книги / Теоретическая механика и её приложения к решению задач биомеханики

Глава 3. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО

ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

В предыдущей главе рассматривались дифференциальные уравнения движения материальной точки в инерциальной системе отсчета. Рассмотрим, как описывается движение точки по отноше­ нию к неинерциальной системе отсчета. В дальнейшем инерциаль­ ную систему будем условно называть неподвижной, а неинерциаль­ ную — подвижной для приближения к терминологии кинематики составного движения. Приведем некоторые сведения из теории со­ ставного движения.

Абсолютным называется движение точки по отношению к не­ подвижной системе отсчета, относительным — по отношению к подвижной. Движение подвижной системы по отношению к не­ подвижной называется переносным движением.

3.1.Основной закон относительного движения

Впринятой терминологии ускорение а во втором законе Нью­ тона (1.2) — абсолютное. Введем в (1.2) относительное ускорение аг, для чего воспользуемся теоремой сложения ускорений [21]:

где ае — переносное ускорение точки, обусловленное движением подвижной системы отсчета,

ак — ускорение Кориолиса, равное удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения и относительной скорости:

Подставим абсолютное ускорение (3.1) в (1.2) и в левой части уравнения оставим слагаемое с относительным ускорением:

которые составляют уравновешенную систему сил. Далее вагон тронулся с места и начал двигаться поступательно с ускорением ае. Поскольку нет силы трения, груз останется на прежнем месте по от­ ношению к неподвижной системе отсчета Oxyz и его абсолютное ускорение будет равно нулю (а = 0). Кориолисово ускорением* так­ же равно нулю. Тогда из (3.1) получим

аг = -а е9

т.е. груз начнет двигаться с ускорением по отношению к системе отсчета 0'х'у\ связанной с вагоном. Такое же ускорение мы полу­ чим и из основного закона относительного движения

mar = P + N +F™

Хорошо видно, что сила инерции Fem лишь учитывает движе­ ние вагона.

Для решения задач уравнение (3.4) удобно записать в проекци­ ях на оси:

Это дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки, в которых xr(t), уг(/), zr(t) — относительные координаты. Точки над функциями означают дифференцирование по времени.

Ранее говорилось (глава 1), что для многих прикладных задач систему отсчета, связанную с Землей, можно приближенно считать инерциальной. Однако есть явления, в которых вращение Земли проявляется достаточно заметно. Например, вследствие вращения Земли поворачивается плоскость колебаний маятника (маятник Фу­ ко), отклоняются к востоку тела, падающие с большой высоты, от­ клоняются вправо тела, брошенные на большое расстояние в Север­ ном полушарии. Аналогичные явления происходят с водами теку­ щих рек. Давно замечено, что в Северном полушарии, как правило, сильнее подмывается правый, а в Южном — левый берег (закон Бэ­ ра). Объясним это явление.

Рассмотрим на широте (р движение частички воды Мреки, те­ кущей с юга на север (рис. 3.2). Выбрав вращение Земли с угловой скоростью в качестве переносного, запишем основной закон от­ носительного движения точки М:

инерцииF ™, направленная от центра Оь лежат в меридиональной

плоскости. Перпендикулярна этой плоскости сила Кориолиса, Fkm = —так. Для определения направления ускорения Кориолиса

ак согласно правилу Н. Жуковского вектор относительной скорости

ог спроектируем на плоскость, перпендикулярную оси вращения,

иповернем эту проекцию на 90° в сторону вращения. Таким обра­ зом, ускорение ак направлено на запад (по оси JC), а сила инерции Fk " — на восток.

Из (3.6) в проекции на ось х получим

На фоне основного течения частицы воды движутся против оси х (на восток) и подмывают правый берег реки. Этот эффект за­ метнее проявляется на протяженных участках равнинных рек.

3.2. Относительный покой

Рассмотрим случай, когда материальная точка покоится по отно­ шению к подвижной системе отсчета — ее относительная скорость ог в любой момент времени t равна 0. В этом случае относительное ускорение аг и ускорение Кориолиса ак обращаются в нуль. Тогда из основного закона относительного движения (3.4) получим

По сравнению с условием равновесия материальной точки в не­ подвижной системе отсчета (F = 0) в уравнении (3.7) к действую­ щей на точку силе добавляется переносная сила инерции матери­ альной точки.

3.2.1. Пример. Центробежный регулятор

Данный пример к биомеханике непосредственного отношения не имеет. Однако рассмотренный вид движения встречается в спор­ те (метание молота), и с помощью уравнения относительного рав­ новесия (3.8), рассмотренного ниже, можно определить, например, силу, действующую на руки спортсмена (сила S в данном примере).

Невесомый стержень ВС = £, несущий на конце точечный груз, соединен с помощью цилиндрического шарнира В с валом АВ, вра­ щающимся вокруг вертикальной оси Az с постоянной угловой ско­ ростью со (рис. 3.3).

Ось шарнира В перпендикулярна валу АВ. Определить, каким будет угол отклонения а стержня ВС от вертикали при заданном значении угловой скорости ©.

Решение. Примем за переносное движение вращение вала АВ

с угловой скоростью со. В установившемся режиме движения при со = const угол а будет постоянным и материальная точка С будет находиться в состоянии покоя по отношению к подвижной системе отсчета, связанной с валом АВ. На точку С действует сила тяжести Р9реакция стержняS. Ее переносная сила инерцииF™ = —тае. Пе­

реносное ускорение ае = ©2/?sina и направлено к центру окруж­

ности, по которой движется точка С (см. рис. 3.3). В соответствии с (3.7) силыР, 5 и Fem составляют уравновешенную систему сил:

(ю = ли/30 = Юле-1). Длина регулятора I должна быть больше, чем g / a 2 « 0,01м, чтобы угловая скорость © была больше ©„,,. Если взять I = 0,1 м, то искомый угол a = arccos(g/©2^ = 84°. При

больших скоростях вращения уменьшение угла а достигается сис­ темой дополнительных грузов и пружин.

3.3. Принцип относительности Галилея

Пусть подвижная система координат движется поступательно (©е = 0), прямолинейно и равномерно (ае = 0). В этом случае в со­ ответствии с (3.2) и (3.3) переносная и кориолисова силы инерции будут равны нулю и основной закон относительного движения (3.4) запишется в виде

По виду уравнение (3.10) совпадает с основным законом дина­ мики (1.2). В частности, при F = 0 иг = const. Рассматриваемая подвижная система координат является инерциальной системой от­ счета. Все механические явления в рассматриваемой подвижной системе будут протекать точно так же, как и в неподвижной. Отсю­ да следует принцип относительности Галилея.

Никакими механическими опытами, проводимыми и наблю­ даемыми в подвижной системе, нельзя обнаружить ее движение, ес­ ли система совершает поступательное, прямолинейное и равномер­ ное движение.

3.3.1. Пример. Приземление прыгуна с трамплина

Оценить, какова должна быть скорость приземления прыгуна с трамплина, чтобы нормальная реакция опоры превышала вес лыжника не более чем в п раз.

Для упрощения постановки задачи рассмотрим приземление на горизонтальную поверхность, что существенно на оценке ско­ рости не скажется. Обозначим через iJi горизонтальную состав­ ляющую, а и 2 — вертикальную составляющую скорости призем­ ления. Рассмотрим движение лыжника в подвижной системе коор­ динат СоХгу г, связанной с лыжами (рис. 3.4). Полагаем, что за время приземления эта система движется поступательно, прямо­ линейно и равномерно. Вновь рассматриваем одномассовую

U2 < ^jg£(n-2).

Из опыта известно, что реакция опоры при приземлении прыгу­ на с трамплина превышает вес приблизительно в 5 раз (п = 5). При­ няв путь торможения t = 0,4 м (длина бедра), получим

и2 < 3,4 м/с.

Врасчетах, проведенных в примере 2.3.2, нормальная состав­ ляющая скорости приземления лыжника получается порядка 3 м/с, что удовлетворяет требованиям безопасности приземления.

3.4.Контрольные вопросы

1.В чем заключается различие между дифференциальными уравнениями относительного и абсолютного движений мате­ риальной точки?

2.Каково условие относительного покоя материальной точки?

3.В каких точках земной поверхности сила тяжести имеет наи­ большее и наименьшее значения?

4.Чем объясняется отклонение падающих тел к востоку?

5.В каком направлении отклоняется тело, брошенное верти­ кально вверх?

Глава 4. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ

МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Механической системой, или системой материальных точек, называется любая совокупность взаимодействующих между собой материальных точек.

Классическим примером механической системы является Сол­ нечная система, состоящая из центрального тела — Солнца и тяго­ теющих к нему планет, комет и других небесных тел, при описании движения которых их можно считать материальными точками. Все тела Солнечной системы являются свободными телами, так как они могут занимать любое положение в пространстве, а орбиты небес­ ных тел определяются силами их взаимодействия.

Другим примером механической системы служит сплошное твердое тело (деформируемое или абсолютно твердое), которое представляют как континуум материальных точек. Твердое тело — система несвободных материальных точек, на которые наложены связи, определяющие их положение в теле.

И, наконец, любая конструкция, механизм или машина пред­ ставляют собой механическую систему, состоящую из связанных между собой твердых тел. Следует обратить внимание, что механи­ ческой системой является любая совокупность материальных то­ чек. Выбор этой совокупности определяется задачей, стоящей пе­ ред исследователем.

4.1. Классификация сил

Все силы можно разделить на заданные, или активные, силы и реакции связей, что было предметом изучения в статике. Незави­ симо от этой классификации все силы, действующие на данную ме­ ханическую систему, делятся на внешние и внутренние.