книги / Тензорные алгебра и анализ

72.Найти производные по Т

а- ТЬ, а - Т - Ь

(векторы а и b от Гне зависят).

73*. С использованием представления экспоненты степенным рядом, результата упражнения 26 и определения ортогонального тензора доказать, что тензор ехр7\ где Т — кососимметричный тензор, — ортогональный.

Тензорный анализ

74.Для цилиндрической системы координат в положительном октанте, рассмотренной в п. 7.3, найти векторы локального базиса, сопоставляемую им фундаментальную матрицу и обратную ей матрицу, взаимный к локальному базис, коэффициенты Ламе, частные производные векторов локального базиса по цилиндрическим координатам и с их помощью символы Кристоффеля II рода.

75.Выполнить то же, что и в предыдущем упр., для сферической системы координат в положительном октанте.

76.Получить выражение (7.42f) символов Кристоффеля I рода через компоненты метрического тензора.

77.С использованием (1А2ГГ) найти символы Кристоффеля II рода для эллиптической цилиндрической системы координат, для которой

78.Выполнить то же, что и в предыдущем упр., для биполярной цилиндрической системы координат, для которой

79.Определить ковариантные производные контра- и ковариантных компонент векторного поля для цилиндрической системы координат.

80.Сделать то же, что и в предыдущем упр., для сферической системы координат.

81.Записать матрицу ковариантных компонент градиента вектора для цилиндрической системы координат. Записать матрицу соответствующих физических компонент в терминах физических компонент рассматриваемого вектора.

82.Сделать то же, что и в предыдущем упр., для сферической системы координат.

83.Записать соотношения ковариантной производной ковариантных компонент тензора II ранга для цилиндрической и сферической систем координат.

84.Записать выражения ковариантных компонент дивергенции тензорного поля II ранга для декартовой ортонормированной и цилиндрической систем координат. Записать физические компоненты полученных выражений в терминах физических компонент рассматриваемого тензора.

85.Сделать то же, что и в предыдущем упр., для сферической системы координат.

8 6 . Доказать тождество Риччи (7 .4 5 )

87. Доказать тождества

л У ‘е " = Am e'eJ

88. Записать выражение компонент тензора W<p для цилиндрической и

сферической систем координат.

89. Записать развернутые выражения дивергенции, ротора и лапласиана векторного поля в декартовой ортонормированной и цилиндрической системах координат.

90. Сделать то же, что и в предыдущем упр., для сферической системы координат.

91. Доказать тождества с полями кососимметричного тензора W и его аксиального вектора w

V x W = ( V - w ) J - H>V,

(V xw )m^w -v -v < w ;,

2Vx»v = H ' * V - V - 0 ' l

где (•)„ обозначает аксиальный вектор тензора-аргумента.

92.Доказать равенство для произвольного векторного поля t

/: W t = 0.

Список литературы

1.Вакуленко А.А. Полилинейная алгебра и тензорный анализ в механике. Л,: Изд-во ЛГУ, 1972. 62 с.

2.Вакуленхо А.А. Некоторые применения теории тензорных функций при построении определяющих соотношений. Новожиловский сборник. СПб: Судостроение, 1992. С. 41-48.

3.Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

4. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. Первое знакомство. М.: Изд-во МГУ, 1990. 384 с.

5. Сокольников И.С. Тензорный анализ, теория и применение в геометрии и в механике сплошных сред. М.: Наука, 1971.376 с.

6 . Схоутен Я.А. Тензорный анализ для физиков. М.: Наука, 1965.456 с.

7. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.496 с.

8. ЧерныхК.Ф. Введение в анизотропную упругость. М: Наука, 1988. 192 с.

9.Спенсер Э. Теория инвариантов. М.: Мир, 1974. 156 с.

10.Шубников А.В. Симметрия и антисимметрия конечных фигур. М.: Издво АН СССР, 1951.172 с.

11.Лурье А.И. Дифференцирование по тензорному аргументу. Вопросы математической физики / Сб. Л.: Наука, 1976. С. 48-57.

12.Демидов С.П. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1979.432 с.

13.Де Вит Р. Континуальная теория дисклинаций. М.: Мир, 1977.208 с.

14.Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.872 с.

15.Утияма Р. Теория относительности. М.: Атомиздат, 1979.208 с.

16.КрёнерЭ. Общая континуальная теория дислокаций и собственных напряжений. М.: Мир, 1965.104 с.

Краткие биографические сведения

Бианки Луиджи (1856-1928) — итальянский геометр.

Гамильтон Уильям Роуан (1805-1865) — ирландский математик, механик. Гаусс Карл Фридрих (1777-1855) — немецкий математик, физик,

астроном, геодезист.

Гессе Людвиг Отто (1811-1874) — немецкий математик.

Гиббс Джозайя Уиллард (1839-1903) — американский физик, математик, механик.

Картан Эли Жозеф (1869-1951) — французский математик.

Кочин Николай Евграфович (1901-1944) — советский математик, механик, геодезист.

Кристоффель Эльвин Бруно (1829-1900) — немецкий математик. Кронекер Леопольд (1823-1891) — немецкий математик.

Кэли лорд Артур (1821-1895) — английский математик.

Ламе Габриэль (1795-1870) — французский инженер, математик, физик. Лаплас Пьер Симон (1749-1827) — французский математик, физик,

астроном.

Леви-Чивита Туллио (1873-1941) — итальянский математик и механик. Остроградский Михаил Васильевич (1801-1862) — русский математик. Рашевский Петр Константинович (1907-1982) — советский геометр.

Риман Георг Фридрих Бернхард (1826-1866) — немецкий математик. Риччи-Курбастро Грегори (1853-1925) — итальянский геометр. Сен-Венан Барре де Адемар-Жан-Клод (1797-1886) — французский

инженер.

Сильвестр Джемс Джозеф (1814-1897) — английский математик. Стокс Джордж Габриэль (1819-1903) — английский физик, математик. Схоутен Ян Арнольдус ( 1883-1971) — голландский геометр.

Эйлер Леонард (1707-1783) — немецкий математик, механик, физик. Эйнштейн Альберт (1879-1955) — немецкий физик.

Предметный указатель

Автоморфизм евклидова пространства 65

линейного пространства 64 алгебра 45

коммутативная 45 нормированная 45 с единицей 45

Базис 11 локальный 91

нормированный 2 1 ортогональный 2 1 ортонормированный 2 1 основной 2 1 сопряженный (взаимный) 2 2 целый рациональный 79

бивектор 41

Вариация по Лагранжу 81 вектор 8

аксиальный (ассоциированный) 43 векторы собственные тензора 50

левые 57 правые 57

симметричного 56

Гомеоморфизм 85 гомоморфизм

векторного пространства 15 алгебры 45

градиент тензорного поля 10 0 группа

абелева 8 аффинная 84

ортогональных преобразований 67 по сложению 7 по умножению 7

симметрии тензора 75

симметрии тензорной функции 7 7

Девиатор 61 дефект линейного отображения 46 диада 26 диадик 26

дивергенция тензорного поля 10 2

Значения собственные тензора 49

Изоморфизм алгебр 45

векторных пространств 15 изометрический (изометрия) нормированных пространств 18

инвариант 65, 67, 79 индексы 10

немые 10 свободные 13

Комбинация векторов линейная 9 коммутатор 60 компоненты вектора 1 1

ковариантные 2 2 контравариантные 14 физические 95

координаты декартовы (прямолинейные) 83

криволинейные 86 коэффициенты Ламе 94 критерий

равенства двух тензоров 27 Сильвестра 20, 72

Матрица вырожденная 13

положительно определенная 2 0 фундаментальная 2 0

многообразие элементарное 85

Набла-оператор (набла-вектор, оператор Гамильтона) 99 направления главные тензора 5 1

Оболочка линейная множества 10 обратимость элемента алгебры 45 оператор

Гамильтона (набла-оператор, набла-вектор) тензорного поля 99 Лапласа тензорного поля 106 линейный 28 несовместности 1 1 0

операция абсолютного альтернирования тензора 38

абсолютного симметрирования тензора 38 альтернирования тензора по паре индексов 37 альтернирования тензора 11 ранга 33 бинарная алгебраическая 7 жонглирования индексами 24

симметрирования тензора по паре индексов 37 симметрирования тензора П ранга 32 транспонирования (транспозиции) тензора по паре индексов 36 транспонирования тензора II ранга 32

определитель тензора 60 отображение

каноническое 25 линейное 14 линейное обратимое 47 полилинейное 15

Параметр Лоде тензора 62 плотность 44 подпространство 9

натянутое на подмножество векторов 10

поле

алгебраическая структура 8 векторное потенциальное 1 1 2

векторное соленоидальное (вихревое) 1 1 1 тензорное в аффинном пространстве 89

полиада 27 поливектор 41

представление тензорной функции 79 признак обратный тензорный 80 проекции

косоугольные 23 прямоугольные 23

произведение внешнее 41 скалярное 19 тензорное 25

производная тензорного поля ковариантная 92

тензорного поля по направлению 102 тензорной функции 81

пропорциональность пары тензоров 60 пространства характеристические тензора 53 пространство

аффинное (точечное) 83 евклидово 93

линейное (векторное) 8 бесконечномерное 10 евклидово 19 компонентное определение 14 конечномерное 10 нормированное 17 сопряженное 16

псевдотензор 44

Ранг

линейного отображения 46 тензора 27

радиус спектральный элемента алгебры 46 разложение тензора

полярное 73 спектральное 59

репер координатный 83 ротор (вихрь) тензорного поля 103

Символы

Кристоффеля I рода 97

Кристоффеля II рода 92 Кронекера 14 Леви-Чивита 40

система векторов линейно независимая 9 система координат

декартова 84 декартова ортонормированная 102 криволинейная 86

криволинейная ортогональная 94 сферическая 89 цилиндрическая 88

след тензора II ранга (диады) 34

соглашение о суммировании по немым индексам (правило Эйнштейна) 10 соосность пары тензоров 59 спектр

девиатора 61 тензора 49

симметричного 58 кососимметричного 63 ортогонального 68 шарового 61

элемента алгебры 46 степень тензора 72 сходимость

по координатам 17 по норме 18

Тензор 25 абсолютно кососимметричный 37

абсолютно симметричный 37 Гессе 82 демитропный 70 единичный 35 изотропный 70

компонентное определение 30

кососимметричный (антисимметричный) II ранга 32 кососимметричный (антисимметричный) по паре индексов 36 Леви-Чивита 40,42,72 невырожденный 47 ортогональный 65

собственно 65 несобственно 65 представления 67

осесимметричный 58 положительно определенный 71 Римана-Кристоффеля 108 Риччи 109

симметричный по паре индексов 36 симметричный 11 ранга 32 с простым спектром 53