книги / Теоретическая механика и её приложения к решению задач биомеханики

at

Сила тяжести Р момента не создает, а сопротивление воздуха не учитываем. Тогда

^ 1 = 0, к'а . = const. dt

где У, иУ2 — моменты инерции тела относительно фронтальной оси до и после распрямления. Как следует из табл. 4.1, отношение J 2/J\ = 2,6. Тогда

Спортсмен входит в воду с угловой скоростью 0,4 оборота в се­ кунду. Если сравнить результаты в примерах 9.2.1 и 9.4.1, то кажет­ ся удивительным, что время прыжка с 10-метровой вышки (1,41 с) лишь в два с небольшим раза превышает время полного прыжка на коньках на высоту 0,5 метра (0-,64 с).

9.4.2. Пример. Падение кошки

Рассмотрим падение и переворачивание в воздухе кошки с вы­ соты S. Известно, что кошка при падении практически всегда при­ земляется на все четыре лапы. Из наблюдений известно, что это происходит благодаря быстрому вращению кошкой собственным хвостом. Найдем скорость вращения

хвоста кошки.

Момент инерции туловища кош­ ки Jk= 1,2 10"1кг • м2. Момент инер­ ции хвоста кошки Js = 6 • 1(Г3 кг • м2. Высота падения S = 5 м.

Решение. Определим время паде­

ния:

следовательно, t= /— « 1 с . V 8

За это время туловище кошки по­ ворачивается на 180° (или на п рад), т. е. угловая скорость вращения туло­ вища

<в*=я 1/с.

Кинетический момент туловища Lk=Jk • ю*. Кинетический момент хво­ ста LS=JS-(а,. В начальный момент кошка находилась в покое и сумма мо­ ментов внешних сил относительно оси

вращения кошки равна 0 (моменты внешних сил отсутствуют). Тогда Lk+Ls = 0, J k • to* + J s • ш, = 0 откуда

л _ » 1 = - и . |0 - ' . » = - г0я

Ю

J, 6 - КГ1

To есть при падении хвост вращается в сторону, противополож­ ную вращению туловища со скоростью 20л 1/с.

9.5. Дифференциальные уравпения плоскопараллельного движения твердого тела

Плоскопараллельным называется такое движение тела, при ко­ тором все его точки движутся в плоскостях, параллельных заданной плоскости. Для задания этого движения достаточно рассмотреть движение плоского сечения тела в плоскости, параллельной задан­ ной. На рис. 9.6 изображено сечение тела, содержащее его центр масс С и движущееся в плоскости Оху.

Кинематика движения сечения может быть определена тремя уравнениями:

= / |( 0 .

<Р = /з(0>

где первые два уравнения задают движение центра масс тела, а по­ следнее — вращение вокруг центра масс по отношению к системе

координат Cx'y'z', движущейся поступательно. Надо связать коор­ динаты хс, ус и угол <р с силами, которые приложены к этому телу. Применим для этого теоремы о движении центра масс (7.1) и о ки­ нетическом моменте системы относительно центра масс (9.15):

Mac = ^ F k\ к=1

Первое уравнение запишем в проекциях на оси, а во второе под­ ставим К = Jcz1, а>, где J Cz>— постоянный осевой момент инер­

Это есть дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела. Первые два уравнения — дифференциаль­ ные уравнения движения центра масс, третье— дифференциальное уравнение вращательного движения вокруг подвижной оси, прохо­ дящей через центр масс.

Динамика более сложных движений тела (сферическое движе­ ние, общий случай движения твердого тела) в данном пособии не рассматривается. Однако полное изложение общих теорем динами­ ки позволяет применить их и к этим движениям и рассмотреть более сложные биомеханические модели.

9.5.1. Пример. Падение гимпаста на ковре

Гимнаст, стоя на ковре, начинает падать из вертикального поло­ жения с пренебрежимо малой начальной скоростью. Гимнаста мож­ но представить тонким прямолинейным однородным стержнем (пря­ мая А В на рис. 9.7). Обувь гимнаста по ковру не проскальзывает.

где

(9.25)

Из (9.22)-(9.25) получим силу трения

2

Сила трения равна 0 при <pi =0и<р2 =arccos —= 48,2°. При ма­

лых углах ф сила трения положительна (Зсоэф > 2) и направлена

в сторону падения гимнаста. При угле ф = 48,2° происходит смена направления силы трения.

9.6.Контрольные вопросы

1.Сформулируйте теорему о кинетическом моменте системы относительно центра.

2.Как изменяется угловая скорость деформируемого тела в случае увеличения его осевого момента инерции при усло­ вии сохранения кинетического момента тела относительно оси вращения?

3.Почему фигурист не сможет совершить прыжок в 10 оборотов?

4.Найти, как увеличивается ско­ рость вращения фигуристки при сведении рук к туловищу во вре­

мя вращения? Момент инерции > фигуристки до сведения рук

*J0 = 5,5 кг • м2. Момент инерции фигуристки после сведения рук

J\ = 3,0 кг • м2. Начальное коли__ чество оборотов фигуристки

п = 1,8 об/с.

10.1. Кинетическая энергия твердого тела при его простейших движениях

Чтобы воспользоваться формулой (10.1) для определения кине­ тической энергии сплошного-твердого тела, необходимо разбить его на достаточно большое число п частей и устремить п к бесконеч­ ности. Для приведенных выводов будет применяться приближен­ ная формула (10.1).

10.1.1. Поступательное движение твердого тела

При поступательном движении все точки тела имеют в данный момент времени одинаковые скорости, равные скорости движения центра масс,

и* = о с, к = 1, п.

Подставляя это в (10.1), получим

Т =

Кинетическая энергия поступательно движущегося тела равна половине произведения массы тела на квадрат скорости движения центра масс. Формула (10.2) совпадает с формулой кинетической энергии материальной точки, масса и скорость которой равны соот­ ветственно массе и скорости тела.

10.1.2. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим абсолютно твердое тело, которое вращается с угло­ вой скоростью со вокруг неподвижной оси AZ. Линейная скорость малого элемента тела, принимаемого за материальную точку, опре­ деляется по формуле

где hk— расстояние этого элемента до оси вращения (см. рис. 8.2). Подставляя (10.3) в (10.1), получим

2

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвиж­ ной оси, равна половине произведе­ ния осевого момента инерции тела на квадрат угловой скорости его вращения. Аналогичный результат получается и при пространственном движении твердого тела около од­ ной неподвижной точки, называе­ мом сферическим движением. Это движение представляется последо­ вательностью элементарных враще­ ний вокруг мгновенных осей ОР (рис. 10.1), поэтому справедлива формула (10.4),

Так как ось ОР меняет свое положение по отношению к телу, то момент инерции относительно мгновенной оси J P, вообще говоря, величина переметая.

10.2. Кинетическая энергия при составном движепии механической системы

Рассмотрим произвольно движущуюся систему материальных

точек. Свяжем с ее центром масс систему координат Cx'y'z' (система Кёнига), которая движется поступательно по отношению к непод­ вижной системе координат Oxyz (см. рис. 8.3). Абсолютное движе­ ние механической системы разлагается на два движения: перенос­ ное — вместе с системой Кёнига и относительное — по отношению

к этой системе. Переносная скорость во всех точках подвижной сис­ темы будет одинакова (по свойствам поступательного движения) и равна скорости движения центра масс. По теореме сложения скоро­ стей абсолютная скорость к-й точки системы равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей точки:

Подставим (10.6) в формулу кинетической энергии системы ма­ териальных точек (10.1) и вынесем за знак суммы множители, не со­ держащие индекса суммирования,

ТЕОРЕМА КЁНИГА. Кинетическая энергия механической сис­ темы равна сумме кинетической энергии поступательного движе­ ния вместе с центром масс и кинетической энергии движения по от­ ношению к системе координат, движущейся поступательно вместе

сцентром масс.

10.3.Общий случай движения свободного твердого тела

Вобщем случае движение твердого тела можно представить как поступательное движение вместе с центром масс и сферическое движение около центра масс (рис. 10.2). По теореме Кёнига с уче­ том (10.5) получим формулу кинетической энергии:

по