это |
означает |
||||||
невырожденность матрицы компонент тензора Т. В этом случае говорят, что отображение (4.1) обратимо. Обратимость отображения (4.1) означает
существование |
такого |
тензора Т‘\ |
что |
(х ♦Т) • Т~1 - х ♦(Т • Т~’)= х |
||
Vx |
, что равносильно |
Т ♦Т~‘ = / (аналогично и Г"' ♦Г = /) . |
||||
|
Пусть теперь dim£r > 0 . Можно показать, что |
d im ^ -Т)+$ш€>т= |
||||
=dim£J =?, то |
есть |
для любого |
Т е£3 |
сумма |
дефекта и ранга |
|
соответствующего линейного отображения 83 в £3 совпадает с
размерностью последнего. Тензор |
Г будем называть невырожденным, |
||||||||
если dim£7 = 0, |
однократно вырожденным при dim£r = 1 и т. д. Если |
||||||||
dim£r = 0, |
или |
VJCG^ |
|
х -Т =0, то Г есть нулевой оператор, |
Т=0, что |
||||
пояснялось в п. 2.3. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
4.3. |
Тождество Гамильтона-Кэли |
|
|
|||
Для |
произвольного элемента |
Т алгебры тензоров |
с |
помощью |
|||||
операции |
умножения |
определяются |
степени |
этого |
тензора |
||||
Т° = /, Т1 = Т, Т 2 =Т |
Т. Т3s J - r |
r ,... |
и вместе с ними — |
четверка |
|||||
тензоров |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ , Г, Г-\ т3. |
|
|
|
|
|
|
|||
Поскольку |
|
|
— |
трехмерное, |
то |
при любом |
х е ё 3 |
векторы |
|
дг, JC• Г, х • Т • Г, JC-Т • Т • Т линейно зависимы. Это эквивалентно |
|
||||||||
JC - (ф ,/ + ф,Г + Ф/71' |
+Т3) =0, |
|
|
|
(4.2) |
||||
где для каждого х |
не все числа ф/, ф:, фз суть нули. Можно найти особую |
||||||||
тройку чисел ф/ - |
-У/, фг = Уг, фj = -У* такую, что (4.2) выполняется для |
||||||||
всех х её3. В этом случае согласно п. 4.2 тензор в скобках (4.2) есть нуль,
TJ - J ,T 2 + J2T - J 3I=0 . |
(4.3) |
Найдем скалярные коэффициенты уравнения (4.3), которые должны иметь функциональную зависимость от тензора Г.
Поставим задачу отыскания спектра тензора Т. На основании определения элемента спектра тензора и сказанного выше скаляр Jj, найденный для тензора X I - Т по формуле (4.6)3, должен равняться нулю,
|s p ((XI- T ) ( X I - T ) - ( X I - T ) ) ~
1 |
1 |
<4-8> |
- i s p (XITJsp((XI - T ) - ( X 1 - T )) +3-(sp(XI - T))‘ = 0. |
|
|
2 |
0 |
|
Заметим, что |
|
|
sp1 Ш3, s p ( \I - T ) =3XspT, |
|
|
sp((XI - T) ■(XI - |
T)) =3X2 - 2X%pT+ spГ -, |
|
fspO J - T))1 = 27X3 - 27X3spT +9X(spT)2 - (spT)3,
sp( ( X I - T ) - ( U - T ) ( X 1 - T ) ) = sp(XJI - 3X2T +3XT2 - T ’) =
= 3X‘ - 3X2spT + 3XspT2- spT1
и (4.8) принимает вид |
|
|
|
|
|
Xs - X’spT + XspT1- js p T‘ - |
+^X!spT - jXspT! - X(spT? + |
||||
+ ( s PrsPr ! + Ц-Х1 - Ц-Х2ц,Т + ^ V s p r / - |
‘-(spT? = |
|
|||
2 |
0 |
0 |
2 |
О |
|
=X3-X 3spT *X (i(tpT )‘ -'-SpT1) - (U p T ‘ -LspTspT2+ | r s p r / ) = |
|||||
|
2 |
2 |
3 |
2 |
6 |
=XJ -J,X 2 + J!X -J,= 0 , |
|
|
|
||
TO есть |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
(4.9) |
Обозначая за A./, X2, Xj корни кубического уравнения (4.9), имеем по |
|||||
теореме Виета |
|
|
|
|
|
Jj = X/ + A,, + A.J, |
|
|
|
|
|
J2 = Х,Х, + Х2Х3 + X3Xlt |
|
|
(4.10) |
||
J3 —XjX2X3. |
|
|
|
|
|
Уравнение |
(4.9) |
называетсяхарактеристическимуравнением |
|||
тензора Т e £ j. Корни характеристического уравнения тензора Т — А./, Х2у
A.J представляют собой спектр тензора. Числа А./, Х2у Хз называют еще собственными значениями (собственными числами) тензора Г. Если степени скаляра А. в левой части (4.9) заменить соответствующими степенями тензора Г, то получим тождество Гамильтона-Кэли. Соответствие указанных скалярного и тензорного уравнений обычно выражается утверждением, что тензор удовлетворяет своему
характеристическому уравнению, и составляет суть теоремы Гамильтона-Кэл и.
Поскольку для вырожденного Г необходимо Jj=0, в соответствии с (4.10) в этом случае по крайней мере один из корней уравнения (4.9) также равен нулю. Обратно, когда хотя бы один из корней равен нулю и, следовательно, J3 = 0, тензор Т — вырожденный. Действительно, по определению элемента спектра при X = 0 тензор XI - Г = -Т должен быть вырожденным.
Числа X/ по определению могут быть комплексными, числа У, — действительные, откуда и из (4.9) или (4.10) следует, что хотя бы один элемент спектра произвольного тензора есть действительное число, а два
других — комплексно сопряженные. |
|
|
||
|
4.5. Собственные векторы тензора |
|
|
|
Ранее говорилось, что Г |
необратим (вырожден), если 31* 0 из |
|||
£3, что |
t-T =0. При X= X* (произвольный элемент спектра тензора |
7) |
||
тензор |
XI - Т необратим. Рассмотрим действительный элемент спектра X*, |
|||
который всегда существует Тогда необратимость XI - Т означает |
||||
существование t* 0 из р3, такого, что |
|
|
||
t ( X I - T ) =0. |
|
(4.11) |
||
Другими словами, матрица компонент [ХЬ1j - T j ] тензора |
XI - Т |
в |
||
каком-либо смешанном базисе является вырожденной, следовательно, существует нетривиальное решение 0 * tt еЯ, / = 1.2,3 уравнения
(4.1 Г)
В случае X*, не являющегося действительным числом, обязательно компоненты вектора i = 1,2,3 также не будут действительными числами,
и i . Действительно, переписывая систему (4.1 Г) в виде
получаем, что в случае t е £ 3 в ней содержалось бы противоречие: в левой
части стоял бы вектор с комплексными компонентами, а в правой— с действительными. Векторы, найденные из системы уравнений (4.11) при действительных собственных значениях Г, называются собственными векторами тензора Т. Из однородности уравнения (4.11) видно, что собственные векторы находятся с точностью до а 6 Я , то есть если г —
собственный вектор, t - (X I - Т ) = 0 , то и at также будет собственным вектором: (аг)-(Х! - T) =at-(XI - Т ) - а 0 =0. Направления в