книги / Автоматизация научных исследований
..pdfусловий проведения эксперимента, требуемая точность решения может быть достигнута при минимальном числе экспериментов. Отсюда сле дует, что с помощью планирования эксперимента во многих случаях могут быть снижены затраты времени и средств и повышена эффек тивность эксперимента. Целенаправленный выбор условий проведения экспериментов предполагает возможность активного воздействия на исследуемый объект, т.е. возможность активного эксперимента.
Преимущества активного эксперимента, позволяющего применять целесообразно составленные планы, достаточно очевидны. Кроме всего прочего, при активном эксперименте можно оценить дисперсию ошибки оценивания параметров модели исследуемого объекта, строго проверить адекватность модели и принять необходимые меры для выполнения условий, необходимых для применения метода множест венного регрессионного анализа (глава 5), используемого для обра ботки результатов эксперимента. Концепция оптимального выбора условий проведения эксперимента имеет основополагающее значение в теории планирования эксперимента.
Развитие статистических методов планирования эксперимента связано с именем Р.А. Фишера. Развитие современных идей планиро вания эксперимента для оценивания параметров регрессионных урав нений связано с именем американского математика Кифера.
Рис. 6.1
Теория эксперимента дает исследователю точную логическую схему и способ решения задач на разных этапах исследования. Каж дое экспериментальное исследование состоит из ряда следующих друг за другом этапов (рис. 6 .1 ): формулирование цели, выдвижение гипотезы об исследуемом объекте, планирование экспериментов, про ведение экспериментов, обработка и анализ результатов эксперимен та, проверка правильности выдвинутой гипотезы, выдвижение новой
гипотезы, проверка условий окончания эксперимента, планирование нового эксперимента.
Из рис. 6.1 ясно, что исследование объекта состоит из повторяю щихся циклов, причем от цикла к циклу растет объем знаний об ис следуемом объекте, следовательно, можно предположить, что выдви гаемые гипотезы (например, гипотеза о виде математической модели исследуемого объекта) все более приближаются к действительности. Вместе с тем возрастает также эффективность планирования экспе римента и всего исследования.
Область применения методов планирования эксперимента весьма обширна. Эти методы оказываются очень эффективными при прове дении физико-химических исследований в лабораторных условиях, при проведении экспериментов на опытных, полупромышленных и промышленных установках.
Задачи и методы этой главы непосредственно связаны с описан ным в главе 5 методом наименьших квадратов.
В главе 5 мы исходим из того, что целевая величина у (выходная
величина, зависимая переменная или отклик исследуемого объекта) следующим образом зависит от вектора независимых переменных
у(а,х) = a1f(x). |
(6.1) |
Для нахождения оценок а вектора неизвестных |
параметров а |
в определенных точках х' поставлен эксперимент и получен его ре зультат у' Оценки а вектора коэффициентов рассчитываются с по
мощью метода наименьших квадратов на основе |
выборки |
x',i = 1,2 ...., (V путем решения системы нормальных уравнений |
|
(F'F)a = F'Y |
(6.2) |
Матрицы F и Y определяются через (3.21) и (3.16) соответственно. |
|
Из (6.2) следует |
|
a = (FrF y ]F TY =CF‘Y |
(6.3) |
Если |
|
у' =М[>>' ] + е ' = у' + е' = а т/ ( х ‘) +е', |
(6.4) |
то |
|
M[Y\ = Fa. |
(6.5) |
Здесь У - истинное значение зависимой переменой в точке х '; е ' -
случайная ошибка в точке х' Ошибка е' считается независимой слу чайной величиной с нулевым математическим ожиданием и диспер
сией ст2 [см. формулы (5.25), (5.27) и (5.29)]. При этих условиях оцен ки а вектора параметров являются случайными величинами с кова риационной матрицей (5.39):
COV(a) = (FrF y 'o |
2= Со2 |
(6 .6) |
Кроме того, оценки являются несмещенными: |
|
|
М[а] = а |
|
(6.7) |
и согласно (5.32) обладают минимальной дисперсией среди всех воз можных несмещенных линейных оценок для заданной выборки х', / = 1,2,...,7V В этом смысле метод наименьших квадратов является оптимальным методом обработки данных. Эта оптимальность имеет место при заданной выборке. Достигаемая точность оценок, как это следует, например, из (6 .6 ), будет зависеть от выбора эксперимен тальных точек или, другими словами, от условий проведения опытов. В этом и заключается основная идея планирования эксперимента: до биться требуемых свойств (например, максимальной точности), вы бирая условия проведения опытов.
Применение методов планирования эксперимента предполагает возможность проведения опытов в заданных исследователем услови ях. Такой способ проведения эксперимента называют активным.
Вобщем случае активный подход к эксперименту в сочетании
сметодами планирования позволяет получить требуемые результаты, затратив минимальные средства и время на проведение исследования.
6.2.Основные понятия планирования эксперимента
Множество всех точек проведения экспериментов
= (х,',х' ,...,х'),/ = 1,2,..., N (6 .8) представляется с помощью матрицы плана X :
|
7 |
|
|
х 1 |
* 2 |
|
|
Л 1 |
|
|
|
1 |
|
К |
|
Х = *Г |
* 2 2 |
(6.9) |
|
N |
N |
N |
|
X,
Х2
иназывается планом эксперимента. План эксперимента, заданный с помощью матрицы плана X , обозначается через X .
Точка |
|
х°= —У х 1 |
(6 .1 0 ) |
N t t |
|
называется центром плана или центральной точкой плана. Каждая ко ордината х,0,/ = 1 ,2 ,...,и вектора х° является средним значением г-х координат всех точек плана,
о |
х} + х2 + ... + Х |
(6.11) |
X,. |
L |
|
|
N |
|
План называется центральным, если его центр расположен в на |
||
чале координат х = 0 , т.е. |
|
|
|
х° = 0 . |
(6 .1 2 ) |
Очевидно, что оптимальное планирование связано с разработкой планов, представляемых в некоторой стандартной форме. При этом целесообразно рассматривать центральные планы. Всякий план путем
переноса начала координат может быть сделан центральным. |
|
Всякий план Z с точками z' путем замены |
|
x = z -z ° |
(6.13) |
при |
|
= — т у
N t t
может быть преобразован в центральный план X с точками х' Область возможных значений независимых переменных называ
ется областью планирования эксперимента. Будем обозначать эту об ласть Q t . Все точки х' плана X должны принадлежать области Q t .
Это требование можно записать следующим образом: |
|
х' е О. |
(6.14) |
или |
|
X € Qr. |
(6.15) |
Независимые переменные х,,/ = 1,2,...,и часто называют |
варьи |
руемыми переменными или факторами. Область планирования экспе римента Q t может быть задана, например, с помощью неравенств
- 1 < х , < 1,/= 1,2...,л |
(6.16) |
Вэтом случае говорят, что областью планирования эксперимента является гиперкуб.
Ввыражении (6.16) предельные (максимальное и минимальное)
значения варьируемых переменных обозначены через + 1 и - 1 соот ветственно. Эти границы отвечают стандартизованному или норми рованному масштабу изменения переменных х,,/ = 1,2,...,и. Переход
к стандартизованному масштабу может быть осуществлен, например, следующим образом:
X. - |
max ^/ min |
|
X, =• |
г |
—х |
|
(6.17) |
|
/ max |
*"7 min |
|
|
В формуле (6.17) х* - |
значение /-й переменной в натуральном |
|||
масштабе измерения; х*тах - максимальное значение х, |
x*min |
- ми |
||
нимальное значение х* |
|
|
|
|
Ряд необходимых нам |
в дальнейшем свойств плана |
X |
связан |
|
с видом модели (6 .1 ), для оценки коэффициентов которой план ис пользуется.
Матрица М = F1 F размера (к +1)х (к +1) называется информа
ционной матрицей плана X . Здесь |
|
/о(*') |
Л(*') |
|
(6.18) |
|
/*(*") |
Ясно, что информационная матрица плана X зависит от выбора
функций /о(*),...,/*(*).
План X называется ортогональным, если информационная мат
рица диагональная: |
|
|
|
I/o V ) |
О |
О |
|
М = FTF = |
Ъ ; V ) |
о |
(6.19) |
./=1 |
|
||
О |
О |
£ / * V ) |
|
У=1
Матрица М есть матрица системы нормальных уравнений (6.3), из решения которой находятся оценки коэффициентов модели иссле дуемого объекта, поэтому для ортогонального плана вычисления ока зываются чрезвычайно простыми.
План X называется ротатабельным, если дисперсия оценки у(х)
зависимой переменной в точке х зависит только от расстояния точки
х от центра плана х° В соответствии с формулами (5.42), (5.38) дис
персия о 2-(() оценки зависимой переменной выражается в виде |
|
о%х) = f r(x)(FrF y ' f ( x ) o \ |
(6.20) |
где (F1F f ' - дисперсионная матрица плана. Обозначим расстояние
точки х от центра плана х° через г : |
|
Г = у1(х - х°У(х - х°) = V(x, - х,0) 2 +... + (х„ - х У |
(6 .2 1 ) |
Тогда условие ротатабельности плана имеет вид |
|
f r(x)(FrF y 'f( x ) = const |
(6.22) |
при Г = TJ(X -Х°У (х - х°) = const..
Таким образом, ротатабельные планы обеспечивают одно и то же значение дисперсии оценки зависимой переменной во всех точках, равноудаленных от центра плана.
Зависимость
1 |
(6.23) |
|
N fr(x)Cf(x) |
||
|
называется информационным профилем ротатабельного плана. Ин формационный профиль плана показывает характер изменения диспер сии оценки зависимой переменной при удалении от центра плана.
Пример 6.1. Пусть модель исследуемого объекта имеет вид |
|
|
|
у(а,х) = а0+а,*! +а2х2. |
(6.24) |
Область планирования |
определяется неравенствами: |
|
|
-1<х, <1, |
|
|
- 1 <х2 < 1 . |
|
Рассмотрим план X :
- 1 -1
(6.25)
1 1
Нетрудно убедиться, что центр плана
х° = 0,
так как
Xt0 |
Xj + Xj2+ Xj* + Х|4 ——1+1—1+1 |
|
||
1 |
4 |
|
4 |
|
о _ х21 +2х2 + х'21+4х2 _ |
-1 - 1 + 1 + 1 |
|
||
|
|
|
= 0, |
|
|
* о = « .^ °)7' = (0 ,оу = 0 . |
|
||
Следовательно, план |
X - центральный. Матрица F имеет вид |
|||
|
"1 |
-1 |
-Г |
|
|
1 |
1 |
- 1 |
|
|
F = |
|
|
|
|
1 |
- 1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
Информационная матрица плана X |
|
|
||
|
М = FyF =413, |
|
||
где |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
1 з = 0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
Следовательно, матрица М диагональная, т.е. план X ортогонален. |
||||
Проверим условие (6.22) ротатабельности плана: |
|
|||
f T(x)(FTF y'f(x ) =i ( l + xf + xl) =1(1 + г2). |
(6.26) |
|||
Дисперсия a 2P(t) зависит только от расстояния г точки х |
до цен |
|||
тра плана, и, следовательно, план X ротатабельный. |
|
|||
На рис. 6.2 показан информационный профиль плана (6.25).
s o o t
1 |
2 |
3 |
г |
Рис. 6.2
Легко убедиться, что свойство ротатабельности плана X зависит от вида модели исследуемого объекта. Пусть, например, план X , оп ределяемый выражением (6.25), используется для вычисления оценок коэффициентов модели такого вида:
у(а,х) = а0 +ахх, +а2х2+ а3ххх2.
Тогда матрица F1F получается равной
F t F = 4I4,
где
|
"1 |
0 |
0 |
0" |
|
1 4 = |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
||
4 |
|||||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
Проверка условия ротатабельности дает
f \ x ) ( F TF)-]n x ) =i ( l + х,2 + х2 + х,2х2) = i ( l + г2 + xfx22). (6.27)
Дисперсия o?(jr) в этом случае зависит не только от расстояния
между точкой х и центром плана; следовательно, план X не является ротатабельным.
План X называется ненасыщенным, если N > к +1, и насыщен ным, если N = к + ]. Здесь N - число экспериментов в плане; (к +1) - число оцениваемых коэффициентов.
6.3. Общие требования к плану эксперимента. О критериях планирования эксперимента
В главе 5 мы при определении оценок параметров модели иссле дуемого объекта исходим из того, что результаты наблюдений полу чены в некотором заданном множестве точек. На практике, однако, часто оказывается возможным свободно выбирать условия проведе ния опытов в пределах некоторых границ. Выбор числа и условий проведения экспериментов, обеспечивающих получение наилучшего в определенном смысле результата исследования, составляет цель планирования эксперимента. Разработан ряд критериев оптимально сти планов эксперимента, важнейшие из которых будут рассмотрены ниже. Следует отметить, что оптимальный выбор плана эксперимента существенным образом зависит от конкретных особенностей иссле дуемого объекта, таких как вид его модели, стоимость отдельных опытов, области варьирования независимых переменных и т.п.
Одной из важнейших характеристик плана, влияющей, с одной стороны, на стоимость и длительность исследования, а с другой - на точность результатов, является число экспериментов N
Заметим, что план с минимально возможным числом эксперимен тов N = к + \ (насыщенный план) не позволяет проверить адекват ность модели. Поэтому обычно выбирают N > к +1, где к +1 - число оцениваемых параметров модели исследуемого объекта.
Важное значение для оценки качества плана эксперимента имеет вид информационной матрицы плана
М = FTF.
Матрица М должна быть невырожденной, г.е. |м| Ф0, где |м| - оп ределитель матрицы М . Только в этом случае формула (6.2) имеет
единственное решение вида |
|
a = (FTF y 'F TY |
(6.28) |
Перечислим теперь некоторые критерии планирования экспери мента, используемые в практических исследованиях.
1. Критерий ортогональности плана. Этот критерий требует та кого выбора плана X для оценки коэффициентов модели заданного вида, при котором информационная матрица плана диагональная.
Использование критерия ортогональности имеет целью упроще ние вычислений и получение независимых оценок коэффициентов. Нетрудно увидеть, что при ортогональном планировании матрица
(FTF)~' является диагональной, и, следовательно, ковариации оценок коэффициентов равны нулю. Это значит, например, что замена нулем любого коэффициента в уравнении модели не изменит значений оце нок остальных коэффициентов. Такое свойство ортогональных планов оказывается очень полезным, когда точный вид модели исследуемого объекта неизвестен и исследователь использует экспериментальные данные для отбора переменных, существенно влияющих на выходную величину.
2. Критерий ротатабельности. Этот критерий требует такого расположения экспериментальных точек в области планирования Qx,
при котором дисперсия <т?(х) оценки значений зависимой переменной
в точке х зависит только от расстояния от этой точки до центра пла на. Такой критерий хорошо согласуется с требованием равнозначно сти (с точки зрения точности оценки зависимой переменной) всех на правлений от центра плана.
Названные критерии обеспечивают некоторые полезные и удобные свойства оценок коэффициентов, однако они никак не связаны с требо ванием максимальной точности построения модели. Критерии, приво димые ниже, обеспечивают оптимальность планов эксперимента с точки зрения точности оценки параметров модели или зависимой переменной.
3. Критерий А-оптималыюсти. Этот критерий требует такого выбора плана, при котором матрица С = (FTF y ] имеет минимальный след (т.е. сумма диагональных элементов матрицы С минимальна). Поскольку в соответствии с (5.40) диагональный элемент сп матрицы
С пропорционален дисперсии оценки z-го коэффициента, то критерий А-оптимальности, по существу, требует минимизации средней дис персии оценок коэффициентов модели исследуемого объекта.