книги / Автоматизация научных исследований

Определим вероятность Р(-е < X < е). Имеем (рис 5.2)

является несмещенной оценкой дисперсии ошибок наблюдений сг Оценка а 2 для дисперсии ст2 вычисляется аналогично формуле (5.40) с помощью выражения

Величина

(5.62)

подчиняется распределению Стьюдента с ср степенями свободы (рис. 5.3).

На рис. 5.3 обозначено: - плотность распределения вероятно­

стей случайной величины t'v; 7^ - возможные значения случайной величины 7^.

V<*/2

Из таблицы распределения Стьюдента (см. [13, с. 270]) для заданного а находим величину Т^а/2. Например, для ср = 30;а = 0,05;а/2 = 0,025 имеем

Вероятность того, что случайная величина t‘ попадает в интервал

которая имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы Ф. Выдвигается гипотеза Н0: а, = 0, т.е. коэффициент а, считается незначимым. При этом альтернативная гипотеза формулируется сле­ дующим образом: Я,: а,* 0, т.е. коэффициент а, считается значи­ мым и значительно отличается от нуля.

При проверке гипотезы Я0: а, = 0 используется величина

имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы ф (рис. 5.4).

личины 7 ; а - уровень значимости, который выражает вероятность того, что гипотеза Я0 отвергается, когда в действительности она вер­ на; S0 - область принятия гипотезы Я0; 5, - область отклонения ги­ потезы Я0; 7ц.ф - критическое значение распределения Стьюдента при известных ф и а .

Критическая область 5, для случайной величины 7 задается не­ равенствами

и существенно отличается от нуля. Напротив, если |^| < ^р'а/2, то нуле­ вая гипотеза Я0: Ц = 0 принимается, т.е. коэффициент я, является незначимым и, следовательно, нельзя утверждать, что коэффициент я, существенно отличается от нуля.

Заметим, что в общем случае оценка я, и ее дисперсия зависят от оценок всех других коэффициентов ap j * i

Если тот или иной член исключается из уравнения математиче­ ской модели (например, из-за незначительности соответствующего коэффициента), необходимо пересчитать оценки всех остальных ко­ эффициентов и их дисперсии. При этом могут измениться как довери­ тельные интервалы для коэффициентов, так и выводы относительно значимости коэффициентов.

Пример 5.2. Продолжим рассмотрение примера 5.1. Рассчитаем прежде всего Y Имеем

65,4

55.1

44,8

55.1

Найдем остаточную сумму квадратов S,{ по формуле (5.58). Получим

Slt = 4(0,1) 2 = 0,04.

Мы имеем N = 4 эксперимента и £ + 1 = 3 оцениваемых параметра а0,а] ,а2. Тогда число степеней свободы ср = 1. В силу (5.60) получаем

ст = Д 0 4 = 0 ,2 .

В данном случае си = и а, = д/с~а = 0,1.

Для а = 0,1;а/2 = 0,05;ср = 1 из таблицы распределения Стьюдента на­ ходим 7’.а/2 = ('0>05 = 6,3 и \а, - а , |<0,63.

Таким образом, с доверительной вероятностью Р = (1 - а) = 0,9 получаем [см. (5.65)]:

55,1 - 0,63 < а0 <55,1 + 0,63;

5,15 - 0,63 <а, < 5,15 + 0,63;

5,15- 0,63 <а2<5,15 + 0,63.

5.2.4. Ошибки при выборе вида математической модели исследуемого объекта

Результаты, относящиеся к методу наименьших квадратов и из­ ложенные в разделах 5.2.2 и 5.2.3, были получены в предположении, что модель вида (5.11) является адекватной (т.е. модель соответствует действительности). Метод, позволяющий проверить, можно ли неко­ торую модель рассматривать как адекватную, будет рассмотрен ниже в разд. 5.2.5. Здесь же мы проанализируем лишь последствия, возни­ кающие при неправильном выборе вида модели.

Рассмотрим случай, когда модель имеет следующий вид:

Здесь а, и 6, - истинные значения параметров модели, а /(х )

и &,(*) - известные функции независимых переменных хрх2,...,х(1.

Выражение (5.76) можно записать в форме

где а и /(х ) определены выше [см. (5.8) и (5.10)], а b и #(х) зада­

ются следующим образом:

Отсюда следует, что величина М[а] не зависит от 6(, если СИ' = 0.

Поскольку С - невырожденная матрица, то можно сформулиро­ вать нижеследующее утверждение.

Утверждение 5.3. Оценка ai является несмещенной в случае не­ правильного выбора модели, если i -й вектор-столбец матрицы Н - F lG равен нулю.

Пример 5.3. Продолжим рассмотрение примеров 5.1 и 5.2, приняв, что линейное описание

у = а0+ а,*, + а2х2

недостаточно и истинная модель исследуемого объекта представляет­ ся полиномом второй степени,

у= а0 + + а2х2+ 6|Х,х, + b2x2x2 + b2xtx2.

Вэтом случае для (5.79) получаем

В силу (5.84) имеем

Следовательно, согласно (5.82)

М[а0] = а0+ Ц + Ь2; М[а,] = а ,; М[а2] = а2.

Несмотря на то, что линейная модель неадекватна (не соответст­ вует действительности), оценки а, и а2 получаются несмещенными.

5.2.5. Проверка адекватности математической модели исследуемого объекта

После того как в разд. 5.2.4 были проанализированы последствия неправильного выбора вида модели, обсудим теперь метод, который дал бы нам возможность принимать решения о том, адекватной или неадекватной является принятая модель исследуемого объекта.

Проверка адекватности модели означает проверку того, согласу­ ется ли модель (5.9) вида

y(a,x) = a0f 0(x) + a j x(х) +... + akf k(х)

с данными эксперимента.

Для проверки гипотезы об адекватности модели необходимо со­ поставить достигнутую точность модели с величиной, характеризую­ щей точность наблюдений. Если ошибки, характеризующие точность модели, превосходят ошибки наблюдений, то гипотеза об адекватно­ сти модели отклоняется. В этом случае уже нельзя оценивать ошибку наблюдений путем нахождения разности между результатом наблю­ дения выходной переменной исследуемого объекта и результатом ее расчета по модели, так как в случае неправильного выбора вида моде­ ли определяемая по модели величина у, уже не может служить доста­ точно хорошей оценкой среднего значения наблюдений, поскольку

М[у‘ ] ф у' Поэтому дисперсия ошибок наблюдений может быть оце­ нена лишь путем сравнения результатов нескольких параллельных опытов, проведенных в каждой экспериментальной точке.

Опишем методику проверки адекватности модели, полагая, что в каждой из N точек х',/ = 1,2,...,N реализуется v экспериментов.

Результаты этих экспериментов для каждой точки х' представляются рядом