книги / Тензорные алгебра и анализ
..pdfможно трактовать как тензорное произведение векторов V и г, а транспонированного градиента вектора — как тензорное произведение векторов Г и V. Следует обратить внимание на то, что в символической записи fV дифференциальный оператор действует на стоящий перед ним объект (вектор), а все различие между V/ и fV сводится только к последовательности следования базисных векторов (см. внимательнее (7.50)).
Производная векторного поля по криволинейной координате может быть представлена через ковариантные производные контравариантных и ковариантных компонент вектора
Тогда |
|
|
v < = ^ i L |
= J e‘v *r'e- - V « 4 . |
(7.51) |
S%‘ |
|e*Vtr / = Vtf,<;V, |
|
< 'V // = V /e,e* = V ,/f£ V . |
(7.5Г) |
|
To есть, ковариантные производные контравариантных и ковариантных компонент являются соответственно смешанными и ковариантными компонентами тензора II ранга — градиента вектора.
Введем формально операцию контравариантного дифференцирования
Тогда могут быть определены остальные контравариантные и смешанные компоненты тензоров V/ и (V t)T:
v / = v ‘r V ( = v V y >
Градиент тензорного поля £ 2£ 3) определяется как тензорное
р
произведение набла-вектора на тензор Т ,
дГ
*_р_
Соответственно градиент тензора ранга р есть тензор ранга р + L С использованием операции ковариантного дифференцирования градиент тензора может быть представлен
Можно рассмотреть транспозиции градиента тензора по первому и (s+1)- му индексам (l< s < р ) в полиадной записи V Т :
р
V T = TtJtMjt |
е |
|
р |
' ' |
p - i |
Определим понятие производной по направлению. Для скалярного поля производная по направлению единичного вектора л определяется как
Эср
^ - = л -V<p = Vcp-я.
дп
Для векторного поля
и для поля тензора Т
р
дТ
-г£*= л У Г
дп р
С помощью производной по направлению можно указать геометрический смысл градиента скалярного поля ф(£,,5 ‘ »£,) : Vф указывает направление наиболее быстрого возрастания скаляра ф из данной точки,
|Уф|
Записывая V/ согласно (7.51) в компонентах диадного базиса а,ак декартовой ортонормированной системы координат, получим
|
|
dt, |
д± |
|
|
дх, |
дх, |
дх2 |
|
/ ^ , 7 = |
*L |
д± |
dt±_ |
|
дх2 |
дх3 |
|||
|
dxj |
|||
|
dh |
|
|
|
|
p x t |
дх2 |
дх3 |
Умножая скалярно или векторно пару первых базисных векторов градиента тензора, мы получим новые дифференциальные операции.
7.9.2. Дивергенция тензора
Дивергенцией тензорного поля |
называется тензор ранга |
Р
р - Д который определяется как скалярное произведение оператора Гамильтона на данный тензор:
дТ
d iv r = V -T =ek — 7 -. |
(7.52) |
||
р |
р |
дЪ? |
|
С использованием операции ковариантного дифференцирования дивергенцию можно записать как
V*r = <?* • V kT ^ e iMem = ^ кТ Ьмеу ..ет= V kT ^ e J...em.
Для векторного поля |
|
divl = V -t =ek • |
= e* • V4r'tf = |
|
(7.53) |
^ V / = V tg \ = |
g ^ ltp = W \ . |
Понятие дивергенции скаляра лишено смысла.
Исследуем физический и геометрический смысл дивергенции вектора.
Для поля скоростей v(%r£ 2,%3) в некоторой области пространства
сА$3, занимаемой сплошным деформируемым телом, divv характеризует
скорость |
относительного |
изменения бесконечно |
малого |
объема |
|||
движущейся среды. В декартовой ортогональной системе координат |
|||||||
,. |
„ |
„ к |
dv.dv2 |
dv,Av, |
Av, |
Av, |
|
|
|
dx, |
dx2 |
dx3 Ax, |
AX2 |
AC3 |
|
Помещая начало координат в рассматриваемую точку и принимая в этой точке v = 0, будем иметь
V г п v' |
I V; |
I Vj - |
V1X5X3 +V’X'Xl +V1X<-' - V 7 |
|
X, |
Xy |
X 3 |
X jX y X j |
V 1 |
где V есть объем параллелепипеда со сторонами x h х2, xj. То есть, условие несжимаемости (или постоянства объема) среды в точке может быть записано как
divv s V • v в 0 .
Более строго: дивергенция векторного поля есть отношение потока вектора через поверхность бесконечно малого объема к величине этого объема, то есть
«jv-л dS
divv = lim |
AV |
|
|
ЛГ-»0 |
|
|
|
(л — внешняя нормаль к поверхности, 5 — площадь, V— объем области). |
|||
Записывая |
V • / согласно (7.53) в |
компонентах базиса |
декартовой |
ортонормированиои системы координат, получим |
дху дх3 |
||
|
|
дх, |
|
7.9.3. Ротор тензора |
|
|
|
Ротором |
(вихрем) тензорного |
поля |
называется |
|
|
р |
|
тензорное поле того же ранга, определяемое векторным произведением оператора Гамильтона на данный тензор;
rot 7" mV х T - e ‘ х - г - = #‘ |
(7.54) |
||
P |
P |
0% |
|
Для скалярного поля эта операция не определена. Для векторного поля |
|||
|
|
fit |
|
rot/mV х / = е* х — г =ек х Чkt.e' = V4/,.Gto е, * |
(7.55) |
||
|
|
|
|
= Vjfi'e* |
|
epemen= (V t/: € - £ :(V t)T |
|
Если представить диаду разложением (2.16)-(2.17) |
|
||
( v t)T= (4 t)i+(v 0 : , |
(7.56) |
||
то |
|
|
|
rotf = ( V f / : € = ( V /;; .e = 2%, |
(7-57) |
||
гдет — ассоциированный вектор (VtJ„ (3.23).
Полученная формула позволяет выявить физический смысл ротора
векторного |
поля. Для |
поля вектора скорости v(V , 2,х3) компоненты |
|||
разложения (7.56) |
|
|
|
|
|
(Vv)T = D + W |
|
|
|
|
|
называются |
соответственно |
тензором |
деформации |
скорости, |
|
D = ^(Vv + (Vv)T и |
тензором |
вихря, |
W = (VvJT -V v). |
Вектор |
|
со =^W/:C = ^rotv, вихрь вектора скорости, — есть угловая скорость
квазитвердого вращения частицы сплошной среды в данной точке пространства.
Можно показать, что проекция ротора векторного поля t на любое направление п равно отношению циркуляции поля по бесконечно малому контуру, перпендикулярному /», к площади, охватываемой этим контуром,
= (V X t), = Jim |
j t d l |
(7.58) |
|
|
AS |
Для вращательного движения абсолютно твердого тела с угловой скоростью со справедлива формула Эйлера
у = со х х
(v — скорость материальной точки тела с радиусом-вектором JC). Используя ее в (7.58) для вращения вокруг оси Oz, получаем
, , . (йг2пг Л frotv); = ~ —r = 2is>,
2пгг
где о)=|со|. Итак, в данном примере модуль ротора поля скоростей абсолютно твердого тела равен удвоенному модулю его угловой скорости.
Записывая V х / согласно (7.55) в компонентах декартовой ортонормированной системы координат, получим
at |
а, |
аз |
|
rot/ = д |
д |
д |
(7.59) |
дх' дх2 дх3
h*3 .
7.10.Дифференциальные операторы второго порядка
Поскольку градиент тензора есть снова тензор, мы имеем право рассмотреть двойной градиент тензора. Различные операции умножения и свертки первых четырех векторов базисной полиады дадут нам различные дифференциальные операторы II порядка. Для скалярного поля <p(§#,52»6J) имеют смысл три дифференциальных оператора II порядка.
1. Двойной градиент скаляра (тензор II ранга) есть
VVcp = e‘— |
(ei ^ |
r) =( |
—У |
- Г* Щ -)е‘е’ = V<pV |
(7.60) |
34' |
3 |
$ ' |
д^'З^ |
4 |
|
Вследствие того, что |
|
|
|
|
|
_ д?ср |
Г* = Г* |
|
|
||
d^d%J |
|
А* |
A>i* |
|
|
|
|
|
|
|
|
можно записать VVcp через операции ковариантного дифференцирования (учитывая (7.60))
VVcp = V.fVcp)JeteJ = V lV / q>eie J = V^V.cpeV = V,Vy(|>eV.
Отсюда следует V,VJ(p = VJVi(p,
то есть для скаляра операция двойного ховариантного дифференцирования
переставима, а тензор (7.60) — симметричный. |
|
|
|||
В |
курсе |
дифференциальной |
геометрии |
будет |
показана |
справедливость тождества |
|
|
|
||
W |
s V |
yVA |
|
|
(7.61) |
(/* задает произвольное дважды непрерывное векторное поле) в аффинном евклидовом пространстве и невыполнимость его в римановом пространстве, пространствах аффинной и метрической связности. Подобным образом обстоит дело и с тензорным полем.
2 . Свертывание двухкратного градиента скаляра порождает
операцию его дивергенции градиента |
|
|
|
V -Vtp = V-’ф = Дф = |
- г; |
, |
(7.62) |
которую обычно называют оператором Лапласа. В декартовой ортонормированной системе координат
А |
Э 'ф |
о"’ф |
5*ф |
д 2Ф |
. |
|
|
|
Аф=— 2— в — |
cfr; |
cxj |
|
|
||||
|
cbc,^ |
car; |
|
|
|
|||
С более общих позиций оператор Лапласа определяется как |
|
|||||||
вне зависимости от ранга поля. |
|
|
|
|||||
3. |
Операция векторного произведения приводит к ротору градиента |
|||||||
V x Уф, |
|
|
|
|
|
|
|
|
однако поскольку V x Vf-,) = 0,To и V xV (p sQ . |
|
|
||||||
Для |
тензорного |
поля |
ранга р |
возможны |
следующие |
|||
дифференциальные операторы: |
|
|
|
|||||
VVT, |
V х V T s |
0 . |
У - У Г ^ Д Т , |
|
(7.63), |
|||
|
* |
|
р |
p*i |
|
р р |
|
4 |
w - r . |
v ^ v -г ;, |
V x f v - r ; , |
|
(7 .63)2 |
||||
|
р |
|
р |
|
|
р |
|
|
VV хГ , |
|
V - ( V x T ) s |
о , |
V x ( V x T ) , |
|
(7.63), |
||
|
Р |
|
|
Р |
Р~1 |
Р |
|
|
а также множество дифференциальных операторов, которые можно определить с использованием операций транспозиции двойного градиента тензора и последующего умножения или свертывания. Последние две операции в (7.63)2 для векторного поля не определены.
Можно ввести дифференциальные операторы более высокого ранга. В частности, представление тензорных полей разложением в ряд Тейлора
требует определения ^-кратного градиента, |
|
|
V...VT = У ^ У ^ в |
. |
(7.64) |
В заключение раздела приведем полезные формулы, заимствованные из работ [3,13,14]. Имеют место следующие правила взятия градиента от произведений различных типов:
V (aP; = aVp + pV<x, |
|
V(aa) s= (У а )a + aVa, |
|
V (a -b)= (V a)‘b +a-(Vb)T = (Va)-b + (W )-a , |
(7.65) |
V(a x b) « (Vo) x b - (Vb) x a, |
|
V (aA )= (Va)A + aVA. |
|
Справедливо “цепное” правило взятия градиента от сложной функции
))9 например, если отображает векторное
пространство в себя, а Ф * а |
— скалярная функция векторного аргумента, |
|
то |
|
|
V(a(a)) = |
• Уд. |
(7.66) |
Для вычисления дивергенции существуют следующие правила:
V • (а а) = а - V a + aV • а, |
|
||
V (a b ) =( V a ) b +a 4 b , |
|
||
V *(ab) = b(V x a ) - aV x b, |
|
||
V - (a x b ) = b-V x a - a - V x b, |
(7.67) |
||
V • |
= fV • |
-a + Virr , |
|
V |
(a x A) =- a ( V |
x A), |
|
V -(A -B ) = B T (V -A ) + A T:VB. |
|
||
Существует ряд других полезных формул: |
|
||
V х (а х b ) = b V a - b V ~a - a - V b +aV-b, |
|
||
V x ( A x a ) = ( V x A ) x a +A r - I J l(A), |
|
||
V х (аа) =а№ x a +V a x a , |
(7.68) |
||
a>Va —V ( a a / 2) +(V х а )х а , |
|
||
V • [(VA)B] = (AA)B + (VA)T• (VtfJ. |
|
||
Формула |
|
|
|
Aa = V(V a) - V x |
(V x a ) |
(7.69) |
|
связывает три дифференциальных оператора второго порядка из (7.63).
7.11.Тензор Римана-Кристоффеля
Дифференциальные операции второго порядка позволяют ввести важный объект — тензор Римана-Кристоффеля. Сначала формально запишем двойные ковариантные производные произвольного дважды непрерывного векторного поля г,:
= (^ jfi ~ t p if h = “ dptflg “ djtjVl - -
= 5 А '< - V i r > -
+/,г;г/+/,г'г'.
Почленная разность полученных выражений может быть представлена в виде
(учтено свойство (7.41)). По свойству ковариантной производной в левой части полученного равенства записаны компоненты тензора третьего ранга, а в правой части фигурируют компоненты /, тензора первого ранга.
Следовательно, по теореме об обратном тензорном признаке, в квадратных скобках в правой части мы имеем компоненты тензора четвертого ранга
Л - т : ГУ |
/ |
(7.70) |
|
г' |
|||
Г"? |
|
называемого тензором Римана-Кристоффеля. Первый индекс в (7.70) можно опустить:
* * = & * # • |
|
(7-71') |
Принимая во внимание |
справедливое |
в аффинном евклидовом |
пространстве тождество (7.50) |
и натягивая |
компоненты RlJkl на базис, |
получим, что |
|
(7.72) |
|
|
Другие упомянутые после формулы (7.50) пространства такого тождества не имеют. Условие (7.72) гарантирует интегрируемость дифференциальных уравнений (7.20) и тем самым существование локального базиса как тройки радиус-векторов crf£3.
Исследуем свойства тензора Римана-Кристоффеля, не принимая во внимание (7.72). Подставляя в (7.70) выражение (7.42") символов Кристоффеля И рода через фундаментальную матрицу, получим
я |
- 1 / э ~’&/ |
d;g/' |
, ^ 8 * |
, , |
tu |
2 |
э&'э&* |
sza t; |
(7 .7 3 ) |
+s*Yr,Jtr , „ - r , ;Jr,aA
Из (7.73) сразу получаем
RjtU =
(7.74)
R-uij = Щи-
Второе равенство легко получить и непосредственно из (7.65) и свойства определителя. Свойства (7.74) выражают симметрию тензора РиманаКристоффеля относительно пар индексов ij и kl и антисимметрию по индексам каждой из этих пар. Поэтому независимые компоненты R
исчерпываются, если рассмотреть только пары индексов (if и kl) 12, 23, 31, комбинации которых дают лишь шесть компонент Rl2l2• ^1223- Щ231' Щз21>Щзл•Щи/ из общего числа 81. Остальные из них либо нули, либо выражаются через записанные. Кроме (7.74) имеет место тождество
Щи + ^ + Щк |
(7.75) |
следующее из того, что хотя бы один из индексов jX l равен / (ijX l - 1,2,3)»
Приравняв j = i, получим Rlik]+ RMi + Rm , где Rm - 0 по |
(7.74)ь а |
|
RMi = -R M по |
(7.74)13. Бианки получено тождество |
|
|
|
(7-7б> |
Тензору Римана-Кристоффеля ставят в соответствие тензор Риччи |
||
R = |
X « V х е' =~RljU€ i’CUpeIep, |
(7.7Т) |
в компонентной записи определяемый следующим образом: |
|
|
(7.77")
Непосредственно из определения видна симметрия этого тензора второго ранга. Учитывая свойства (7.74), связь (7.77) тензора Риччи с тензором Римана-Кристоффеля взаимно однозначная (откуда первый обращается в нуль одновременно со вторым). Из тождества Бианки и (7.77м) можно получить следующее тождество:
V [ R - t ( Sp R )l] = 0, |
(7.78) |
где тензор в квадратных скобках называют тензором Эйнштейна. Закон (7.78) в общей теории относительности называют уравнением Эйнштейна [15].
В механике сплошного деформируемого твердого тела последнее мыслится занимающим связную область трехмерного аффинного
евклидова пространства, которая покрывается системой координат “вмороженной” в тело в начальный момент времени. Не уменьшая общности, в качестве “вмороженной'* примем декартову систему координат. В процессе деформирования тела его конфигурация изменяется, приводя к искривлению системы координат в занимаемой им области и, соответственно, изменению локального базиса и фундаментальной матрицы в каждой материальной точке (поскольку фундаментальная матрица представляет собой компоненты поля единичного тензора в локальном базисе в текущий момент времени). В каждой материальной точке рассматривают меру однородной деформации
малой окрестности этой точки |
fgij (0) - gtfft)) в момент времени л |
|
Поскольку gij(0) =ay не зависит от координат |
то dkgIJ(0) = 0 и вместо |
|
gv(t) в (7.67) и (7.42') мы можем использовать компоненты меры 2Gtj. В
соответствии со своим смыслом условие (7.72) с левой частью, зависящей только от поля G9, будет гарантировать вложенность рассматриваемого
сплошного тела в текущий момент времени в пространство сА&3. Поэтому (7.72) называют условием сплошности (совместности деформаций).
В некоторых моделях в рамках континуальной механики матрица gu(t) полагается мало отличающейся от g¥(0), а в качестве меры
деформации принимается линейная часть разложения -^(gff(0)~ gy(t)) в
степенной |
ряд |
по координатам |
называемая тензором малых |
|
деформаций |
8 |
(конечно, симметричным). В дополнении к работе |
[6] |
|
показано, что условие (7.72), выраженное через 8 , принимает вид |
|
|||
V х 8 х V s 0 . |
(7.79) |
|||
Оператор, действующий на тензор 8 |
в (7.79), вслед за Э. Крёнером |
[16] |
||
обозначают Ink и называют оператором несовместности. Условие (7.79)
Ink8 =0 |
|
|
(7.79") |
|
Читается |
как “несовместность от |
тензора 8 ”), записанное в |
||
ортонормированной системе координат, |
превращается в шесть уравнений |
|||
совместности Сен-Венана; |
|
|
||
|
з -’SJJ |
э-’е ,. |
„ э ге ч |
|
(1п1сел,=-т- f + ■- r f - |
+ 2 - z - g . |
|
||
|
дх2 |
Эх] |
ох2дх3 |
|
и т. д. Отличие от нуля тензора InkS означает несплошность среды. |
||||
7.12. |
Интегральные теоремы |
|
||
Несомненно полезными будут приводимые ниже интегральные формулы, получаемые как обобщения преобразований ГауссаОстроградского и Стокса [3].
Сначала дадим выражения на основе формулы ГауссаОстроградского. Рассмотрим область К 01раниченную поверхностью S. Вектор п задает внешнюю нормаль к поверхности. Все векторные и тензорные поля под знаком интегралов будем полагать непрерывными и ограниченными вместе с их первыми производными функциями точек замыкания области V, Область может содержать полости, а направление
нормали может испытывать разрывы на кривых поверхности S. |
|
|
Имеют место формулы для векторного поля / |
|
|
JV -ld K * Jw /dS |
(7.80) |
|
V |
s |
|
(интеграл по объему дивергенции вектора равен потоку вектора через ограничивающую поток поверхность),
j V x i d V = JexfdS, |
(7.81) |
г$