книги / Автоматизация научных исследований
..pdfпри любых f k =к/Т (к = 0,1,2,...,N / 2). Эта величина характеризует потери, вызванные использованием спекгрального окна Ханна (2.23) для оценки спектральной плотности. Поэтому при оценивании спек тральной плотности по формулам (2.13), (2.18) выражение (2.12) нуж
но умножить на масштабный множитель В частности, при вы
числении спектральной плотности по формулам (2.13), (2.18) и ис пользовании сглаживающего окна Ханна следует принимать
~ |
1я N~] ( ! |
|
2 7Ш |
exp |
- jln k n |
(2.32) |
|||
|
V-> н=0 |
1-COS |
---- |
|
N |
||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
||
где f k =k/(NAt) |
(к = 0,1,...,N/2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Сглаженная оценка Gx{fk) односторонней спектральной плотно |
|||||||||
сти запишется в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
9 |
"</ |
~ |
•, |
|
|
|
Д/ |
(2.33) |
<?,</*) =—J - Z |
|
|
к = 0,1,...,-. |
||||||
|
ndNAt |
,=) |
|
|
|
|
|
2 |
|
Определим |x /(/t )| Из соотношения (2. 32) получим |
|
||||||||
|
X,(fk) = Pi(fk) + jQ,(fkl |
(2.34) |
|||||||
где [3] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 ЛМ |
|
|
|
|
|
|
^2пкп^ |
|
^ ( / ,) = A ' ) / l ? . x" l 1" cos^ |
J |
|
cosV N У |
|
|||||
|
8 (V-1 |
|
|
2 |
---- |
^ |
. ( 2пкп\ |
(2.35) |
|
Q,(fi ) = - A L - ' £ X,I |
1 - COS |
sinl------ |
|||||||
|
VJ н=0 |
|
|
|
N |
|
V N |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
i = \,nd;k = 0X..., |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из соотношения (2.34) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X ,(Л)Г |
- Л2(Л ) + й ’(Л); / |
|
|
|
= |
у. |
(2.36) |
||
Таким образом, оценка Gx{fk) определяется с использованием соотношений (2.33), (2.36), (2.35).
Рис. 2.7
На рис. 2.7 показана зависимость от частоты f k односторонней
оценки Gx{fk) спектральной плотности и односторонней сглаженной
оценки Gx{fk) спектральной плотности.
2.5. Оценка взаимных корреляционных функций двух эргодических случайных процессов
На рис. 2.8 приведена схема измерения реализаций x(t),y(t) двух
эргодических случайных процессов X(t) и Y(t) на входе и выходе
исследуемого объекта.
Рис. 2.8
Оценки взаимных корреляционных функций (ВКФ) К'х (х),К^(х)
по реализациям x(t), y(t) определяются по формулам вида
КХт) =- L - ' }[х(0 - тхШ |
|
+ Т) - rn\]dt- |
(2.37) |
|
У - т |
О |
|
|
|
^ ( 'г ) = ^Г— ]b(0-w*][x(/ + x)-m]\dt, |
(2.38) |
|||
/ X о |
|
|
|
|
где |
г |
|
г |
|
1 |
J |
|
||
т1 =7 |
jx(0dt; ту = - |
\y(t)dt. |
(2.39) |
|
* |
О |
■'о |
|
|
Здесь К* {т) - оценка взаимной корреляционной функции KXV{T).
Оценка ВКФ двух случайных процессов характеризует общую за висимость значений одного процесса от значений другого процесса. На рис. 2.9 показан примерный график оценки АГ* (т) ВКФ, рассчи
танной по формуле (2.37).
На рис. 2.9 кое-где (при т, и т2) видны острые пики, наличие ко
торых свидетельствует о существовании корреляционной связи меж
ду x(t)uy(t) при некоторых значениях т, т.е. при т = т, и т = т2.
Если [x(r)-w*] и [y(t)-m'y] статистически независимы, то при всех значениях т функция К'ху{т)« 0.
На практике интегралы в формулах (2.37)-(2.39) заменяют сум
мами. Формулы для оценок ВКФ принимают вид |
|
|
|
1 п-т |
~ ту\, |
(2. 40) |
|
К ( г т) = K y(mAt) =------ Х [х(0 - тхШ М |
|||
п~т ы| |
|
|
|
1 |
п-т |
|
|
К М = К ( тА0 = ------ 1 Ы О - |
т'Л |
(2.41) |
|
п - т |
,=| |
|
|
где |
|
|
|
= - 5 > ( 0 ; Ч |
= - !> ('/)• |
|
|
п ,=| |
п ,=| |
|
|
Здесь
т —0,1,2,..., W ;
4 * |
& |
t, = (/ —1)А/ |
+ — ; |
At
t,„„ = 0 + m - l)Af +
Оценку K"xy{mAt) можно нормировать так, чтобы значения её на ходились между -1 и +1, для чего нужно разделить ее на величину V < (0)-V < (0)- Имеем
,К * (mAt)
P,y(m&t) = , |
, . |
, w = 0,1,2,...,w |
(2.43) |
где p*y(mAf) - оценка нормированной ВКФ. Для оценки р'ДтДг) справедливо неравенство вида
Функция р‘ху(тА() определяет степень линейной зависимости процес сов х(7) и y(t) при сдвиге процесса y(t) относительно процесса x(t)
на тш= mAt.
2.6. Определение оценки взаимной спектральной
плотности через оценки ВКФ
Найдем функции вида
•< = ,<> Л 0 = |
+ <,(гД/|]; |
(2.45) |
В', = s;r(M0 = i | X jr A I ) - £ > Д /)]; |
(2.46) |
|
где т—0,1,2,..., тп
Оценка односторонней взаимной спектральной плотности Gxy(f)
определяется соотношением
Gxy(f) = Cxy(f) + jQxy(f),
где |
|
|
|
|
Cxv(f) = 2At К + 2 ] [ X cosм |
+ А'. cosГ%т Л |
|||
т |
К fc )_ |
|||
Г=1 |
<fc |
; |
||
т-I |
|
+ В'. sin |
ТШf |
^ |
Qxv(f) = -2At 2 ^J?*sin |
J c J |
|||
/•=I |
|
f c |
J |
|
|
/с |
|
|
|
Здесь
0 < / < / с; / с.=
2Дt
Оценку Gxy{f) можно представить также в виде
4 , ( / ) = |4 , ( / ) h Ar</),
где
|4 ,( /) |= [ с ;Д /) + Й х /) ] ,/2-
(2-47)
(2.48)
(2.49)
(2.50)
(2.51)
|
©,;,(/) = arctg |
Q J f ) |
(2.52) |
|
A , |
A |
A |
|
|
IGxy( f )I - |
модуль оценки |
Gxy(f);@xy( f ) - фазовой угол |
||
оценки Gxy(f). |
|
|
|
|
На рис. 2.10, а показан примерный график функции |
GIy{ f )|. На |
|||
рис. 2.10, б приведен примерный график функции 0 ХД /). |
|
|||
Рис. 2.10 |
|
|
Формулы (2.48), (2.49) для дискретных частот |
|
|
/ к = Щ ,к = 0,1,2,..,т |
(2.53) |
|
т |
|
|
примут вид |
... Л |
|
т-1 |
|
|
|
nrk^ |
(2.54) |
Q =Cw(/*) = 2M 4 O+ 2 I 4 . COS(— ) + (-1)*Л*.]; |
||
r =I |
m |
|
= Q,y(fk) = ~4A( I ]K s in (~ ) . |
(2.55) |
|
r=) |
m |
|
Оценка взаимной спектральной плотности на дискретных часто тах / к, к - 0,1,2,..., т имеет вид
где
|ол.< л ) |= ( с л2 + а 2),/3- |
(2.57) |
/ * \ |
|
®.w(/*) = arctg% |
(2.58) |
vQ |
|
2.7. Определение сглаженной оценки
взаимной спектральной плотности
Сглаженная оценка взаимной спектральной плотности определя
ется соотношениями |
|
|
|
|
|
|
5„(/») = С, +УЙ- | е , , ( / 1) |
|
| |
* = 0,1,2,...,»/ |
(2.59) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
G,,(/,) = (Q2 + g ) l/2; |
|
(2.60) |
||||
©,ДЛ) = arctg |
vQ У |
|
(2.61) |
|||
|
|
|
|
|
||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
С0=0,5С0+0,5С,;| |
|
(2.62) |
||||
|
= 0,54+ 0,50;] |
|
||||
|
|
|
||||
Ск =0,25СА., + 0,5Q + 0,25Са+1; |
|
(2.63) |
||||
б* = 0,254_I + О,50а+0,254+1, А: = 1,2,...,да’ -1; |
||||||
|
||||||
С . = 0 , 5 С . |
+0,5С .; |
|
|
|||
Ш |
т-I |
|
т |
|
(2.64) |
|
Q . =0,5Q . +0,5Q .. |
|
|||||
|
|
|||||
т |
т-1 |
|
т |
|
|
|
Контрольные вопросы
1.По каким формулам определяются оценки математического ожидания и корреляционной функции эргодического случайного процесса?
2.Как определяется оценка спектральной плотности на дискрет ных частотах через оценку корреляционной функции?
3. По каким формулам вычисляются сглаженные оценк
Gk,k = 0,1,...,т спектральной плотности случайного процесса?
4.В чем различие между односторонней и двухсторонней спек тральной плотностью случайного процесса?
5.По каким формулам определяется другим способом оценка од-
|
Л |
ЛГ |
посторонней спектральной плотности Gx(jk), к = 0,1,...,—? |
||
6. По каким формулам определяется другим способом сглаженная |
||
оценка О Д /Д к = 0,1, |
N_ односторонней спектральной плотности? |
|
’2
7.По каким формулам определяется оценка взаимных корреляци онных функций двух эргодических случайных процессов?
8.Какой смысл имеет оценка взаимной корреляционной функции двух случайных процессов?
9.Как определяется оценка взаимной спектральной плотности на дискретных частотах?
10.По каким формулам вычисляется сглаженная оценка взаимной спектральной плотности?
11.Как выглядят графики модуля и фазового угла оценки взаим ной спектральной плотности?
3. ПРИМЕНЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА
3.1. Оценка частотной характеристики исследуемого объекта, представляющего собой линейную динамическую систему
Частотная характеристика # ( / ) исследуемого объекта есть ком
плексная функция вида (рис. 3.1) |
|
Я (Л = |Я(Л|ем л , |
(3.1) |
где |Я (/)| - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) исследуе мого объекта; ср(/) - фазочастотная характеристика (ФЧХ) иссле дуемого объекта.
т
-------------- ►
Исследуемый К О
объект, # ( / )
Рис. 3.1
Сигнал x(t) на входе исследуемого объекта представляет собой реализацию эргодического случайного процесса X(t). Сигнал у(1) на выходе исследуемого объекта представляет собой реализацию эрго дического случайного процесса Y(l).
Оценка АЧХ определяется соотношением
<5,(Л |
(3.2) |
|
с ,(Я |
||
|
||
На дискретных частотах л = ^ - , К = 0,1,2, |
т оценка АЧХ |
|
т |
|
|
может быть найдена в виде |
|
|
я А| = |я(Л )| = О у ( / к ) |
(3.3) |
|
<5,(Л) |
|
|
Оценка Я (/) частотной характеристики Я (/) |
определяется вы |
|
ражением |
|
|
Gxy(f) |
(3.4) |
|
Я (Л = |
СЛЛ
\H (f)\eJ^ |
>_ I Gxy(f) |
|^/б^,(/) |
|
о.ЛЛ |
|
Из (3.5) получим |
|
|
|Я (/) 1= 3 ^ |
, |
|
1 |
1 GAf) |
|
(3.5)
(3.6)
Ф( /) = © ,,(/)• |
(3-7) |
На рис. 3.2, а показан примерный график функции |
|#(/)|. На |
рис. 3.2, б приведен примерный график функции ф(/). |
|
Рис. 3.2
Определим оценки АЧХ и ФЧХ исследуемого объекта для дис-
кретных частот / к = kf к = 0,1,2,...,«?* Из (3.6), (3.7) с уче-
т
том соотношений (2.60), (2.61) получим
HL |
(3.8) |
1 GAfk) |
|
Ф* - ф(Л) - arctg% Л |
(3.9) |
Gк j
Таким образом, по формулам (3.3), (3.8) определяется АЧХ иссле дуемого объекта, а по формуле (3.9) вычисляется ФЧХ исследуемого объекта.