книги / Теоретическая механика и её приложения к решению задач биомеханики
..pdfПодставляя сюда
^ = |
’ *^° ^ ^Црин> Т0 = 0, Ар = Mgh = Mg£(l —coscp), |
|
получим, что |
|
|
|
0)2 = ¥ ( 1_C0S<P)- |
(П.17) |
|
Рни |
|
Продифференцируем (o2(t) по времени:
-^-(co2(<Y) = 2са— = ^^sincpto
(/Л У)> |
dt p i |
и найдем угловое ускорение е = dot/dt:
e = -^-sin<p. |
(11.18) |
Рин
Из (11.17) и (И-18) найдем со и е при ср = 180°, что соответству ет нижнему положению гимнаста:
©2 = ^ , е = 0. |
(11.19) |
РИ1
Подставив в(11.16)ф = 180° и (11.19), получим ответ:
* о = 0 ,
г |
2 > |
(11.20) |
Y0 Mg 1 + 4 е | |
|
|
|
„Р и н , > |
|
В частности, при р т = I реакция опоры У0 = 5 Mg. Нагрузка на руки в 5 раз превышает вес гимнаста.
По данным работы [14], в среднем расстояние от центра масс гимнаста до оси вращения i — 1,2 м, а момент инерции относитель но фронтальной оси, проходящей через центр масс, Jc= \l кг-м\ По теореме Штейнера (4.19) J 0 = J C+ M i1. Это позволяет вычислить радиус инерции гимнаста:
П риМ = 70 кг получим, что Рин — 1,3 м. Тогда из (11.20) найдем реакцию перекладины:
Yo=4AMg.
Заметим, что в приведенных расчетах не учтены упругие свой ства человеческого тела и перекладины.
11.7. Пример. Потеря кинетической энергии бегущего человека
Человек массой 2т бежит по горизонтальной прямой со скоро стью и (рис. 11.6). Неожиданно он запинается о невысокое препят ствие, и его стопа останавливается. Пренебрегая отклонением чело века от вертикали, определить потерю кинетической энергии при торможении. Рассмотреть две модели человека (рис. 11.7 и 11.8):
А. Однородный прямолинейный стержень.
Б. Два однородных прямолинейных стержня, сочлененных иде альным шарниром.
Решение. При решении задачи принимаются допущения тео рии удара — за время удара учитываются только ударные силы, ко торые изменяют скорости точек системы на конечные величины, а перемещения точек считаются пренебрежимо малыми. Последнее
К 02 —Уг<в = j2 w ( 2 ^ 2a). Приравнивая кинетические моменты до
и после столкновения, получим угловую скорость
00 = |
3 и |
|
(11.21) |
---- . |
|
||
|
4 е |
|
|
Потеря кинетической энергии равна разности кинетических |
|||
энергий до и после удара: |
|
|
|
АТ = Т0 - T = -2 m -\)2 - - J o , -со2 = - о т и 2. |
(11.22) |
||
2 |
2 |
4 |
|
Б. После столкновения нижний стержень будет вращаться во круг оси Oz, а верхний стержень совершать плоскопараллельное движение. Сформулируем два условия сохранения кинетического момента:
1. Сохранение кинетического момента всей системы относи тельно неподвижной оси Oz.
2. Сохранение кинетического момента верхнего стержня отно сительно неподвижной оси Cz{(см. рис. 11.8).
В первом случае условия действия сил такие же, как в модели А . Во втором ударная реакция нижнего стержня F2 момента относи тельно оси Cz\ не создает.
Обозначим угловые скорости стержней после удара через шiи to2. Кинетический момент нижнего стержня после удара найдем по формуле (8.15) для вращающегося тела, а верхнего — по теореме Кёнига (8.20) и запишем равенство кинетических моментов до и по сле удара для системы в целом:
2m\)t = J\<xi\ -t-mUcj — £ + ./„<02. |
|
|
1 |
£ |
1 |
Подставляя сюда У, —- m l 1, о 0 = 1(й\ |
+ —<о2, Уо = — m l1, |
|
3 |
2 |
12 |
после преобразования получим уравнение |
|
|
Поз, +5со2 = 12— |
|
(11.23) |
Для верхнего стержня
лютно жесткий. В момент касания шестом поверхности земли прыгун поднимает ноги вверх и поднимается в воздух, держась за шест. Какой должна быть минимальная горизонтальная скорость прыгуна, чтобы он мог поставить шест в вертикальное положение (рис. 11.9)?
Решение. Количество движения спортсмена и шеста перед ка санием шестом поверхности в точке О равно /ии0. Это количество движения не сохраняется во время удара вследствие действия сил реакции опоры в точке О. Однако момент количества движения от носительно точки О остается постоянным. Предполагая, что масса атлета сосредоточена в точке на расстоянии d от точки О, а шест не весом, условие сохранения момента количества движения приводит к следующему выражению:
|
mv0h=mvid, |
(11.27) |
|
отсюда |
u x= vQh/d, |
||
|
в котором t>i — скорость спортсмена сразу после отталкивания. При выводе этого уравнения мы предположили, что скорость спортсме на сразу после отталкивания действует по нормали к шесту, как по казано на рисунке 11.9.
Выражение (11.27) показывает, что отталкивание спортсмена от земли ведет к снижению скорости с и 0 до о 0 hjd. Таким образом, отношение кинетической энергии до отталкивания и после отталки вания равно (h /d y . Для й = 0 , 9 м и ^ = 2 м примерно 80 % кинети
ческой энергии прыгуна рассеивается во время отталкивания. Рассмотрим сохранение энергии между двумя моментами вре
мени — моментом txсразу после отталкивания и моментом t2, когда шест примет вертикальное положение.
7"i+n,=(l/2)/w(o 0h/’rf)2 +mgh. |
(11.28) |
Ti+Tl^O+mgd. (11.29)
Приравнивая выражение для энергии в моменты времени txи t2, придем к следующему соотношению между начальной скоростью прыгуна и вертикальным расстоянием, которое пройдет его центр масс при использовании шеста:
vl= 2g(d/h)2( d - h ) . |
(11.30) |
Эта скорость необходима для того, чтобы поставить шест в вертикальное положение. Предполагая, что лучшие спорт смены пробегают 100 м пример но за 10 секунд, получаем верх нюю границу для скорости — примерно 10 м/с. Из выражения (11.30) следует, что центр масс прыгуна ростом 1,8 м при скоро сти 10,3 м/с может подняться на высоту только около 2 м. Поче му жесткий шест так неэффекти вен в подъеме спортсмена? Для ответа на этот вопрос необходи мо рассмотреть скорость о i прыгуна сразу после отталкива ния. Для и 0 = 12 м/с и d = 4 м, v>i = 2,7 м/с. Очевидно, что боль шая часть кинетической энергии и количества движения теряется во время касания шестом по верхности. Если атлет будет ис
пользовать гибкий шест, то часть кинетической энергии прыгуна сохранится в шесте в виде энергии упругого изгиба. Но это уже дру гая задача.
11.9.Контрольные вопросы
1.Сформулируйте теорему об изменении кинетической энер гии материальной точки.
2.Как вычисляется кинетическая энергия твердого тела в раз личных случаях его движения?
3.Сформулируйте теорему об изменении кинетической энер гии механической системы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Ньютон И. Математические начала натуральной философии.— М.: Наука, 1989.— 690 с.
2.Бернштейн Н. А. Общая биомеханика. Основы теории движения чело века.— М., 1926.— 416с.
3.Янсон X. Бернштейн Н. А.— родоначальник научной биомеханики в России // Биомеханика и протезирование.— 1992.— № 1.— С. 12-16.
4.Александер Р. Биомеханика.— М.: Мир, 1970.— 340 с.
5.Бранков Г. Основы биомеханики.— М.: Мир, 1981.— 256 с.
6.Глазер Р. Очерк основ биомеханики.— М.: Мир, 1988.— 128 с.
7.Образцов И. Ф., Ханин М. А. Оптимальные биомеханические систе мы.— М.: Медицина, 1989.— 272 с.
8. Исследования по биодинамике ходьбы, бега, прыжка / под ред.
Н.А. Бернштейна.— М.: Физкультура и спорт, 1940.— 310 с.
9.Вукобратович М. Шагающие роботы и антропоморфные механизмы.— М.: Мир, 1976.— 544 с.
10.Коренев Г. В. Введение в механику человека.— М.: Наука, 1977.— 264 с.
11.Зациорский В. М., Аруин А. С., Селуянов В. Н. Биомеханика двига тельного аппарата человека.— М.:Физкультура и спорт, 1981.— 144 с.
12.Формальский А. М. Перемещение антропоморфных механизмов.— М.: Наука, 1982.— 368 с.
13.Белецкий В. В. Двуногая ходьба.— М.: Наука, 1984.— 288 с.
14.Петров В. А., Гагин Ю. А. Механика спортивных движений.— М.: Физ культура и спорт, 1974.— 232 с.
15.Агашин Ф. К. Биомеханика ударных движений.— М.: Физкультура
испорт, 1977.— 208 с.
16. Донской Д. Д., Зациорский В. М. Биомеханика.— М.: Физкультура
испорт, 1979.— 264 с.
17.Лапугин А. Н. Обучение спортивным движениям.— Киев: Здоров'я, 1986.— 216 с.
18.Лагутин А. Н., Хапко В. Е. Биомеханика физических упражнений.— Киев: Радянська школа, 1986.— 136 с.
19.Уткин В. Л. Биомеханика физических упражнений.— М.: Просвеще ние, 1989.— 205 с.
20.Гагин Ю. А., Гаврилов В. И., Джаркешев 3. А. Теория и практика двига тельного мастерства.— Алма-Ата: Рауан, 1990.— 182 с.
21.Добронравов В. В., Никитин Н. Н., Дворников А. Л. Курс теоретиче ской механики.— М.: Высшая школа, 1974.— 528 с.
22.Никитин Н. Н. Курс теоретической механики.— М.: Высшая школа, 1990.— 608 с.
23.ТаргС. М. Краткий курс теоретической механики.— М.: Наука, 1970.— 480 с.
24.Девишвили В. М. Методы изучения движения человека.— М.: МГУ, 1979.— 57 с.
25.Гриценко Г. П., Витензон А. С. Исследование биомеханических пара метров ходьбы здоровых людей с помощью ЭВМ «Искра 226» // Проте зирование и протезостроение.— М.: ЦНИИПП, 1990. Вып. 89. С. 66-77.
26.Optimization and Investigation of the Foot Prosthesis Operating
Characteristics / R. N. Rudakov [et al.] // J. Biomechanics.— Perm.— 1997.— № l.Pp.
27.Багин H. А., Волошин Ю. И., Евтеев В. П. К теории полета лыжника при прыжках с трамплина//Теория и практика физической культу ры.— 1997.— № 2.— С. 9-11.
28.Бачинский А. И., Путилов В. В., Суворов Н. П. Справочник по физи ке.— М.: Учпедгиз, 1951. 380 с.
29.Методические материалы и конкурсные задачи Всероссийской олим пиады «Студент и научн.-техн.прогресс» по теоретической механике 1995 года / Ю. И. Няшин [и др.]; Перм.гос.техн.ун-т.— Пермь, 1996.— 30 с.
30.Попов В. И., Тышкевич В. А., Шумский М. П. Сборник олимпиадных задач по теоретической механике: В 2 ч. / Тамб. ин-т хим. маш.— Там бов, 1992.— Ч. П.— 104 с.
31. Оптимизация слаломной траектории с учетом наклона лыжни ка /Р. Н. Рудаков [и др.].— Российский журнал биомеханики.— 2007.— № 1.
32.Рудаков Р. Н., Подгаец Р. М. Удар по спортивному мячу.— Российский журнал биомеханики.— Т. 9.— 2007.— № 4.
33.Рудаков Р. Н., Разумов А. А., Лисовский А. Ф. Математическое модели рование горнолыжного спуска// 15-я Всероссийская школа-конферен
ция молодых ученых и студентов «Математическое моделирование
вестественных науках», Пермь, 4-7 октября 2006.
34.Sport biomechanics of movements in resisting media. Proceedings of the 5th World Congress of Biomechanics (ed. D. Liepsh) / R. N. Rudakov [et al.].
35.Nachtigall W. Biomechanik.— Vieweg, 2000.
36.Tozeren A. Human body dynamics.— Springer, 2000.
37.Ozkaya N., Nordin M. Fundamentals of Biomechanics.— Springer, 1999.