книги / Теоретическая механика и её приложения к решению задач биомеханики
..pdfvdv
Так как при х = 0 о = 0, то с = 0. С учетом того, что 1 > ко, по лучим окончательное решение.
Предельное значение скорости при х —>оо о ^ = 1/к. При дви жении тела с такой скоростью сила тяжести уравновешивается си лой сопротивления.
Возможен и другой, более простой, путь решения этой задачи. При достижении максимального значения скорости ускорение точ ки принимает значение, равное 0. Тогда из II закона Ньютона полу чаем
mg =R, mg = mgk1u max,2
^ шах = 1/к.
Для рассмотрения реальных примеров падения можно восполь зоваться известной формулой, определяющей аэродинамическое сопротивление движению,
(2.15)
где р — плотность среды (плотность воздуха при давлении 760 мм рт. ст. и температуре 15 °С равна 1,23 кг/м3),
S — площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения (площадь миделя),
сх— безразмерный коэффициент аэродинамического сопротив ления, который меняется от сотых долей единицы для ве ретенообразных тел до 1,4 у тел формы парашюта.
Коэффициент сопротивления к, введенный в условие задачи, найдем из равенства правых частей (2.12) и (2.15):
к = С*Р^ \ 2mg
Тогда предельная скорость падения
и |
]2mg |
(2.16) |
|
cxpS
Так, при спуске на параппоте человека (диаметр купола 6,4 м, масса человека и парашюта /и = 70 кг, сх=1,4, р = 1,23 кг/м3, g = 9,8 м/с2) предельная скорость спуска равна приблизительно 5 м/с.
При затяжном прыжке спорт смен долго падает без раскрытия парашюта. Для увеличения пло щади миделя он занимает гори зонтальное положение (рис. 2.5). Как известно, в этом случае пре дельная скорость падения равна приблизительно 60 м/с. Найдем величину коэффициента аэроди намического сопротивления из (2.16):
2mg pSulo
При значениях т = 70 кг, S = 0,5 м2 коэффициент сх= 0,62.
В заключение примера приведем табл. 2.1 значений площади миделя S и коэффициента аэродинамического сопротивления схдля некоторых видов спорта [14].
Т а б л и ц а 2.1
Площади миделя S и коэффициенты аэродинамического сопротивления сх для некоторых видов спорта
Спортивная специализация |
S, м2 |
сх |
Лыжный спорт |
0,3-1,0 |
0,5-0,9 |
Конькобежный спорт |
0,35-0,5 |
о,9-1,1 |
Велосипедный спорт |
0,4-0,5 |
0,7-0,9 |
2.3. Метод Эйлера пошагового интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений
Представим дифференциальные уравнения движения матери альной точки (2.10) в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка. Для стандартного представления системы введем обо значения для координат и проекций скорости точки:
У\ =Х, у2 = X, у 3 = у, у 4 = у, у 5 = z, у 6 = Z. (2.17)
Тогда из дифференциальных связей между функциями у,(0 и из (2.10) получим систему шести дифференциальных уравнений 1-го порядка:
У\ = У2 ,
Уг = —Fx(t,yx, . . . , y A
т
Уъ =Уа,
Уа = —Fy(t,yu . . . , y A
т'
^5 = 7 6 ,
Уб = —Fz(t,yi....... |
Уб)- |
т |
' |
Эту систему символически можно записать в виде
>. = /( ( * . у)’ 1= 1> 6’ У= (У\>—>Уб),
(2.18)
(2.19)
гдеf — правые части уравнений (2.18).
Добавим к (2.19) начальные условия (2.11), которые в новых пе
ременных имеют вид |
|
/ = 0: у, = у,-0, г = 1,6. |
(2.20) |
Дифференциальные уравнения (2.19) и начальные условия (2.20) составляют задачу Коши, или задачу с начальными данными, или одноточечную задачу. При непрерывности и определенной гладкости функций f задача Коши имеет единственное решение. Устойчивость и точность приближенного решения проверяются обычно путем проведения численного эксперимента.
Найдем решение задачи Коши на некотором конечном интерва ле времени Г. Разобьем его на достаточно малые интервалы т. Рас смотрим решение с постоянным шагом интегрирования т. На к-и шаге интегрирования в момент времени tk = kz функции y,(t) считаются известными. Для определения функций в момент време ни (i+l = (к + 1)т запишем производные у-, в конечно-разностном виде, ограничиваясь членами первого порядка в разложении функ ций у, (f*+i):
У; = ^[у.- (h+1) — Уi(h )]• |
(2.21) |
Подставляя сюда вместо у,- правые частив системы (2.19), взя тые при t — tk (явная схема), получим схему Эйлера пошагового ин тегрирования:
У, (f*4-1) = УгО*) + */.- ('*, y{tk)), i = 1,6. |
(2.22) |
Полагаем к = 0,1,2,.... При к = 0 получаем t0= 0, и тогда функ ции у,(0) берутся из начальных условий (2.20). Найденные из (2.22) значения у,<^) используются в качестве начальных условий На шаге к = 1 и т. д. Таким образом, получается последовательность решений У/(0), у,(х), (2т) ..., которая с точностью до малых 1-го Порядка аппроксимирует решение задачи Коши (2.19), (2.20).
Схема Эйлера удобна для реализации на компьютере и может применяться для решения как учебных, так и практических задач. Однако в больших задачах для сокращения времени счета желатель но использовать методы интегрирования с более высоким порядком точности и переменным шагом интегрирования. На практике 1цироко используется метод Рунге — Кутта — Мерсона 4-го порядка точно сти с определением погрешности счета у, на каждом шаге.
2.3.1. Пример. Динамика мяча для игры в пастольш,,й теннис
Определить, под каким углом а к горизонту должен в^шететь теннисный шарик для достижения максимальной дальности полета по горизонтали. Масса шарика m = 2,3 г, диаметр d = 3,8 см> на_ чальная скорость о 0 = 30 м/с, коэффициент аэродинамичес^ого со_ противления шара с = 0,45. Вращение шарика не учитывать
Решение. Вовремя полета теннисного шарика на него действу ет сила тяжести Р и сила аэродинамического сопротивления R , чис ленно равная рсЛ>2/2 и направленная противоположно скорости шарика о (рис. 2.6). Для упрощения записи дифференциальных уравнений силу сопротивления представим в виде
|
R = mgk 2и 2, |
где к = ----- , о о, = |
/— — — предельная скорость при вертикальном |
и » |
VРс5 |
падении шарика (см. пример 2.2.2.1). Площадь миделя S = nd2/4.
По заданным условиям задачи получим =8,5 м/с. Итак, коэф фициент сопротивления к определен и сила R является известной функцией скорости шара. Запишем силу сопротивления как вектор ную величину, учитывая ее направление:
R = —mgk2vv.
Тогда по II закону Ньютона
та = Р + R,
та —Р — mgk1ои.
Проектируя обе части уравнения на оси, получим
ах = - g k 2oux,
ау = - g ( l + £ 2ии,),
или в дифференциальной форме
x = —gk2\yx,
У- - g ( И- кгх>у}, |
(2.23) |
v = -Jx2 + у 2
Используя обозначения (2.17), запишем (2.23) в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка:
у,- = /. {t, УиУ2,Уз, Уа), i = 1,4, |
(2.24) |
где |
|
/\=Уг, |
|
f г =~ g k 2(yl +у1)'12уг, |
(2.25) |
J |
|
Ь = У а, |
|
/4 = -g (l + к 2 {у\ + У\) V2 УлJ- |
|
Начальные условия задачи: |
|
<= 0:д>1 = 0, уг = о 0 cosа, у3 = 0, y4 = o 0sina. |
(2.26) |
Задача Коши (2.24)-(2.26) решалась численно методом Эйлера. Шаг интегрирования х = 1СГ5 с. На рис 2.7 приведены траектории полета шарика при различных значениях угла а. При угле ai = 32° (кривая 1) дальность полета максимальна (Lm= 13 м). Кривые 2 и 3
представляют траектории полета при углах наклона к горизонтали начальной скорости а2= 15°, а 3 = 50° (расчеты А. Подгайца).
Представленные на рис. 2.7 графики называются баллистиче скими кривыми. В отличие от траектории движения тел по параболе в однородном поле тяжести без учета сил сопротивления у балли стических кривых ниспадающая ветвь более крутая, чем восходя щая. Заметим также, что при отсутствии сопротивления максималь ная дальность полета достигается при а = 45°.
2.3.2. Пример. Постановка задачи о прыжке с трамплина па лыжах
Прыжок с трамплина — один из наиболее технически сложных видов спорта. Однако в литературе по биомеханике спорта ему уде лено недостаточно внимания [27].
А. Спуск с горы разгона (рис. 2.8). На модели лыжника как ма териальной точки можно исследовать формирование скорости и ре акции опоры при движении от стартового стола (7) до стола отрыва
(3). Задача состоит в расчете профиля горы разгона (2), обеспечи вающего необходимую скорость вылета и оптимальные значения реакции опоры. Для решения задачи надо знать коэффициенты аэ родинамического сопротивления, площадь миделя, коэффициент трения лыж о снег. Некоторые данные можно найти в книге [14].
1
Б. Отталкивание от стола отрыва. Стол отрыва — прямолиней ный конечный участок спуска, который немного наклонен в сторону горы приземления, составляя 9-11° с горизонталью. Этот наклон
обеспечивает невысокий полет лыжника над горой приземления и безопасную скорость приземления. Отталкиваясь от стола отрыва, лыжник влияет на направление вектора начальной скорости прыжка. В определенной степени эта задача-является обратной задаче призем ления, которая в простейшей постановке рассмотрена в главе 3.
В. Полет над горой приземления. Задача лыжника — пролететь как можно дальше и устоять при приземлении. Последнее обеспе чивается в том случае, если нормальная к поверхности составляю щая скорости приземления невелика. Дальность прыжка зависит от массы лыжника, силы лобового сопротивления и подъемной силы. Важную роль играет обтекаемость воздухом комбинезона. Этот во прос требует специального исследования.
Г. Приземление. Как показывает тензометрирование, лыжник при приземлении испытывает перегрузки, близкие к пятикратным. Необходимо рассчитать, как влияет на перегрузки скорость призем ления.
В этом примере рассмотрим постановку только задачи В. Зада ча Г обсуждается в следующей лекции.
Рассмотрим фазу прыжка лыжника (рис. 2.9), который отрыва
ется от опоры в точке О со скоростью о 0, направленной под углом а
к горизонту. При полете на лыжника действует сила тяжести Р = mg, сила лобового сопротивления воздуха/? = mgk2и 2 и подъ емная сила N , направленная перпендикулярно вектору скорости и. Во время прыжка рассматриваем лыжника как материальную точку массой т. По сравнению с примером 2.3.1 здесь добавляется подъ емная сила, обусловленная углами наклона лыж и лыжника к каса тельной к траектории. Природа этой силы такая же, как и силы ло бового сопротивления воздуха. По сути, силы/? и N , складываясь, создают полную реакцию воздушной среды. Поэтому силу N при
мем также пропорциональной квадрату скорости: |
|
N = J m g k W , |
(2.27) |
где коэффициент /показывает, какую долю лобового сопротивле ния составляет подъемная сила. Вектор N найдем с помощью орта
ё0 OCHZ:
N = -fm gk 2иё0 х о. |
(2.28) |
II закон Ньютона запишется в виде
та = Р +R + N ,
(2.29)
та = mg — mgk 2v v — fmgk 2ё0 хи.
Сокращая т и проектируя обе части уравнения на оси, получим дифференциальные уравнения движения прыгуна с трамплина
* — ~ g k 2 (•*—fy)v.
|
(2.30) |
U = ‘J x 2 + у 2 |
|
Начальные условия движения: |
|
/ = 0:JC= 0, у= О, Jt = i)0cosa, y = u 0sina. |
(2.31) |
Коэффициент лобового сопротивления к = l/о , а предельная скорость о оо была получена из равенства предельной силы лобово го сопротивления весу лыжника с лыжами (см. пример 2.2.2.1). При = 60 м/с результаты расчета близки к реальным. Коэффициент подъемной силы / был принят линейно зависящим от расстояния s,
проходимого по траектории,
(2.32)
где S — длина траектории. Такой выбор коэффициента / обусловлен сопоставлением расчетных показателей с реальными. Так, например, при / = const нормальная составляющая скорости приземления — большая, что опасно для лыжника. Наиболее близкие к реальным ре зультаты, полученные приf 0= 1,2-5-1,5, р = 1. Приведенные коэффи циенты аэродинамического сопротивления приближенно отражают физику явления. Здесь не учтено, что при изменении углов атаки (уг лов наклона лыжника и лыж к вектору скорости полета) одновремен но должны изменяться оба коэффициента к и /0, более точное их оп ределение требует решения объемной задачи механики сплошных сред — обтекания потоком воздуха лыжника с лыжами.
Для решения задачи Коши (2.30), (2.31) перейдем к новым пере менным (2.17):
(2.33)
/ з = У 4 ,
/ 4 = г ( 1 - * '( л , + л1) ‘! (Л + /л ) }
t = 0:yi = 0, у2 = о 0 cosa, уъ = 0, у А= и 0 sin а. (2.34)
Задача решалась численно методом Эйлера. На рис. 2.9 приве дена одна из расчетных траекторий прыжка на лыжах.
2.4.Контрольные вопросы
1.Каковы две основные задачи динамики точки, которые реша ются при помощи дифференциальных уравнений движения материальной точки?
2.Как определяются постоянные при интегрировании диффе ренциальных уравнений движения материальной точки?