книги / Тензорные алгебра и анализ
..pdfПолезно запомнить правило: ранг тензора равен количеству индексов в краткой записи набора компонент тензора или системы базисных полиад. Например, для Т = T,/keieJek количество индексов в Т'*к
или etejek, конечно, равно трем.
2.4.Некоторые операции над тензорами второго ранга
Впространстве тензоров одинакового строения определены линейные алгебраические операции над тензорами. С помощью разложения по базису эти операции сводятся к аналогичным операциям для “одноименных” компонент тензоров. В частности, для тензоров
второго ранга имеем Т +Р =(Т/ + Р/ )eiej , ХТ-(ХТ/ )e'ej VТ,Ре £*,
VXER
В п. 2.1 было определено тензорное умножение векторных пространств, а вместе с тем и тензорное умножение элементов соответствующих пространств. В частности, для тензоров второго ранга в компонентной записи имеем ГФ Р г ГР = Т/РЛteieJekel VT,Pe&l. Данная
операция увеличивает ранг тензорного пространства и поэтому незамкнута. Данная операция линейна и ассоциативна, что было ранее показано. Коммутативностью тензорное умножение не обладает.
Рассмотрим новую бинарную алгебраическую операцию над тензорами второго ранга—умножение, которую определим следующим образом:
T P = T,JPt ‘e‘(tj ■е‘ )е, = % i P) 'е'е,=Q У е, = Q . |
(2.9) |
Здесь T,P,Qe6". Использование обозначения скалярного умножения векторов (точкой) в качестве обозначения операции умножения тензоров оправдано, поскольку скалярное умножение здесь действует на пару близлежащих базисных векторов. Можно убедиться, что данная операция ассоциативна ( Т -P)-Q = T ( Р -Q); доказательство можно осуществить в компонентной форме (разложить тензоры по базису, последовательно выполнить умножение и убедиться, что выражения справа и слева равны). Коммутативностью умножение тензоров не обладает.
Операцию скалярного умножения векторов |
можно использовать |
|
для определения сверток Т х и х-Т, где Т — произвольный тензор из |
а |
|
JC — произвольный вектор из £„. Например, |
T x=TtJxke'(ej |
ек) - |
4f
=TlJxJe‘=r/e<= /. Результатами таких сверток являются векторы,в общем
случае различные.
(операция альтернирования). Из (2.16)-(2.17) следует
т=т,+та.
Операции симметрирования и альтернирования тензора Г можно осуществить двояко. Из (2.16), (2.17) с использованием (2.12)
T'i = - ( Г + |
Г =-(Т° - TJ,)=T[,J}y |
(2.18) |
2 |
2 |
|
а с использованием (2.13) соответственно
Г, = -P (e,et +е1е,)*=Р(е,е1) ! Г„ = -P (e,et - е /в,)1т*[ e ^ J .
(2.19) В (2.18) и (2.19) операции симметрирования и альтернирования тензора Т обозначены соответственно круглыми и квадратными скобками. Данное обозначение часто используется в дифференциальной геометрии.
Можно показать, что произвольный Т единственным образом представляется суммой его симметричной и кососимметричной частей: пусть Т = TS +Та =TJ+Т ' , тогда имеет место равенство Tt - TJ= Га' - Га, в левой части которого симметричный тензор, а в правой — кососимметричный; последнее возможно только когда Т3 - TJ- Т ^ - Т д = 0, откуда Г/= Ts и Т*= Та. Множества симметричных и кососимметричных тензоров представляют собой подпространства пространства
Операцию скалярного умножения векторов можно также использовать для записи билинейной формы, соответствующей тензору Г,
х Т * у =х'(е, ■ek)Tkl(e> •ej )y ' = x% yJ.
Билинейная форма Г, в которой оба аргумента совпадают Х 'Т *Jt =
называется квадратичной формой. Можно показать, что транспонированному тензору Ттсоответствует та же самая квадратичная форма
Х ’ТТ-x =x JTyx‘ =х‘Тух*.
Представляя тензор суммой симметричной и кососимметричной его частей, пользуясь (2.17) и последним выводом, можно убедиться, что квадратичная форма полностью определяется симметричной частью тензора,
Х 'Т 'Х = Х г(Т3 + Ta)'X = X'Tt ’X + x-Ta'X = x-Ts 'X +
- х ( Т - Т т) х = х Т - х +- х Г х - - х Т т х =х Т - х . 2 ‘ 2 2
для любых векторов х и у. То есть» билинейная форма / задает скалярное умножение (а последнее и есть билинейная форма» что следует из определения скалярного умножения в п. 1.9). Далее»
l - T =gi Tue'e' ■eke, =g J * J e ,m T \e l =T,
Г •/ = Tug<ete, ■е‘е' = Т*е, е ^ = Tbetet= Г
для любого тензора второго ранга Т. Следовательно» тензор / играет роль единицы относительно алгебраической операции умножения во множестве тензоров второго ранга. Тензор J — симметричный, поскольку по определению (2.23) симметрична матрица его компонент.
С помощью операции полного произведения можно записать билинейную форму, определенную (2.2),
(u v )o (x y)^( uv):(yx) =( v y ) ( u x ) =v,yUjXJ,
где i/*= |
v = v.e', x = x,ei, у = y'et. Для диадика (произвольного тензора |
второго ранга Т = TijeieJ)
Т*(.ху)= х% у
Спомощью операции двойного скалярного произведения из того же тензора можно построить другую билинейную форму,
Т:(ху) =х % /,
Для тензора произвольного ранга р> 2 с целью построения полилинейной формы можно использовать различные свертки с р векторами (аргументами)
Т ) - х ) - х К . ) - х = Тт „х‘х'
р I У р m-JI I 2
Т )-х)-х)-...)-х = Т ,mxMxj |
(2.24) |
|||||
р |
р |
2 / |
I |
,"jm р 2 |
|
|
Т)-Х)-х)-...)-Х*... |
|
|
||||
p |
i |
p |
2 |
|
|
|
где Т = T , e ' e J...em, |
x =x ‘ei Vt (индексы |
здесь и далее не |
||||
р |
|
|
|
i |
t |
|
обязательно в порядке алфавита, всего их р). Далее для краткой записи полилинейных форм будем использовать обозначения:
VI/€£„ |
и(х)&и-х = и,х‘, |
|
УТ е$ я2 |
Т(х,х) s Т о(хх) * хв Т. xJ, |
(2.25) |
т /х х,’ ...,х)т Т )-х)-х)-...)-х = Тт^11^
Т ^ = ± Т ¥ия |
(3.3) |
есть условие симметричности (верхний знак) или кососимметричности
(нижний |
знак) тензора T=T-i tlle'eJe*...ea' по 1-му и 3-му |
индексам. |
Эквивалентное условие, очевидно, запишется как |
|
|
W |
e V - e" = ± W ‘<rV- * " - |
(3-4) |
Тензор произвольного ранга, симметричный по любой паре индексов, называется абсолютно симметричным (или просто симметричным) тензором. Тензор произвольного ранга, кососимметричный по любой паре индексов, называется абсолютно кососимметричным (или просто кососнмметричным) тензором. Для тензора второго ранга понятие абсолютной симметричности совпадает с ранее введенным понятием симметричности (верхний знак), а понятие
абсолютной |
кососимметричности |
совпадает |
с |
понятием |
кососимметричности (нижний знак)* |
|
|
|
|
Г,=±Г„. |
|
|
|
(3.5) |
Для тензора третьего ранга условия абсолютной симметричности (верхний знак) или абсолютной кососимметричности (нижний знак) имеют вид
Tt i =±T^=±T,v =±TVi, |
(3.6) |
следствием их являются равенства
Т = т = Т
*ijk l kij J jk r
Обобщим операции симметрирования и альтернирования на тензоры произвольного ранга. Напомним, что для тензоров второго ранга
T n - f a - T , ) .
Из (3.5) следует симметрия тензора с компонентами T(tjf,
и антисимметрия тензора с компонентами Tfljj,
(бескомпонентным способом это может быть проверено с использованием определений (2.14), (2.16), свойства линейности операции транспонирования и свойства (2.11)).
Аналогичным образом определяются операции симметрирования и альтернирования по паре индексов для тензора произвольного ранга, например, по первому и второму индексам
Определения (3.7) в компонентах принимают вид
9 тт ~~з~/^ьк + ^ + + ^J,k + У* + Ту),
Таук ~ ^iijkj —~^}(Т9к + TklJ+ TJU- TJlk - Ту —TAJ)
(в полиадной записи их опустим).
Отметим, что для тензора третьего ранга не существует разложения на симметричную и кососимметричную части, но существует
представление |
|
|
|
= |
+ |
+ "J(T[gik + Т щ ) + —(Tfu)i —Tk(tj}) • |
(3.10) |
3 .2 .0 кососимметрнчных тензорах
Выясним, сколько независимых компонент имеет кососимметричный тензор произвольного ранга. Сначала рассмотрим пример: пусть дан кососимметричный Т е ё 2. Из (3.5) Ту = -TJf, при i = j
имеем Tit = -Tlt = 0 , поэтому матрица компонент имеет вид
0 |
Т» |
Т„ |
(T J = |
0 |
Ъг |
~ *гз |
- ъ , |
0 |
с тремя независимыми компонентами.
Для кососимметричного |
последовательно рассмотрим случаи |
р
р>п, р = п, р < п .
При р > п все компоненты кососимметричного тензора равны нулю.
Доказательство. Легко показать, что компонента кососимметричного тензора, имеющая два совпадающих индекса, равна нулю: из (3.3) при / = к Тш^, = -Тшmа:0. Матрица компонент имеет р индексов, каждый из
которых принимает значения от / до л, и в рассматриваемом случае, р> п,
для любого набора индексов их повторения неизбежны.
При р= п кососимметричный тензор имеет одну независимую компоненту.
В данном случае существует п! перестановок различных индексов 1,2,...,п по п позициям, дающим ненулевые компоненты. Половина из них (полагаем, что п> 2) представляет собой четные перестановки (1234...п),
