книги / Теоретическая механика и её приложения к решению задач биомеханики
..pdfВнешними называются силы, действующие на материальные точки данной системы со стороны других тел, не входящих в эту систему. Для системы, состоящей из п материальных точек, внеш ние силы обозначим Fxe,F2e,...,F„e
Внутренними называются силы взаимодействия между матери альными точками данной системы. Их обозначим Fx , F i,... yFnl.
Если, например, в качестве механической системы рассмотреть абсолютно твердое тело, то все силы взаимодействия между частя ми этого тела, определяющие его сплошность, являются внутренни ми силами.
4.1.1. Свойства внутренних сил
1. Геометрическая сумма всех внутренних сил, действующих на точки данной системы, равна нулю:
Е Д ‘ = 0 . |
(4.1) |
к= 1
Доказательство этого свойства достаточно очевидно. По 3-му за кону Ньютона две материальные точки взаимодействуют с силами, равными по модулю и направленными по одной прямой в противопо ложные стороны. При геометрическом сложении эти силы дают нуль. Поскольку все внутренние силы, действующие на данную систему, входят попарно, то после их сложения получается равенство (4.1).
2. Геометрическая сумма моментов всех внутренних сил отно сительно некоторого центра равна нулю:
'£ m o (F k‘) = 0. |
(4.2) |
* = 1 |
|
Это свойство следует из того, что векторы — моменты сил взаимодействия двух точек равны численно (плечи сил одинаковы) и направлены в противоположные стороны. При сложении они так же дают нуль.
Рассмотренные свойства внутренних сил позволяют сущест венно упрощать теоремы динамики механической системы. Перед формулировкой этих теорем обсудим инерционно-геометрические характеристики механической системы.
4.2. Масса. Центр масс системы
Рассмотрим механическую систему, состоящую из п матери альных точек с массами т\,т2,...,т„. Масса системы равна сумме масс всех ее точек:
М = £ т * . |
(4.3) |
к = \ |
|
Важную информацию о распределении масс в системе дает ее центр масс (точка С на рис. 4.1).
Центром масс системы называется геометрическая точка, коор динаты которой находятся по формулам:
1 п
Хс= — У ] ткхк, М *=i
1 ”
(4.4)
м fcT
*=1
где хк9 ук9 zk— координаты к-й точки системы.
Умножая левые и правые части (4.4) на соответствующие орты координатных осей i 9j 9k 9получим формулу для радиуса-вектора
центра масс |
|
гс = 7 - |
(4.5) |
мк= I
где гк — радиус-вектор к-й точки системы (см. рис. 4.1)
Если механическая система находится в однородном поле силы тяжести, то на точку системы действует сила тяжести р к = mkg9где g — ускорение свободного падения, одинаковое для всех точек сис темы. Если правую часть (4.5) умножить и разделить на g, то полу чим радиус-вектор центра тяжести:
= |
(4.6) |
1
где Р — вес тела. Центр тяжести совпадает с центром масс системы, однако понятие центра масс является более общим, оно не зависит от наличия или отсутствия силовых полей.
4.3. Момент инерции тела относительно оси
Некоторую дополнительную информацию о распределении масс механической системы, важную при изучении динамики вра щательного движения, дает понятие осевого момента инерции сис темы, зависящего от расстояний точек системы до оси.
Рассмотрим механическую систему, состоящую из п матери альных точек, и произвольную ось Oz (рис. 4.2).
Момент инерции системы относительно оси равен сумме произ ведений масс всех точек системы на квадраты их расстояний от оси:
Л = £ т » Л * . |
(4.7) |
*=1 |
|
Эта формула приближенно определяет осевой момент твердого тела, если его разбить на достаточно большое число п частей и счи тать каждую часть материальной точкой. Точная формула получа ется в пределе при п —> оо (тк = Атк —►0):
J 2 = f h2dm |
(4.8) |
(П |
|
Интегрирование ведется по всему объему тела V.
В случае однородного твердого тела плотность в любой точке те ла одинакова (р = MIV) и в (4.8) ее можно вынести за знак интеграла:
(4.9)
где dv — элементный объем тела.
По аналогичным формулам можно определить осевой момент однородной материальной поверхности площади S и линии длины L\
(4.10)
(4.11)
В качестве примеров рассмотрим определение моментов инер ции стержня, кольца и диска.
Рассмотрим прямолинейный однородный стержень ОА массой М и длиной L. Найдем момент инерции стержня относительно оси Oz, проходящей через конец стержня перпендикулярно ему (рис. 4.3). Со стержнем свяжем ось Ох ив формулу (4.11) подставим h — x,d i — dx.
о |
х |
А |
|
|
Рис. 4.3
J Z= -M L 2 |
(4.12) |
3 |
|
Момент инерции тонкого круглого кольца массой М и радиу сом R относительно оси Oz (рис. 4.4) найдем по формуле (4.7). Лю бой элемент кольца отстоит от оси Oz на расстояние hk= R. Тогда из (4.7) получим
J z = R 2J2 m k,
к= 1
J z = MR2 |
(4.13) |
И, наконец, найдем момент инерции однородного круглого диска массой М и радиусом R относительно оси Oz, перпендикуляр ной диску и проходящей через его центр (рис. 4.5). Выделим в диске тонкое круглое кольцо радиусом г и толщиной dr и примем площадь кольца ds = 2яrdr за элемент площади диска. Тогда по формуле (4.10) при h = г вычислим момент инерции диска:
Jz —— т Г r 2lm dr,
KR2J0
J Z = ^ M R 2 |
(4.14) |
Для тел сложной формы бывает удобно ввести понятие радиуса инерции тела рин.
Рис. 4.4 |
Рис. 4.5 |
Радиус инерции равен расстоянию, на котором от оси надо по местить материальную точку с массой, равной массе тела, чтобы моменты инерции точки и тела совпали:
Л = Лфии» |
(4-15) |
|
2 |
Л |
(4.16) |
Рин |
м ' |
|
|
|
|
где Jz— осевой момент инерции тела.
Обычно радиус инерции находят у моделей деталей сложной формы, а затем, зная массу детали М, по формуле (4.15) вычисляют
ееосевой момент инерции Jz.
4.4.Теорема Штейнера о моментах инерции относительно параллельных осей
Теорема устанавливает связь между моментами инерции тела относительно параллельных осей, одна из которых должна прохо дить через центр масс тела. Найдем момент инерции относительно оси Oz\ отстоящей на расстояние d от параллельной ей оси Cz, про ходящей через центр масс тела (рис. 4.6). Масса тела М и момент инерции J 2 заданы.
Разобьем тело на большое число и малых элементов, считая их материальными точками. Рассмотрим произвольный элемент^*, отстоящий от оси O f на расстояние h[ (см. рис. 4.6). Тогда в соот
ветствии с (4.7)
J z < —^2 т *А*2 = |
|
Мк (**2 + У* )’ |
(4-17) |
к= I |
к = \ |
' |
|
где хк и у к — координаты точки Ак в системе координат Ox!y'z!, ко
торая сдвинута относительно центральной системы координат Cxyz на расстояние d по оси х. Запишем связь между координатами как
х'к = х к - d,
(4.18)
Ук=Ук-
Подставив (4.18) в (4.17) и сделав некоторые преобразования, получим
J z '= Y ^ m k(xl + у Л2 -
—2 d y ^ ткХк + d 2 |
rrik. |
ь=1 |
*=i |
Первое слагаемое дает мо мент инерции относительно OCHZ,
так как х\ + у\ = А*2, во 2-м сла-
п
гаемом ^2,ткхк = Мхс = 0, в 3-м
*=i
п
У2тк = М. Окончательно имеем *=i
J z, = J Z + Md 2 (4.19)
ТЕОРЕМА. Момент инерции тела относительно некоторой оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной и про ходящей через центр масс, сложенному с произведением массы те ла на квадрат расстояния между осями.
Теорема Штейнера показывает, что для любого семейства па раллельных осей момент инерции тела относительно оси, проходя щей через его центр масс, будет минимальным.
УZ
|
т |
L12 |
л |
е |
в |
|
|
Рис. 4.7 |
Для примера найдем момент инерции стержня относительно центральной оси Cz, зная из (4.12), что J z>= M l}/Ъ (рис. 4.7):
J 2>= J z + М fL\ 2 |
|
J t = — MJ) |
(4.20) |
12 |
|
4.5. Связь моментов инерции относительно центра, оси и плоскости
Цель установления связи между моментами инерции состоит в том, чтобы благодаря этим связям упростить в ряде случаев опре деление осевых моментов инерции.
Момент инерции системы материальных точек относительно центра, оси, плоскости равен сумме произведений масс материаль ных точек системы на квадраты их расстояний от центра, оси, плос кости. Выражая указанные расстояния через координаты хк, у к, zk
(к = Г, п) материальных точек (рис. 4.8), запишем моменты инерции:
Z
X
Рис. 4.8
п
(4.21)
к=\
п
*=1
п
(4.22)
Л = J 2 m k (x f +Ук); к=\ '
п
Jtixy — y~]mkZk>
к=1
п
к=1
п
Из формул (4.21) и (4.22) сле дует, что
2J „ = J X+ J , + J I , (4.24)
а из (4.22) и (4.23) —
(4.25)
4.5.1. Пример. Момент инерции диска относительно диаметра
Найдем моменты инерции однородного круглого диска массой М и радиусом R относительно осей Ох и Оу: J x = J y =J=> (рис. 4.9). По связи моментов инерции (4.24) относительно центра и осей имеем
2У0 = 2 J + J Z.
Рис. 4.9 |
Рис. 4.10 |
Так как J 0 = J z, то с учетом (4.14) получим |
|
J = - M R 2 |
(4.26) |
4 |
|
4.5.2. Пример. Момент инерции шара относительно диаметра
Сначала определим момент инерции шара массой М и радиу сом R относительно центра О. Выделим в шаре шаровой слой ра диусом г и толщиной dr (рис. 4.10) и примем его за элементарный объем dv = 4nr2dr.
Момент инерции J 0 найдем по формуле, аналогичной (4.9),
J 0 = — Г r 2dv = ——— Г r 24nr2dr,
V i |
inR> |
с |
|
3 |
|
|
J 0 = - M R 2 |
(4.27) |
|
5 |
|
Найдем осевые моменты инерции: У, = Уу = У* = У = ?
Из (4.24) следует, что 2У0 = ЗУ, подставляя сюда (4.27), найдем
(4.28)
4.5.3. Пример. Момент инерции сплошного цилиндра
В биомеханике части тела человека (туловище, бедро и др.) иногда рассматриваются как сплошные однородные круглые ци линдры. Найдем моменты инерции цилиндра массой М, радиу сом R, высотой Н относительно осей Ох и Оу, проходящих через центр масс О перпендикулярно оси симметрии Oz (рис. 4.11).
J X — J у — J — Ч
Из 3-го уравнения (4.25) най
дем J QXZ = J o y i= - J I и подста-
2
вим в 1-е уравнение (4.25):
Ух ~ —Уz "ЬУ0ху
По (4.14) J x = Ж 2/ 2, а мо
мент цилиндра относительно плоскости Оху можно найти так же, как и осевой момент инерции
Рис. 4.11
стержня (4.20):
У<ь,= — М Н 2
У12
Окончательно получим
J x = J y = - M R 2 + — М Н 2. |
(4.29) |
412
Втабл. 4.1 приведены моменты инерции относительно оси z те ла мужчины (М= 70 кг, Н = 1,7 м), определенные эксперименталь но и вычисленные по цилиндрической модели [14].