книги / Теоретическая механика и её приложения к решению задач биомеханики

риальным телом, и способ отсчета времени. Во всех приведенных ниже примерах движение рассматривается по отношению к прямо­ угольной декартовой системе координат.

Сила — количественная мера взаимодействия материальных тел. Система сил — совокупность всех сил, приложенных к данно­ му материальному телу или к системе материальных тел.

В основе курса классической механики лежат законы динамики точки И. Ньютона (1687), которые ниже даются в современном из­ ложении. Считается методически целесообразным выделить в каче­ стве самостоятельного закона, называемого законом независимости действия сил, правило параллелограмма сил, обсуждаемое в «Нача­ лах» И. Ньютона.

1.3.Основные законы динамики точки

1.3.1.Закон инерции

Материальная точка сохраняет состояние покоя или прямоли­ нейного равномерного движения до тех пор, пока действие других тел не изменит это состояние.

где F — сила, действующая на материальную точку, о — скорость точки.

Движение при отсутствии воздействия других тел называют движением по инерции. Свойство материальных тел двигаться по инерции было открыто в XVII веке итальянским ученым Г. Галиле­ ем, что положило начало современной динамике.

Система отсчета, в которой выполняется закон инерции, называ­ ется инерциальной системой отсчета. Для большинства технических приложений инерциальной можно считать систему отсчета, связан­ ную с Землей и называемую лабораторной системой отсчета. Движе­ ние в неинерциальных системах отсчета рассматривается в главе 3.

1.3.2. Основной закон динамики

Произведение массы материальной точки на ее ускорение рав­ но силе, действующей на материальную точку,

И

где а — ускорение точки в инерциальной системе отсчета. Такую форму основному закону придал Л. Эйлер (1736).

Если левую и правую части уравнения (1.2) спроектировать на направление силы, то получается уравнение для абсолютных значе­ ний H F:

что позволяет сделать вывод о том, что масса является мерой инерт­ ности материальной точки. Точка с большей массой получает мень­ шее ускорение при действии одной и той же силы.

Второй закон называют основным, так как он выражает связь между движением материальной точки и силой, к ней приложен­ ной, и позволяет решать основные задачи динамики точки.

В соответствии с (1.3) единицей измерения силы в системе еди­ ниц СИ является 1 кг м/с2, т. е. сила, которая сообщает точке массой 1 кг ускорение 1 м/с2. Эта единица силы называется ньютоном и обозначается 1 Н.

На практике еще используется единица силы 1 кГ, равная весу тела массой 1 кг, лежащего на горизонтальной поверхности. По­ скольку у поверхности Земли ускорение свободного падения g = 9,8 м/с2, а по (1.3) вес тела Р = mg, то 1 кГ = 9,8 Н.

1.3.3. Закон равенства действия и противодействия

Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными по одной прямой в противо­ положные стороны, F] = —F2 (рис. 1.1).

Следует заметить, что дейст-

-вие равно противодействию неза­ висимо от того, движутся тела или

находятся в состоянии покоя. На­ ряду со вторым законом третий за­ кон составляет основу для вывода

общих теорем динамики системы. Справедливость его неоднократ­ но оспаривалась сторонниками так называемого безопорного дви­ жения, но их претензии оказывались несостоятельными.

1.3.4. Закон независимости действия сил

При действии на материальную точку нескольких сил ее уско­ рение равно геометрической сумме тех ускорений, которые точка получила бы при действии каждой силы в отдельности.

где п — число действующих на точку сил.

Этот закон в совокупности со вторым законом дает правило па­ раллелограмма сложения сил. Пусть на материальную точку массой т действуют силы/^, Р2,... F„. Каждая сила в отдельности вызыва­

где в правой части стоит геометрическая сумма всех сил, действую­ щих на материальную точку. Уравнение (1.6) запишем в виде

та = R,

(1.7)

*=1

Сила Л, приложенная к материальной точке, эквивалентна ИС' ходной системе сил и является ее равнодействующей.

1.4.Контрольные вопросы

1.Сформулируйте основные законы механики.

2.Какова мера инертности твердых тел при поступательном движении?

3.Зависит ли вес тела от местонахождения тела на Земле?

Глава 2. ОСНОВНОЙ ЗАКОН

ДИНАМИКИ ТОЧКИ

2.1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Рассмотрим движение материальной точки М по отношению к прямоугольной декартовой системе координат Oxyz (рис. 2.1), яв­ ляющейся инерциальной системой отсчета. В дальнейшем будем называть ее неподвижной системой отсчета.

Точка М движется по траек­ тории L с ускорением а под дей­ ствием силы/7. Положение точки в любой момент времени опреде­ ляется координатами x(t), y(t), z(t), вторые производные по вре­ мени от которых дают проекции ускорения точки на оси

ах = х, ау = у, Qz — z. (2.1)

Проектируя левую и правую части основного закона динами­ ки (1.2) на оси координат и учи­

тывая (2.1), получим дифференциальные уравнения движения ма­ териальной точки в прямоугольной декартовой системе коорди­ нат:

Эти уравнения в дифференциальной форме устанавливают связь между координатами движущейся точки и проекциями на оси силы, к ней приложенной.

2.2. Две задачи динамики

Дифференциальные уравнения (2.2) позволяют сформулиро­ вать две основные задачи динамики.

2.2.1. Первая задача динамики

По заданному движению материальной точки надо определить действующую на нее силу или же, зная уравнения движения точки массы т:

x = f\(t), y = z = f 3(t), (2.3)

определить проекции силы Fxy Fyi Fz.

Для решения 1-й задачи динамики надо дважды продифферен­ цировать по времени координаты (2.3) и подставить в уравнения (2.2), из которых найдем FXi Fy, Fz. Модуль вектора силы и его на­

2.2.1.1.Пример. Определение реакции опоры при ходьбе человека

Определить реакции опоры при ходьбе человека массой т по горизонтальной плоскости, если движение человека известно. Та­ кая задача называется обратной задачей теории ходьбы. Обычно сегменты тела человека (голова, туловище, бедро, голень, стопа, плечо, предплечье, кисть) рассматриваются как абсолютно твердые тела, соединенные идеальными шарнирами (суставами). Для реше­ ния 1-й задачи динамики надо знать движение каждого сегмента и его, как говорят, масс-инерционные характеристики.

Рассмотрим простейшую одномассовую бесстопную модель человека с невесомыми ногами [13]. Считаем, что масса человека сосредоточена в тазобедренном суставе С (рис. 2.2). В рассматри­ ваемый промежуток времени голень опорной ноги АВ — I j совер­ шает вращение вокруг точки А по закону а = а (f), а бедро ВС = £2

движется плоскопараллельно, причем угол наклона бедра к гори­ зонтали также известен: (J = Р(t). Полагаем, что сегменты тела чело-

PNRPUДважды продифференцируем координаты ус и zc по времени и подставим в уравнения (2.7), из которых найдем реакции опор

Ry =-/w^1(ct2 cosa 4-asina) + ^2(02 cosP + |3sinp)J,

(2.9)

Rz = m^g —£i( a 2sina —acosa^ —£2{p2sinP—pcosp^j.

Наличие угловых скоростей a, 0 и угловых ускорений a, 0 в (2.9) связано с дифференцированием по времени тригонометрических функций, аргументами которых являются функции времени a(f), P(f).

На опыте угловые характеристики ходьбы могут быть получе­ ны с помощью специального прибора — гониометра, крепящегося к туловищу, бедру и голени человека, а также путем обработки цик­ лограмм или кинограмм ходьбы. В последнем случае к сегментам тела человека крепится шарнирный многоугольник, называемый экзоскелетоном, который повторяет движение частей тела человека [24-26].

Взаключение приведем данные из работы [25] о зависимости Ry

иRzот времени, полученные экспериментально с помощью силовой платформы (рис. 2.3). Силы, действующие на одну ногу «среднего» человека, представлены в долях его веса Р. Вертикальная состав­ ляющая Rz(кривая 1) колеблется около значения, равного весу чело­ века, а зависимость горизонтальной составляющей Ry (кривая 2) близка к синусоидальной. Ее амплитудное значение равно - 1/4 ве­

са человека, а период равен времени контакта ноги с опорой Т] « 0,6т (60 % периода ходьбы).

2.2.2. Вторая задача динамики

Она является обратной по отношению к первой задаче дина­ мики: по заданной силе определить движение материальной точки или же, зная проекции силы Fx, Fyi Fz, определить координаты JC(/),

.КО. z(0-

Сила, действующая на материальную точку, может зависеть от времени (например, движение заряженной частицы в нестационар­ ном электрическом поле), координат (центральные силы) и скоро­ сти (движение тела в сплошной среде). В общем случае эти факторы могут действовать одновременно и дифференциальные уравнения (2.2) примут вид

тх = Fx(t, х, у9z, х9у, z),

m z= F 2(t>*, y9z,x,y,z),

где правые части являются известными функциями. Чтобы найти x(t), y(t) и z(t), необходимо решить систему дифференциальных уравнений (2.10) или проинтегрировать ее. Постоянные интегри­ рования находятся по начальным условиям движения точки (на­ чальным координатам и проекциям начальной скорости на оси ко­ ординат)

В простейших случаях (сила постоянна, зависит от одного аргу­ мента и др.) можно найти точное решение системы (2.10), исполь­ зуя известные методы решения дифференциальных уравнений. Од­ нако в реальных задачах сила зависит от нескольких факторов и ре­ шение системы (2.10) можно найти только методами численного интегрирования, которым и уделим основное внимание в этой рабо­ те. Но сначала рассмотрим пример аналитического решения 2-й за­ дачи динамики.

2.2.2.1. Пример. Падение тела в сопротивляющейся среде

Определить скорость и уравнение движения тела при его сво­ бодном падении без начальной скорости в однородном поле тяже­ сти, если сила сопротивления движению пропорциональна квадра­ ту скорости и равна mgk 2о 2, где к — постоянный коэффициент. Ре­ зультаты решения применить к спуску на парашюте и затяжному прыжку спортсмена.

Решение. Рассмотрим движение тела как движение материаль­ ной точки М массой т , на которую действуют сила тяжести Р и сила сопротивления среды R. Очевидно, что точка будет двигаться по вертикали по направлению действия силы тяжести, так как ее на­ чальная скорость равна 0. Ось х направим по движению точки.

По II закону Ньютона

та = Р +R.

о

R

М

Р

"х

Рис. 2.4

Проектируя обе части уравнения на ось х (рис. 2.4) и подстав­ ляя в него значения сил Р -m g и

получим дифференциальное уравнение

* = « ( 1 -*■*■ ).

Это уравнение можно решить методом разделения перемен­ ных. Сначала понизим порядок уравнения, введя в него скорость о = JC

Разделив переменные и взяв неопределенный интеграл, полу­ чим:

/Л>

1 —к 2о 2

= gt + ct.

2к | 1 - * и |

Подстановка сюда начального условия

<=0: о = 0