книги / Теоретическая механика и её приложения к решению задач биомеханики

Умножим и разделим правую часть этого равенства на вес чело­ века Р =Mg. Учитывая, что Л = 0,1 II, т, =0,5т, т}/М= 0,19 (см. табл. 7.1), получим

При I = 0,75 м, т = 1 с, g = 9,8 м/с2 получим, что

Это по амплитудному значению силы трения и частоте ее изме­ нения согласуется с результатами работы [25], где реакции опоры при ходьбе находились экспериментально с помощью силовой платформы и осреднялись по большому числу испытуемых (см. рис. 2.3, кривая 2). Зависимость силы трения от времени в [25] близ­ ка к синусоидальной. В эксперименте амплитудное значение силы трения

Оценим, при каком коэффициенте трения при данных условиях ходьбы (I = 0,75 м, т = 1 с) человек будет идти без проскальзыва­ ния. При этом сила трения должна быть ограничена предельной си­ лой трения JN, где N — максимальная нормальная реакция:

FTP<JN. (7.25)

По данным [25], при обычной ходьбе N = 1,ЗР. Тогда, взяв наи­ более опасное максимальное значение силы трения FTP = FmdX = 0,25Р, из (7.25) получим оценку

/> 0 ,1 9 .

При ходьбе по асфальту в обуви с резиновой подошвой (f по­ рядка 0,5) это условие выполняется. Для поверхностей с малым тре­ нием можно определить из (7.22) и (7.25) период ходьбы, при кото­ ром человек идет без проскальзывания:

V gf

Это получено с учетом того, что N = Р (медленная ходьба). Так, при L = 0,5 м, / = 0,05 (скользкий лед) период ходьбы т > 1,8 с, что даже при малой длине шага почти в 2 раза превышает период обыч­ ной ходьбы.

7.4.Контрольные вопросы

1.Сформулируйте теорему о движении центра масс системы.

2.При каких условиях координата центра масс сохраняется?

3.Заданы координаты x^t) для всех точек системы. Чему равна проекция главного вектора внешних сил на ось х!

m0 (mu ) = rmu sin a.

Как видно из рис. 8.1, угол a = 180°- р . Тогда получим, что rsina = rsinP = AH

где h — плечо вектора mu. Направление вектора m0(mu) найдется по правилу векторного произведения. Он направлен перпендику­ лярно плоскости, в которой лежат векторы г и т о , в ту сторону, от­ куда кратчайший поворот от вектора г к вектору т о виден происхо­ дящим против часовой стрелки (см. рис. 8.1).

Момент количества движения материальной точки относитель­ но оси равен алгебраическому моменту проекции вектора количест­ ва движения на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью (см. рис. 8.1):

(8.3)

Z

а

Рис. 8.1

Знак момента положителен, если с положительного конца оси вращение видно происходящим против часовой стрелки.

На рис. 8.1 показано разложение вектора ши на два составляю­ щих вектора ших и шоц . Параллельная составляющая шй| момен­ та относительно оси Oz не создает, и этим объясняется справедли­ вость формулы (8.3).

Введем плечо ht вектора ших и из (8.3) получим

8.1.1. Связь между моментами относительно центра и оси

Из формул (8.2) и (8.4) следует, что (при положительном

поскольку площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Треугольник ОаЬ есть проекция треугольника ОАВ на перпендикулярную оси плоскость, поэтому

2 пл. АОаЬ = 2 пл. АОАВ cos у,

где у — угол между плоскостями, в которых лежат эти треугольни­ ки. Подставляя сюда (8.5), получим соотношение

mz(mu) = m0 (ши) cos у,

т2( т о ) = Прг[шо(ши)].

ТЕОРЕМА. Момент количества движения материальной точки относительно оси равен проекции на эту ось момента количества движения материальной точки относительно любого центра, лежа­ щего на этой оси.

8.1.2. Аналитические выражения моментов вектора количества движения относительно коордипатных осей

Момент количества движения материальной точки относитель­ но центра (8.1) представим в виде определителя:

где первая строка — орты координатных осей, вторая — координа­ ты движущейся точки А, третья — проекции вектора т\5 на оси ко­ ординат.

Разлагая определитель (8.7) по элементам первой строки и вы­ числяя определители 2-го порядка, получим

где коэффициенты при ортах /, у, к суть проекции на оси х, у , z век­

тора m0(mu), которые по теореме (8.6) равны моментам относи­

тельно координатных осей:

mr,( т и ) — ym\jz — zmu у,

i z(m u) = xmv> у —ym vx.

Выражения (8.9) называют аналитическими выражениями мо­ ментов вектора т о относительно координатных осей.

8.2. Кинетический момент системы относительно центра и оси

Рассмотрим механическую систему, состоящую из п матери­ альных точек. Обозначим через m0(m*о*) момент количества дви­

жения к-й точки системы относительно центра О. Введем суммар­ ную характеристику движения системы.

Кинетический момент системы относительно центра равен гео­ метрической сумме моментов количеств движения всех материаль­ ных точек системы относительно этого центра:

К 0 = '^2 тй{тkv k). к=I

Спроектируем К 0 на ось z:

Я

K o z= Y l Пр2 [w0 (mk\5k)]. ы\

По теореме (8.6)

к = \

где К2назовем кинетическим моментом системы относительно оси z. Аналогично определяются кинетические моменты относительно

осей х и у:

я

Кх = '^ /mx(mkv k),

k = \

k= 1

я

К х = ^ m z(m*o*).

k = \

Кинетический момент системы относительно оси равен алгеб­ раической сумме моментов количеств движения всех материаль­ ных точек системы относительно этой оси.

Поскольку Oxyz — прямоугольная система координат, то мо­ дуль вектора К 0 и его направляющие косинусы определяются по

8.2.1. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Пусть абсолютно твердое тело вращается с угловой скоростью со вокруг неподвижной оси z, проходящей через подпятник А и под­ шипник В (рис. 8.2). Осевой момент инерции тела Jzзадан. Найдем его кинетический момент относительно оси вращения.

Разобьем тело на большое число п частей и каждую часть будем счи­ тать материальной точкой массы тк. Выделенная на рис. 8.2 точка Мк движется по окружности радиусом hk, и вектор ее количества движения лежит в плоскости, перпендикуляр­ ной оси z, и перпендикулярен радиу­ су hk. Тогда в соответствии с (8.12) и (8.4) получим

К 2 = '£2mz(mk\5k) = Y ^m k\)khk.

*=1 *=1

Подставим сюда выражение ли­ нейной скорости точки вращающе­ гося тела

и* =(0hk

и вынесем угловую скорость ш за знак суммы:

Л = Yl,rnkhk .

*=1

Кинетический момент твердого тела относительно неподвиж­ ной оси вращения равен произведению осевого момента инерции тела на его угловую скорость.

8.3. Кинетический момент системы при ее составном движении

Свяжем с центром масс системы подвижную систему коорди­ нат Cx'y'z\ движущуюся поступательно относительно неподвиж­ ной системы координат Oxyz (рис. 8.3). Систему Cx’y ’z' называют системой Кёнига. При таком выборе подвижной системы наиболее просто устанавливается связь между кинетическими моментами в абсолютном и относительном движениях.

Найдем кинетический момент системы относительно центра О

вабсолютном движении системы

всоответствии с формулами (8.10) и (8.1):

,п

К 0 = ' Y j k х /и*и*, (8.16)

k= 1

где, как видно из рис. 8.3, ради­ ус-вектор

Рис. 8.3

а абсолютная скорость точки \5к складывается из переносной ско­

рости, равной скорости центра масс, и относительной скорости по отношению к системе Кёнига:

Подставим (8.17) и (8.18) в (8.16) и после некоторых преобразо­ ваний получим

k=i

K ' = ^ 2 r k xm k\5'k,

*=i

гдеЛГс — кинетический момент относительно центра масс в отно­ сительном движении системы.

Поскольку М йс = Q , о ' = 0, FJ= 0 (относительные скорость и радиус-вектор центра масс равны нулю), то окончательно получим

ТЕОРЕМА. Кинетический момент системы относительно не­ подвижного центра равен геометрической сумме момента относи­

тельно этого центра вектора количества движения системы, прило­ женного в центре масс, и кинетического момента относительно цен­ тра масс в относительном движении.

Если К 0 спроектировать на какую-либо ось, например ось z, то из (8.19) получим выражение для кинетического момента системы относительно неподвижной оси z:

где wz( g ) — момент относительно оси z вектора количества дви­

жения системы, приложенного в центре масс, К'Сг' — кинетический момент в системе координат Сх'у'т! от­

носительно оси Cz'.

Применим формулу (8.20) для твердого тела, совершающего плоскопараллельное движение. На рис. 8.4 изображено сечение те­ ла, движущееся в плоскости Оху. С центром масс, который лежит в этом сечении, свяжем систему Кёнига Cx'y’z1, которая движется поступательно со скоростью центра масс о с . По отношению к этой системе тело вращается с угловой скоростью со. Количество движе­ ния механической системы

где хС9ус— координаты центра масс тела.

Кинетический момент тела во вращательном движении относи­ тельно оси Cz' определяется фор­

где Jcz1 — момент инерции тела относительно оси Cz'. Подставим (8.22), (8.23) в (8.20) и получим формулу для кинетического мо­ мента тела, совершающего плос­ копараллельное движение,