книги / Теоретическая механика и её приложения к решению задач биомеханики

4. Определите скорость движения пти­ цы после её соударения со стеклян­ ной преградой, закрепленной в песке. Скорость птицы до соударения 45 км/ч, масса птицы 20 г, масса пре­ грады 100 кг.

ТЕОРЕМА. Произведение массы системы на ускорение движе­ ния ее центра масс равно геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Если сравнить (7.1) со II законом Ньютона

та = F,

то можно сказать, что центр масс системы движется как материаль­ ная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил.

Спроектируем левую и правую части (7.1) на оси прямоуголь­ ной декартовой системы координат и получим аналогичные (2.2) дифференциальные уравнения движения центра масс:

где xCi ус, zc— координаты центра масс, а точки над ними обознача­ ют дифференцирование по времени.

Теорема о движении центра масс имеет весьма широкое приме­ нение в механике. Во многих задачах нет необходимости знать дви­ жение каждой точки системы, а важно в первую очередь определить движение ее центра масс, как, например, при рассмотрении полета спортивных снарядов, прыжка на лыжах, запуска ракеты и т. д. В ряде случаев теорема о движении центра масс позволяет найти движение отдельных точек системы, не решая их дифференциаль­ ных уравнений движения. Применяется эта теорема и при определе­ нии опорных реакций, в частности, при ходьбе человека.

7.1. Условия сохранения скорости движения центра масс

Уравнения (7.1) и (7.2) позволяют сформулировать условия дей­ ствия сил, при которых скорость движения центра масс сохраняется.

1. Если геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то скорость движения ее центра масс со­ храняется:

к=1

2. Если алгебраическая сумма проекций всех внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция скорости движения центра масс системы на эту ось сохраняется:

п

к=1

7.1.1. Пример. Человек на абсолютно гладкой поверхности

Рассмотреть качественно поведение человека на абсолютно гладкой горизонтальной поверхности.

Решение. На человека действуют внешние силы: сила тяжести и реакция гладкой поверхности, которые направлены по вертикали, что соответствует случаю (7.4). Если в начальный момент времени человек находился в покое, то о сг = 0 и для последующих моментов времени. Центр масс человека по оси х не перемещается при любых усилиях человека. Если, например, человек вынесет вперед левую ногу, чтобы сделать шаг, то правая опорная нога будет проскальзы­ вать назад ровно на столько, чтобы центр масс не сместился в гори­ зонтальном направлении.

При наличии даже малейшего трения о поверхность условие сохранения о с* уже не выполняется и центр масс может получить горизонтальное ускорение за счет силы трения. Однако чем меньше сила трения, тем медленнее человек должен идти для обеспечения сцепления с поверхностью (см. пример 7.3.1).

7.2. Частный случай сохранения скорости движепия центра масс

Пусть сумма проекций внешних сил на ось х равна нулю:

Ё« =о

*=1

и выполняется начальное условие

В этом случае по условию (7.4) и с* = const, а из начального ус­ ловия (7.5) следует, что

U cx=0

для любого момента времени. За любой конечный промежуток вре­ мени At перемещение центра масс по оси х будет равно нулю:

Ахс = 0.

Эта формула в соответствии с (4.4) может быть записана в виде

Заметим, что если начальное условие (7.5) не выполняется, то условие (7.6) выполняется в подвижной системе Cx'y'z\ движущей­ ся поступательно вместе с центром масс, поскольку в этой системе

7.2.1. Пример. Человек на лодке

Человек массой тхпроходит по лодке массой т2расстояние L. Определить перемещение лодки, пренебрегая сопротивлением во­ ды. Найти также перемещение лодки при обратном движении чело­ века (рис. 7.1).

Решение. На систему, состоящую из человека и лодки, действу­ ют внешние силы: их силы тяжести Pi иР2, а также выталкивающая сила воды Q. Запишем теорему о движении центра масс (7.1):

Проектируя левую и правую части (7.8) на ось х, получим аа = 0. Если принять, что начальная скорость человека и лодки рав­ на нулю, то справедливо условие (7.6), которое для системы двух тел запишется в виде

где Дх2 — искомое перемещение лодки, a Axt — абсолютное переме­ щение человека (по отношению к воде). Последнее складывается из перемещения человека вместе с лодкой (переносное движение) и по отношению к лодке:

Из (7.9) и (7.10) получим, что перемещение лодки

Ш\ + т 2

Лодка перемещается противоположно относительному движе­ нию человека. Подставляя (7.11) в (7.10), найдем также абсолютное перемещение человека:

Интересны предельные случаи очень тяжелой и очень легкой лодки:

В первом случае лодка остается в покое, а во втором— на месте по отношению к воде остается человек.

Из (7.9) следует, что абсолютные перемещения человека и лод­ ки обратно пропорциональны их массам:

что может быть получено также с учетом 1П закона Ньютона (дейст­ вие равно противодействию).

И, наконец, рассмотрим обратный переход человека. Изменит­

что приведет к изменению знаков в результатах (7.11) и (7.12). Оба тела возвратятся в свои первоначальные положения.

7.3. Определение реакций связей по теореме о движении центра масс

Рассмотренные выше примеры относятся, по сути, к частным случаям 2-й задачи динамики — по заданным силам и некоторым сведениям о движении точек механической системы достаточно полно исследовались их перемещения. Перейдем к решению 1-й за­ дачи динамики, обратной по отношению ко 2-й.

Рассмотрим одно из дифференциальных уравнений движения

Из (4.4) находится координата центра масс как известная функ­ ция времени:

из которого можно определить одну из неизвестных внешних сил, например реакцию связи. Решение этой задачи сводится к диффе­ ренцированию координат точек системы.

В некоторых задачах задаются сразу проекции ускорений точек системы а^, и тогда (7.18) удобно записать в виде

из уравнения (7.18) получается формула (7.6).

7.3.1. Пример. Сила трения при ходьбе человека

Оценить в долях веса человека максимальную за период ходь­ бы силу трения, которая возникает при ходьбе по поверхности с Хо­ рошим сцеплением, если длина шага L = 0,75 м, а период ходьбы т = 1 с (рис. 7.2). Обсудить случай ходьбы по поверхности с маЯЬщ трением.

Определение реакции опоры при ходьбе человека представДОет собой достаточно сложную биомеханическую задачу. Необходимо знать движение всех сегментов тела человека (координаты центров масс сегментов) и по уравнениям вида (7.18) найти неизвестною внешние реакции. В этом примере рассмотрим более простую, двух­ точечную модель человека, в которой выявляется основной фактор, приводящий к возникновению силы трения как движущей силы.

В примере 7.1.1 рассматривалась попытка ходьбы человек^ по абсолютно гладкой поверхности. В то время, когда человек выносит

X

Рис. 7.2 Рис. 7.3

одну ногу вперед, другие части тела смещаются в обратную сторону. При наличии сцепления с поверхностью обратному движению пре­ пятствует возникающая сила трения, которая направлена в сторону ускоренного движения маховой ноги. Таким образом, целесообразно рассмотреть систему, состоящую из двух частей: ноги массой тх и всего тела человека, исключая маховую ногу, массой т2. Эти части мы будем считать материальными точками. Так как масса т{значи­ тельно меньше т2, примем допущение, что ускорение 2-й материаль­ ной точки а2 = 0.

Расчетная схема представлена на рис. 7.3, где тело 1 — модель ноги, тело 2 — модель остальных частей тела человека.

(проекции сил тяжестиР,, Р2 и нормальной реакции опоры N на ось х равны 0).

Предположим, что материальная точка 1 совершает гармониче­ ское колебание относительно точки 2. Период этого колебания равен приблизительно половине периода ходьбы (ij = 0,5т), по­ скольку в относительном движении маховая нога проходит все фа­ зы полного колебания — сначала ускоренного, а затем замедленно­ го движения. При нулевом начальном значении координаты Xi урав­ нение абсолютного движения 1-й точки запишется в виде

где А — амплитуда колебаний,

Т] — полупериод ходьбы (время, за которое человек делает 1 шаг). В качестве амплитуды колебаний материальной точки 1 при­ мем амплитуду колебаний центра масс ноги. В соответствии с дан­ ными табл. 7.1 центр масс ноги отстоит от тазобедренного сустава на расстоянии, составляющем 43 % ее длины. При расчете было принято, что длина бедра и голени одинаковы. В фазе подъема бед­ ра центр масс ноги движется вперед, в сторону перемещения чело­ века, в фазе опускания бедра — относительное движение центра масс ноги имеет противоположное направление. Теоретически оце­ нить амплитуду этого колебания чрезвычайно трудно. Но, как вид­ но из эксперимента [25], сила трения (а значит, и ускорение) дости­ гает максимального значения приблизительно на 1/4 шага. Относи­ тельное перемещение центра масс ноги за это время примем за амплитуду колебаний Л, которая в соответствии с положением цен­

тра масс ноги составит 43 % от L/4 (А = 0,11L), где L — длина шага.

Подставим (7.21) в (7.20) и, учитывая, что и 2 = const, получим