книги / Тензорные алгебра и анализ
..pdfСистема из п линейно независимых векторов ^-мерного векторного пространства называется его базисом. На основании изложенного любой
вектор х е Х„ представим в |
виде |
линейной комбинации |
х'е, векторов |
базиса е1у...еп. Для каждого х |
при фиксированном |
базисе такое |
|
представление единственно: |
из |
х - xiei = х"е{ имеем |
(х‘ -х ")е , = 0, |
откуда в силу линейной независимости векторов базиса х' =х " . Числа х1 называются компонентами вектора дг в данном базисе пространства. Заданные компоненты х(также однозначно определяют вектор х.
Базис в пространстве %п не единственный, более того, количество различных базисов в любом векторном пространстве несчетно (имеет мощность континуума).
13. Некоторые примеры векторных пространств
1. Пусть Я" = Ях.„х Я — прямое декартово произведение числовых полей действительных чисел, то есть множество, элементами которого
являются всевозможные упорядоченные системы |
(а 1 |
), а'еЯ (/ — |
||
индекс). Положим для любых (<хг,...,ал), ( $f |
из Я" и любого уеЯ |
|||
(а 1,,..,а") + |
= (а 1+ р '.....а" + р"А |
|
|
|
у(а ‘ |
) = (у а',...,у сО . |
|
|
|
Легко проверить, что в совокупности с так (iпокомпонентно) определенными сложением и умножением на действительные числа элементов множества Я" последнее образует векторное пространство (рекомендуется проверить аксиомы векторного пространства самостоятельно). Система п элементов (1,0,...,0),(0,1
множества Яп является одним из базисов этого пространства, которое поэтому есть /7-мерное векторное пространство.
2. Пусть [OL'J ] ] — матрицы т хп (то есть с т строками и п
столбцами) вещественных чисел. С покомпонентным сложением и умножением на числа [ O L‘J ] + [&*] = [a IJ+Р*7, У [а* ] = /у а у7
множество всех матриц тхп над полем Я обладает структурой mw-мерного векторного пространства. Один из базисов этого пространства образуют матрицы
“У 0 |
0 |
‘0 |
I |
0 ■ |
0 0 |
0 |
'0 |
0 |
0' |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Выше утверждалось, что в Х„ базис не является единственным.
Рассмотрим |
е, и е\ — базисы |
в Х„ (здесь и далее /=/....п). Из ранее |
|
доказанного |
(п. 1.2) следует, |
что любой вектор |
представляется |
компонентами разложения по базису (1.1), поэтому |
|
||
*;=Д ;Ч > |
|
(1.2) |
|
где индекс |
у = 1....п символизирует краткую запись п |
равенств. Такой |
|
индекс называют свободным, и он присутствует только единожды в правой и левой частях равенства на одном уровне (только вверху или только внизу); свободный индекс можно заменить на любой другой одновременно в обеих частях равенства. Наличие р различных свободных
индексов обозначает краткую запись г? равенств. Числа |
а/ в (1.2) |
образуют матрицу пхп преобразования базиса. |
|
Любой х е %„может быть разложен по обоим базисам*. |
|
x =x,et =x,Je,J. |
(1.3) |
Подставляя (1.2) в (1.3), получим |
|
х'е, = x'Jaj *ег |
|
Перенося в левую часть (х1хиа / )et =0 и используя |
линейную |
независимость базисных векторов е,-, получаем |
|
x '= e / x #,f |
(1.4) |
закон преобразования компонент вектора при замене базиса (1.2). В (1.4)
индексная запись соответствует умножению транспонированной |
[ а / ] |
матрицы на вектор-столбец {х'4}, |
|
Напомним, что матрица f a / ] называется вырожденной, |
если |
существует {х1} *{0}, что [ а / ]{х } = {0}, или (эквивалентно) если для
любого |
{у1 }Ф{0} |
существует |
бесконечно много {х1} — решений |
|
уравнения [а /]{ х '} ={yJ}, или |
(эквивалентно) если detfa/'] =0. Для |
|||
доказательства невырожденности используют метод “от противного”. |
||||
Докажем утверждение. |
|
|||
У тверж дение |
|
1.1. |
|
|
Матрица [а{ j ] |
преобразования базисных векторов не вырождена. |
|||
Предположим противное: [ а / ] вырождена. Тогда по определению |
||||
найдется |
такой х * 0 |
(очевидно, |
имеющий ненулевые компоненты х ’! |
|
разложения по базису |
e')t что в левой части (1.4) окажутся все xJ = 0, |
|||
откуда х * xje}= 0, что исключено.
Данному определению эквивалентно следующее: Н — линейно, если lt(ax + $y) =cUi(x) + $h(y) для любых х,у из X и сс,р из Я
(действительно, этот критерий выводится последовательным применением обоих условий линейности; обратно: при а = (3 * /, получаем первое из условий, а при Р = 0 — второе). Таким образом, линейные отображения сохраняют характерные для линейной структуры композиции, то есть каждой линейной комбинации из области определения сопоставляют аналогичную линейную комбинацию их образов, и потому являются гомоморфизмами (представлениями) векторного пространства.
Взаимно однозначные гомоморфизмы называются изоморфизмами. Соответственно, векторные пространства % иУ называются изоморфными, если существует линейное и взаимно однозначное отображение одного из них на другое. Нетрудно увидеть, что когда такое отображение существует, то dim# = dimiK В конечномерном случае это необходимое условие является и достаточным.
Предлагается доказать самостоятельно следующее утверждение.
У тверж дение 1.2.
Любые и-мерные пространства изоморфны.
В частности, любое Х„ изоморфно своему арифметическому представлению (см. пример 1 в п. 1.3). Возможный изоморфизм определяется заданием базиса в %п и действует по закону:
х = х ‘е{
1.6. Полилинейные отображения |
|
Допустим, что даны к+ I векторных пространств |
У (внизу — |
номер) и отображение р множества ХхХх...хХ в У |
Таким образом, р |
действует по правилу (х,х,...,х)-ь р(х,х,...,х) еУ , то есть представляет
собой векторзначную функцию от к векторных аргументов, каждый из которых пробегает свое пространство. Если зафиксировать любые к - 1 из этих векторов-аргументов, то р сведется к векторной функции одного
переменного вектора — отображению в У одного из пространств |
. |
|||
|
Отображение р называется полилинейным, если при любом целом |
|||
re[J,k] и любых фиксированных векторах а.....а ,а ,...,а |
(соответственно |
|||
из |
отображение |
х-> р(а.....а,х,а,...,а) |
есть линейное |
|
1 |
г -1 г+1 к |
г r 1 Г - / г ГУ1 к |
|
|
отображение пространства X в У .
этом е' — линейная форма, в чем несложно убедиться самостоятельно. Кроме того, поскольку гу. = 5у'е;1
|
|
|
|
|
( 1.10) |
С другой стороны для любой линейной |
формы и на Х„ имеем |
||||
и - х - и - ( х ‘е{) =(и |
е,)х‘ =[(u -e je 1] |
х . |
Отсюда u -fu -e je * |
или, |
|
обозначая числа u-et через и, , имеем |
и = ute‘ |
Таким образом, любая |
|||
линейная форма на %„ представляется |
линейной комбинацией |
форм |
|||
г/,...,еа Благодаря |
(1.10) последние |
линейно |
независимы (показать |
||
самостоятельно) и потому образуют базис сопряженного к Хп пространства. Можно утверждать поэтому, что пространство, сопряженное к Хп> — также л-мерное векторное пространство, так что Х„ и X*
изоморфны. Заметим, что в данном вопросе существенна конечномерность исходного векторного пространства. Подчеркнем, что каждому базису в Х„
можно сопоставить базис Х \у удовлетворяющий условию (1.10). Вследствие изоморфности рассматриваемых пространств элементы Х„
можно считать линейными формами на Х \.
1.8.Нормированное пространство
Вчисто линейном пространстве не определено понятие предела, следовательно, не имеют смысла понятия производной функции, сходимости ряда. В классическом курсе математического анализа для определения понятия предела использовалось свойство действительных чисел, позволяющее естественным образом определить понятие расстояния: Va,p е Я p(a,P)=|a - Р|.
Вконечномерном линейном пространстве можно определить сходимость покомпонентно, фиксируя какой-либо базис е, <=Х„ и считая,
что последовательность х,х,х,...е%тсходится, когда сходится каждая из |
|||||
1 2 ) |
|
п |
|
|
|
последовательностей х*,х*,х1... |
при |
/ = /....л, где |
х =х*еп х =х‘е,,... В |
||
/ 2 |
) |
г |
|
|
/ / ' » : ' |
этом случае вектор |
х € Х„ |
|
определяется |
пределом исходной |
|
последовательности, когда х '= Нт |
х', |
1=7,....л. |
|
||
|
т->в |
т |
|
|
|
Рассмотрим общий подход к определению понятия расстояния в линейном пространстве. Линейное пространство X называется нормированным, если любому элементу JC е X поставлено в соответствие некоторое неотрицательное число, называемое нормой элемента, удовлетворяющее аксиомам:
а) [|л:|| = 0 о х = 0, |
|
в ) М - Н И . |
|
в ) | х + ^ И + И |
|
(для любых х,.у е X и любого а еЯ). |
|
Поскольку для любых |
двух элементов х у е X определена их |
0 |
возможно определить расстояние между |
разность х —у= х + (—у ), то |
|
этими элементами как ||х - у\\. |
|
В конечномерном случае сходимость по норме |
|
11*-*Ц—ЦД 5 - >0 эквивалентна покомпонентной сходимости.
Рекомендуется самостоятельно показать, что функция |
|
Ъ(х ) = { £ ( х ‘/ } 1! |
( 1.11) |
к=1 |
|
удовлетворяет аксиомам нормы. |
|
Пусть Х„ — исходное нормированное пространство с нормой || - ||, а
%\ — сопряженное пространство. Тогда в %\ естественным образом
может быть определена норма |
|
HL = m a x w - x |
(1.12) |
ИТ3' |
|
VK еХ'п. Можно показать, что пространства (Xrt,\\ • ||) и (%*.|| *jj.) —
взаимно сопряженные, то есть изоморфные как векторные пространства
(что было доказано) и норма || • || исходного пространства есть |
|
||х||=гпахх*« |
(1.1Э) |
Vx еХ„. То есть, при введении в сопряженном пространстве естественной
нормы (1.12) среди пары (#„,||-|l)> (#*,IH L) невозможно указать
“первичное” нормированное пространство. Для любой пары сопряженных норм имеет место неравенство
и х |
< M ||if|L, |
(1-14) |
справедливое У хеХ я и VueX*„. |
|
|
Для |
произвольной нормы || • || в |
Хп норма || - Ц в сопряженном |
пространстве %\ в общем случае не совпадает с || • ||. Два нормированных пространства называются изометрически изоморфными, если они а) изоморфны как линейные пространства (то есть существует линейное взаимно однозначное отображение h(x) между ними),
б) изометрнчны, то есть ||хЦ=||Л(хД •
По этой причине в общем случае невозможно отождествить сопряженные нормированные пространства ( ^ я<||-||), (^£,IML)* хотя векторные пространства Хн, Х\ изоморфны. Единственной парой изометрически изоморфных конечномерных векторных пространств являются нормированное пространство Х„ с нормой (1.11) и ему сопряженное нормированное пространство. Рекомендуется самостоятельно доказать, что норма, сопряженная §(•) (1.11), есть сама $(■) (использовать неравенство Буняковского-Коши).
Необходимо заметить, что изложенные свойства взаимности существенно опираются на конечномерность пространств.
В курсе дифференциальной геометрии будет использован другой подход для определения дифференциальных операций, не использующий понятия расстояния (нормы), а основанный на соображениях топологии. При изложении данного курса вполне достаточно понятий сходимости по компонентам (координатам) и сходимости по норме.
1.9. Евклидово пространство
Говорят, что в линейном пространстве X определена операция скалярного умножения векторов, если любой паре векторов х и у из X поставлено в соответствие действительное число, которое называется скалярным произведением векторов JC и у и обозначается х у , и для любых x,y,z из X и любого аеЯ выполняются следующие аксиомы:
a) х у - у х (коммутативности), б) линейности
(х-1-у) z= xz+ y -z,
(ах)у = аху,
b)х-х> 0 при х * 0 и JC-Jс = 0 при х - 0 1
Линейное пространство со скалярным умножением векторов называют евклидовым пространством. Далее будем рассматривать конечномерный случай; евклидово /i-мерное пространство будем обозначать
Из аксиом линейности следует правило скалярного умножения двух линейных комбинаций конечного числа векторов, аналогичное
соответствующему правилу для многочленов: |
|
(a'al)-(V b ,) = a>Val -bj, |
(1.15) |
При любом п Хя можно многими способами превратить в Если в
Хя фиксирован базис е,, то произвольные векторы лу» из Хп имеют разложения х = х 'е <р у = yJej и (1.14) дает
x - y =x'y'el -eJ =x'yig) , |
(1.16) |
|||
где использовано обозначение g9 =е4-ej или в матричном виде |
|
|||
e re . |
е,-ел |
|
||
I |
с/ |
1 |
(1.17) |
|
е„ |
е. |
е„ ея |
||
|
||||
Матрица |
(1.17) |
называется фундаментальной и |
всегда |
|
сопоставляется определенному базису (здесь е,, /=/....п). Данная матрица не может быть произвольной, аксиомы “а^Ъ” накладывают на нее определенные ограничения. Фундаментальная матрица является симметричной и положительно определенной. Первое свойство следует из
аксиомы |
*а», |
откуда |
при |
х =ei,y =eJ, i * j |
имеем |
gv =ei -eJ = x y =y x |
= eJ -ei = gjt. |
Напомним, что положительно |
|||
определенной называется симметричная матрица [ау], если У{х' }Ф{0}
х‘а ^ > 0 или (эквивалентно) Vfx'j 3с>0 х*ачх* > с ^ х кх к k=t
(эквивалентно) все |
главные миноры положительны, то есть det4A>0, |
|
к = 1....п> где Ак |
аи |
(критерий Сильвестра). Положительная |
|
||
|
ш°кГ |
а кк_ |
определенность фундаментальной матрицы следует из (1.16) и аксиомыV евклидова пространства: Ух ф О 0< х -х =х'^ У
Евклидово пространство есть обобщение множества радиусвекторов в плоскости, для которого, как известно из геометрии, определены понятия длины вектора и угла между двумя векторами. Длина вектора д: в евклидовом пространстве определяется соотношением
\х\= (х-х)1/} =(x'gvxJ) " \ |
|
(118) |
|
а угол между двумя векторами х |
ъу — соотношением |
|
|
. , х у |
x 'g y ‘ |
(1.19) |
|
COSfX, у ) = ---- — ----- :------ -—. |
‘J .--------- - г . |
||
WW |
(x'gtx ) ( y ' s , . y ‘) |
|
|
Ранее показывалось, что для определения скалярного произведения в
Хн нужно задать любую симметричную положительно определенную матрицу для выбранного базиса. Если эта матрица для базиса eit i=l....п выбрана так, что gH=*, е, =|е\2=1 (р ) для всех /, то базис называют