книги / Тензорные алгебра и анализ
..pdfjv t d y = fn td S и |
jtV dV = jtn dS . |
(7.82) |
||
r |
S |
i‘ |
s |
|
Для тензорного поля Г |
|
|
|
|
JV -7W |
= fn -T d S , |
|
|
(7.83) |
\W xT d V = jn x T d S , |
|
(7.84) |
Г5
j( x x n - T ) d S = - f ( n T ) x x d S =- j [ ( V - T ) x x +2<oJdY =
К |
|
p |
r |
(7.85) |
|
|
= j[ ( x x V T ) ~ 2 ( a ] d y , |
||
|
|
|
||
где JC — радиус-вектор, © — аксиальный вектор тензора Т (не обязательно |
||||
кососимметричного), |
|
|
|
|
\n - T q d S = \V |
(T -q )d V = \[(V |
Т) q +T:qV] dV |
(7.86) |
|
S |
У |
V |
|
|
Для симметричного Г |
|
|
|
|
jx x ( n - T ) dS= jx x ( V - T ) dV |
|
(7.87) |
Дадим формулы на основе преобразования Стокса. Пусть в объеме V задан замкнутый контур L, сводимый непрерывным преобразованием, не выводящим за ограничивающую объем поверхность, в точку. На контуре строится поверхность S, заключенная в V. Скалярные, векторные и тензорные поля под знаком интегралов рассматриваются непрерывными вместе с первыми производными. Циркуляция предполагает заданным направление обхода вокруг нормали к поверхности S. Тогда справедливы равенства
§dx • q -^ q |
dx= |
x q ) dS= J(n xV )-q d S |
(7.88) |
|
i. |
L |
s |
s |
|
(циркуляция вектора равна потоку его ротора через поверхность на контуре),
jd x - T = l( n x 4 ) T d S и |
j T d x = j ( i t \ ) T r dS, |
(7.89) |
||
L |
S |
L |
S |
|
jd x q =$ (n x 4 )q d S , |
|
|
(7.90) |
|
L |
S |
|
|
|
ф & х 0 = JV«x V )x q d S = |
|
rt4-q)dS, |
(7.91) |
|
L |
S |
S |
|
|
jd x (p = J/i x Vcp d S . |
|
|
(7.92) |
|
L |
S |
|
|
|
В заключение сформулируем утверждение, в курсе математического анализа называемое основной теоремой векторного анализа.
Векторное поле /, удовлетворяющее условию
V*f = 0 , (7.93) называется соленоидальным (вихревым). Соленоидальность поля / означает, что существует другое векторное поле q такое,что
t = V x q . |
|
|
|
|
|
(7.94) |
Векторное поле /, удовлетворяющее условию |
|
|||||
V х / = 0 , |
|
|
|
|
|
(7.95) |
называется потенциальным. Потенциальность поля |
означает |
|||||
существование скалярного поля ф (потенциала) такого,что |
|
|||||
/ = Уф. |
|
|
|
|
|
(7.96) |
У тверж дение |
(о сн о вн ая |
тео р ем а в ек то р н о го а н а л и за ). |
||||
Произвольное дифференцируемое векторное поле / может быть |
||||||
представлено суммой потенциального / * |
и соленоидального t |
* векторных |
||||
полей: |
|
|
|
|
|
|
/ = Г + Г , |
|
V х / ' = 0 , |
У Г = 0 . |
(7.97) |
||
Действительно, |
представляя |
**=Уф, |
имеем V х Vcp = 0. |
Из (7.97)| |
||
ф, и |
из |
(7.97)з |
тогда |
V / ” = V f - Дф = 0 <=> Дф = V / . |
Последнее уравнение всегда имеет решения (и даже бесчисленное множество их).
Если векторное поле Г потенциально, то из (7.88) и (7.95) §dx |
q =0, |
||
|
|
L |
|
откуда легко показать, что |
|
||
jdx-f= J<fc-Vq>= J<*p = <pw-< p,„ |
(7.98) |
||
М |
M |
м |
|
то есть интеграл вдоль кривой не зависит от выбора этой кривой, а определяется только координатами начальной и конечной точек на ней — разностью потенциалов в этих точках.
Существенно, что рассматриваемый контур сводится непрерывным не выводящим за ограничивающую объем поверхность преобразованием в точку. В противном случае циркуляция по такому контуру не обязательно нуль.
Соотношения (7.93)-(7.98) и имеющие отношение к ним определения и утверждения остаются справедливыми, если заменить в них векторное поле на тензорное. Для тензорного поля Т второго ранга:
V x T = 0=>T = Vq, и аналогично (7.98)
.V
jd x -T =qM- q M, |
(7.99) |
м |
|
где q называется векторным потенциалом.
Упражнения
Линейные пространства
1 . Вычислить выражения, содержащие символ Кронекера, 5 /, 5 /6 /, 5 / 6 / 5 / , 5 / 5 /, 6 / А /
2.Записать с использованием соглашений о немых и свободных индексах соотношения:
х, = АшВ " +АшВ‘2+...А,„В~, х2 = А}11В,1 + Ат В”+...А1тВ ",
х ^ А ш В "+ А п1гВ ‘2+...Ат Вт,
Аща'Ь'с1+ 13а*Ь2с*+... АПпа1Ъпс1+
+А ^ а '^ с 2 + А132а1Ь2с3+...А12па,Ьпс2+...+АпяпапЬпсп
3.Доказать, что базис в векторном пространстве не единственный.
4.Доказать, что любые «-мерные векторные пространства изоморфны.
5.Предложить доказательства невырожденности матрицы преобразования базисных элементов векторного пространства с помощью всех данных в пособии определений невырожденной матрицы.
6 . Доказать, что если £, е%„ i=l,..,n — линейно-независимая система векторов и [а} {]> ij=l,.„n — произвольная невырожденная матрица, то
векторы е'} = ау iei также образуют базис в Х„.
7.Доказать, что множество многочленов степени п не образует, а множество многочленов степени не выше п образует векторное пространство.
8. Доказать, что отображения, вводимые по правилу |
е1: |
х =хе { -* х , |
||||||
а) являются |
линейными формами; б) образуют базис |
в |
сопряженном |
|||||
пространстве %*„. |
|
|
|
|
|
|
||
9. Доказать, |
|
что |
множество |
всех полилинейных |
отображений |
|||
% х% х...хХ-> ¥ |
(X, / = |
У |
— векторные |
пространства) наделено |
||||
1 2 |
п |
|
i |
|
|
|
|
|
структурой векторного пространства, |
|
|
|
|||||
10. Проверить, что |
функция |
§(х) = ( ^ ( х к)2)*'2 |
V x e X n удовлетворяет |
|||||
аксиомам нормы. |
|
|
|
|
|
|
11.Для нормы ф(дс) из упр.Ю найти сопряженную норму (использовать неравенство Буняковского-Коши).
12.Для закона преобразования компонент произвольного векгора хеХу.
х *1 - 2х + (1/3)х2+ х3, х*2 = (1/2)х! + (1/2)х2, х*3 =х* +х3 при замене базиса найти матрицы прямого и обратного преобразований базисных векторов.
13. Известны координаты трех точек в двух декартовых косоугольных системах координат %'(к), Tjl(k)y к — номер точки, i,k=],..,3. Определить закон преобразования координат.
14.Определить и сравнить между собой все матрицы преобразования старого и нового ортонормированных базисов, а также матрицы преобразования компонент произвольного вектора в этих базисах.
15.Положение нового ортонормированного базиса е ’и е'2, е ’з в &з относительно старого ортонормированного в}, е2, е2 задано углами Эйлера (прецессии ф, нутации 6 и чистого вращения ф). Записать матрицу преобразования координат.
16.Используя теорему о взаимной ортогональности векторов основного и сопряженного базисов, получить следующие формулы связи этих векторов в пространстве
i. / _1 |
е2**3 . с2_ |
«Г |
X |
|
е3хе3 |
е,~е'-(егхе,У 1
.
е! -(е1хе,)' е1х е‘
е2 (е, хе,У
_ е1 * е2
йГ X 1
е хе ~3 е, -(е'хег)
17. Пусть заданы единичные векторы основного базиса в пространстве £ 3:
Л
(er,e2) = a, |
е2±е2. Найти взаимный базис. Для вектора х, |
А
лежащего между et и е2 ((*,<?,) = р, |дс|= /) найти его контравариантные
компоненты с использованием а) косоугольного, б) прямоугольного проецирования и сравнить их. Выполнить то же для ковариантных компонент.
1S. Найти ко-, контравариантные и смешанные компоненты метрического тензора в косоугольном базисе, определенном в упр.17
19.Найти связь ко- и контравариантных компонент метрического тензора для ортогонального базиса.
20.Известны углы между единичными векторами нового е \, е ’2, е ’з и
старого еи е2, е3 базисов в £ 3: (S*et)=a,. |
а также углы между |
векторами старого базиса: |
и т.д. Записать матрицу |
преобразования компонент. |
|
Т е н з о р ы н а д в е к т о р н ы м и п р о с т р а н с т в а м и
2 1. Доказать spQT= spQ .
2 2 . Доказать справедливость соотношений sp(A B )= (A B ):I =A:B,
sp(ABC) = (A B C ):I = (C A B ).I = (B C A):I = (ABJ:C=A:(B-C).
23.Доказать тождества
аА Ь = А:(Ьа) = (ab):AT.
24.Доказать справедливость тождества
(АВ)Т= А Т-ВТ
2 5 . Доказать
(Т а) г = (Т т) \
где л — целое положительное число.
26. Доказать для симметричного (знак “+”) / кососимметричного (знак
тензора Т равенства ^'у»Лг^7' _
у __£ут?л-/
где и — целое положительное число.
Т е о р и я к о с о с и м м е т р н ч н ы х т е н з о р о в
27. Доказать эквивалентность следующих определений симметричного
(кососимметричного) |
тензора: i)A T= ±А; ii)x A y = ± y-A x Vx,y; |
Hi) А х - ±х-А Vx (знак |
относится к определениям симметричного, |
а— кососимметричного тензоров).
28.Доказать, что в общем случае
S W * ± W S,
I:W = 0,
S:W = Ot
где S — симметричный, a W — кососимметричный тензоры второго ранга.
29. Доказать, что для тензора третьего ранга справедливо равенство
Тук — T m + Тт + 2/3(T [ij]k + T ftjj) + 2 /3 ( T Clj)k - Т щ ) ,
30.Получить формулу вычисления числа независимых компонент симметричного тензора из пространства S 9 для любых п и р .
31.Доказать, что для кососимметричной (внешней) трилинейной формы A(x,y,z), образованной кососимметричным тензором третьего ранга вида А - алЬлс, выполняется
х а |
х Ь |
X с |
Л (х,у,г) = ~ у .а |
у Ь |
у с |
z a |
z b |
Z'C |
32.Доказать тождество
аX b = Ь • (а е ; = (£Ь)-а = - а € b = b 6 а .
33.Доказать тождества
a x ( b x c ) = (a c)b -(a'b)c, ( a x b ) x c = (a'c)b - (b'C)a, a x ( b x c ) + b x ( c x a ) + c x ( a x b ) =0 (тождество Якоби).
34. Доказать тождества
[a -(b xc)]d =(a 'd )(b x c ) +(b d ) (c х а) + (c-d)(a х Ь), а(b,c,d) - b(c,d,a) + c(d,a,b) - d(a,b,c) = О,
(a x b tb x c .c x a ) =(a,b,c)2
35. Доказать тождества
( a x b ) x ( c x d ) = b(a,c,d)- a(b,ctd),
(a x b , c x d , e x f ) = (b ,e, f)( a,c,d) - (a,e,f)(b,c,d) .
36. Доказать тождества
а с |
Q'X |
a -у |
a z |
a d |
|
|
|
(a x b )-(c x d ) = b-c |
b d ’ (ia,b,c)(x,y,z) b'X |
b y |
b -z . |
|
c x |
c y |
c z |
37.Показать, что если A — антисимметричный тензор, а а — его
аксиальный вектор (3.23), то выполняются тождества A-b = axb, b-А - Ьха.
38. Показать, что аксиальный вектор кососимметричного тензора может быть найден по формуле а = А х •/
(левые множители диад перемножаются векторно, правые — скалярно). 39. Доказать, что над трехмерным пространством
е„4е**=з.',
e#tei"’=25/,
е^ е * ч = 5 / 8 / - 8 / 8 /
40.Показать, что А1, где А — кососимметричный, есть симметричный тензор.
41.Доказать
А А =а а -а а1> где А = - £ а - ~ а £ [а — аксиальный вектор
кососимметричного тензора А).
42.Доказать
§.€ = - 2 /,
€ = - / х / , |
|
|
|
|
€ • € = |
С - |
С |
|
|
= = |
*// |
«/// |
|
|
(определения С \ |
С |
даны (5.14)). |
||
43. Доказать |
|
|
|
|
d e t/ij/;= £ #>a; V |
V . |
|
||
d e t/a /;e „ „ = € ,i a i 4 |
4 ‘ , |
С п е к т р а л ь н ы е с в о й с т в а т е н з о р о в в т о р о г о р а н г а
44. Выразить инварианты Jt, |
i = 1,2,3 кососимметричного тензора W через |
|||||
его аксиальный вектор. |
|
|
|
|
|
|
45. Доказать |
(А *В )4 = В '1• А~', |
(А~1) г = (А Г)~*, (Л~г)~‘ = А |
для |
|||
неособенных тензоров А ,В . |
|
|
|
|
||
46. Доказать |
|
|
|
|
|
|
J (A 4 |
j ( A -') =Ы Л 1 : j ( A - |
|
|
|
||
|
J3(A )‘ |
J,(A )- |
а[ |
J3(A) |
|
|
для неособенного тензора |
А . |
|
|
|
|
|
47. Исходя |
из неравенства т, <т+ |
о среднем |
геометрическом |
/я. и |
||
среднем арифметическом |
т+ конечного |
числа |
положительных |
чисел |
доказать следующие неравенства для положительно определенного тензора Р:
Jf(P)>SJl-3(P),
J2(P )* 3 J \'3(P).
Какой вид примут эти неравенства, если Р кроме того шаровой? 47 . Доказать (в терминах главных значений)
jf(T )> 3 J 2(T)
|
для произвольного Г. |
|
|
|
|
|
48 |
. Доказать, что сопряженные векторы к собственным |
векторам /* |
||||
|
тензора |
Г (/' -Г = А./') |
являются |
собственными |
|
векторами |
|
транспонированного тензора. |
|
|
|
|
|
49 |
. Доказать, что спектр симметричного тензора действителен. |
|
50. Тензор Г задан компонентами в ортонормированием базисе
1 |
о |
о |
Д 7 = 0 |
1 |
I |
О |
0 |
1 |
Выразить степени Т \ Т6 данного тензора через /, Т , Т2 с помощью
теоремы Гамильтона-Кэли и определить компоненты тензоров Т 4, Т* в исходном базисе а) с помощью полученных выражений и б) непосредственного умножения тензоров.
51.Тензор Т задан компонентами в ортонормированном базисе
~3 1 Л
Д 7 = 1 0 2 •
/ 2 0
Найти собственные значения и собственные векторы тензоров Г, Т : , Т3
вэтом же базисе.
52.Тензор Т задан компонентами в ортонормированном базисе
-1 -1
4 0
0 4
Найти компоненты тензоров Т1'2, Т ,/3 в этом же базисе.
53.Показать, что коммутатор пары симметричных тензоров А, В
А- В - В А
есть тензор антисимметричный.
54.Доказать, что
S:D = 0,
S:W = 0,
S T =T S ,
где S — шаровой, W— кососимметричный, Т — произвольный тензоры второго ранга, D — произвольный девиатор.
Автоморфизмы
55. Доказать, что для ортогонального тензора О J / 0 > = /±2cos<p, где (р
— угол вращения О относительно его главной оси, знак и+” относится к собственно ортогональному, а — несобственно ортогональному тензорам.
56.Доказать, что для ортогонального тензора О J2( 0 ) = ± Jt(0 ) .
57.Найти компоненты полярного разложения тензора, заданного матрицей компонент в ортонормированном базисе
58. Доказать, что два симметричных тензора Г и Q с попарно равными собственными значениями можно связать соотношением
T m O r .Q .O ,
где О — некоторый собственно ортогональный тензор (найти его).
59.Найти компоненты в ортонормированном базисе /, у, к ортогональных
тензоров i f f 3, |
i f f 3, i f f 3, itf-’- i t f 3 i t; |
i f f 3, где e =-j=(i-h j+ k ) и |
сделать вывод. |
|
'л / Г |
|
|
60.Записать в инвариантном представлении ортогональные тензоры поворота относительно оси / на угол те и отражения относительно плоскости, натянутой на векторыу, к (ijjc — ортонормированный базис), и сравнить их. Записать матрицы компонент данных тензоров.
61.Определить число независимых изотропных тензоров ранга 2р, где р
— целое положительное число.
62. Найти |
все возможные свертки |
С Т |
(M.N=/,//,///) |
изотропных |
||||||||
тензоров четвертого ранга (5.14), получив в результате |
|
|
||||||||||
|
с |
|
с |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
Тс |
Т |
•I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
•г |
с |
|
с |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
• II |
./ |
|
•w |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
С |
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
»ш |
|
|
*I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тензорные функции и нх производная |
|
|
|
|
|
|||||||
63. Показать, |
|
что |
подмножество |
|
§ F Q 0(£3), |
О e § F: |
||||||
F(O T |
T |
O) =OT |
F (T) 0 |
|
V 7 |
|
образует группу |
(группу |
||||
симметрии данной функции). |
функции F(-): |
Т |
F (T ) (для |
|
||||||||
64. Для |
изотропной обратимой |
неё, как |
||||||||||
известно, |
= |
аргумент |
и |
значение |
которой—симметричные |
|||||||
тензоры, |
|
доказать соосность |
тензоров |
Т |
и |
F (T ). |
(Указание: |
использовать метод “от противного ” и инвариантное представление ортогонального тензора).
65. Доказать правила дифференцирования скалярной функции тензорного аргумента
Ч>г = (9т>Т’ ТЯе Т = Т т, Ш Т )+ у (Т ))т= ут+ у т, (с<р(Т»., = с(ч>(Т))r , (<f>(T)у (Т ))r =<prV + 'Vr<f-
6 6 . Используя результат предыдущего упр., вывести правила дифференцирования скалярной функции тензорного аргумента
67. Доказать справедливость соотношений
( Jt(T ))г — I >
(J ,(T :))T =2Tt ,
(J!(T))T = I J ,( T )-T t ,
(J ,(T S))T =3(Tt ) \
(J3(T))r =(TJf - J,(T)T T + IJ,(T )= J3(T )(T t )-‘
68. Доказать
Ф(Т)г , = - г г -ф г г л -г г
69. Доказать |
|
|
Sy _ , |
Эф |
T |
дТ ~ о (Т -Т т) |
’ |
|
dry |
1 dy |
T -, |
д ( Т Т т)~ 2 д Т |
|
(второе имеет место только для невырожденного 7).
70. Доказать справедливость соотношений
M T )F (T ))r= F b r + bFT,
(F (T ) - Н(Т))т= F ■Н т+ (FT:e,ej) ■Не!е‘.
71. Вывести формулы для производной тензорной функции по тензорному аргументу F (T)тдля функций
F (T )= F (G (T )),
F ( T ) - T ,
F (T ) = T ',
F ( T ) = T T t ,
F (T )= T T T ,
F (T ) = T ''