книги / Тензорные алгебра и анализ

соответствующие направлениям (с точностью до противоположного) собственных векторов Г, называют главными направлениями Г. Поскольку тензор из ё\ всегда имеет хотя бы одно действительное собственное значение, он всегда имеет хотя бы одно главное направление.

Если известен тензор Т\ то собственные числа и векторы можно найти следующим образом. Из (4.1 Г) условие вырожденности матрицы смешанных компонент в левой части уравнения запишется как

и представляет собой кубическое уравнение относительно X. По доказанному в предыдущем разделе условие (4.12) эквивалентно условию (4.8), следовательно (4.12) — не что иное, как характеристическое уравнение (4.9) тензора Т. Из (4.12) находить собственные значения легче ввиду громоздкости процедуры определения коэффициентов J, характеристического уравнения (4.9) по выражениям (4.10). После нахождения собственных значений X*. к = 1,2.3 для каждого действительного из них может быть найден по крайней мере один (следует из свойств решений систем линейных однородных уравнений) собственный вектор г из решения системы (4.11), в матричной форме принимающей вид

Вследствие однородности системы (4.13) для нахождения собственного вектора tk фиксированной (единичной) длины следует заменить одно из уравнений условием нормировки ( t\) 2+ (tk2)2 + (tk3)2= / .

получим, что тензор Т действует как линейный оператор на вектор t таким образом, что образ 1 коллинеарен самому t ((\l)\\t). Исследуем возникающие в связи с геометрическим смыслом собственных векторов примеры.

1. у = 9х— изотропное растяжение (сжатие) пространства

очевидно, являющееся линейным оператором, собственные векторы которого — все векторы ё3.

4.6. Свойства, относящиеся к собственным векторам тензора

Характеристическими пространствами тензора назовём векторные пространства, образованные собственными векторами данного тензора. Исследуем характеристические пространства тензоров в зависимости от состава их спектра.

Тензором с простым спектром назовем тензор с действительными

число нормированных собственных векторов в плоскости и "б™ один нормированный собственный вектор.

1.

Характеристическое уравнение (4.12) есть (X - З ) 2( Х - 2 ) =0, его корни Хг=2, Х23 =3. Собственные векторы, соответствующие Х = 3, находятся из системы (4.13):

4 - 0 . h - o .

rj +t i + r ^ l ,

Характеристическое уравнение Х(Х +1)2 =0, его корни Х,=0, Х23=-1.

Система имеет одно (с точностью до знака) нетривиальное решение, а тензор — одно главное направление, соответствующее корню Х - - 1 кратности 2.

Для случаев двух совпадающих собственных чисел Х{ = Х2 = Х*Хз в любом случае состава множества нормированных собственных векторов, соответствующих собственному числу Л» нормированный собственный вектор, соответствующий Х3, существует и линейно независим с системой нормированных собственных векторов, соответствующих А.. Существование следует из того, что Xj обязательно действительное

(показать), а линейная независимость собственных векторов, соответствующих неравным собственным числам, следует из теоремы 4.1. Таким образом, строение множества нормированных собственных векторов тензоров из примеров 1 и 2 можно схематически представить рис. 4.1.

Рис. 4.1. Множества нормированных собственных векторов тензора

с парой совпадающих собственных чисел

Для тензора с корнем третьей кратности, кроме изображенных выше случаев строения множества нормированных собственных векторов, могут иметь место случаи, представленные на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Множества нормированных собственных векторов тензора

стремя совпадающими собственными числами

4.7.Собственные векторы симметричного тензора

Согласно теоремам 4.1 и 4.2 тройку нормированных собственных векторов тензора Т с простым спектром можно выбрать в качестве базиса

будет являться тройкой собственных векторов транспонированного

собственные векторы 11, / = 1,2,3 называются “левыми” собственными

левые и правые нормированные собственные векторы такого тензора совпадают. Если, кроме того, спектр Т прост, то существующие (в единственном варианте) для него тройки левых и правых нормированных собственных векторов соотносятся между собой как основной и взаимный

симметричный тензор с простым спектром имеет единственную тройку взаимно ортогональных нормированных собственных векторов.

Исследуем структуру множества нормированных собственных векторов симметричного тензора.

Л емма.

Если симметричный тензор Т имеет в £3 собственный вектор t с

которому в силу его действительности соответствует нормированный собственный вектор tf. Из леммы все векторы в £3,

ортогональные //, обладают свойством, что образ любого из них, например

V x l/,, x e £ , y =T-x: y±l3 и у e £ ,, то есть у принадлежит тому же

одномерному пространству, что и дг). Таким образом, для произвольного симметричного тензора конструктивно найдены три взаимно ортогональных главных направления. Теорема доказана.

Пусть теперь симметричный тензор имеет два и только два совпадающих собственных значения Ху = Хг * X j. Симметричный тензор с таким спектром называют осесимметричным. Как показано в п. 4.6 для произвольного тензора, собственному значению Ху = соответствует не более чем двумерное пространство собственных векторов. Но по теореме 4.3 в дополнение к собственному вектору 6, соответствующему X j, должны найтись по крайней мере еще два (ортогональных, следовательно, линейно независимых) собственных вектора /у и t2, соответствующих собственным числам Ху, X ;. То есть, множество собственных векторов, соответствующих корню характеристического уравнения второй кратности для симметричного тензора, образует двумерное пространство. Поскольку собственный вектор /j, соответствующий X j, должен быть ортогонален /у и t2y то он ортогонален данной плоскости.

Аналогичным образом доказывается,что для симметричного тензора< X/ = X? = Xj (тензор с таким спектром называется шаровым) множество собственных векторов образует трехмерное пространство. Таким образом, для симметричного тензора возможны три варианта строения множества собственных направлений (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Множества нормированных собственных векторов симметричного тензора

4.8. Спектральное разложение тензора

Предполагая, что существует тройка линейно-независимых собственных векторов в остальном произвольного тензора Г — iit i = 1,2.3

(и /', / = L2J — сопряженных к ним), найдем компоненты разложения

правых собственных векторов Г. По формуле Гиббса для тензоров и условию (4.14)

называют спектральным разложением тензора. Из (4.25) видно, что тензор Т в базисе из диад, составленных из левых и правых собственных векторов этого тензора, имеет диагональную матрицу компонент. Верно и обратное: если тензор в некотором смешанном диадном базисе имеет диагональную матрицу компонент, то ненулевые диагональные компоненты являются собственными значениями тензора, а базисные векторы являются собственными векторами тензора. Докажем первое утверждение.

то есть по определению е,- являются правыми собственными векторами тензора (е‘проверяются аналогично).

Отметим, что если Г — симметричный, а в остальном произвольный,

то согласно теореме 4.3 всегда существует базис состоящий из взаимно

ортогональных собственных векторов этого тензора, следовательно^ симметричный тензор всегда можно представить спектральным разложением

Т —Xftjt/ + X2t2t2 + X3t3t3.

Если для тензора Т существует спектральное разложение (4.25), то

Tn = Xn,tt, +Xn2r t 2+ Xn3t3t3,

(n — натуральное), что проверяется непосредственным перемножением (4.25).

Говорят, что два тензора с действительным спектром соосны, если их главные направления совпадают. Если спектр тензора простой, то по теоремам 4.1 и 4.2 существует единственная тройка главных направлений

и, следовательно, существует спектральное разложение и справедливы представления (4.26). В этом случае можно видеть, что степени тензора соосны.

Коммутируют, например, соосные тензоры, в том числе любые степени одного тензора. Если Т — симметричный, a Q — ортогональный, то (4.27) выполняется тогда и только тогда, когда Q отображает каждое характеристическое пространство Т само на себя. В том случае, если для пары тензоров условие (4.27) не выполняется, рассматривают коммутатор пары тензоров

T Q - Q T .

Определителем тензора назовем определитель матрицы смешанных компонент этого тензора (по сути, это определение уже было использовано в уравнении (4.12)). Из (4.25) и (4.26) можно видеть, что

detJ =J3(T) (см. (4.10)).

Два тензора Г и Q с действительным спектром называют пропорциональными, если Т =xQ, . Очевидно (показать), что пропорциональные тензорЫ| соосны, но из соосности тензоров не следует их пропорциональность. Докажем критерий пропорциональности двух соосных тензоров. Два соосных тензора Т и Q пропорциональны тогда и только тогда, когда ненулевые из собственных чисел этих тензоров

Необходимость. Домножая T-% Q слева на правый собственный вектор t(и справа на левый собственный вектор t l (/ — любой), получим

r = x , t 't , + x / t 2+ x / t , =x4/ t , +X4/ I 2 + x % /h - xQ •