книги / Автоматизация научных исследований

Пусть

Тогда (рис. 4.14)

4.7. Доверительный интервал и доверительная вероятность

Рассмотрим понятия точечной оценки и интервальной оценки.

л

Точечная оценка 0» =<р(л:|,х2 неизвестного параметра 0 опре­

деляется одним числом. При выборке малого объема точечная оценка

д

0 Иможет сильно отличаться от оцениваемого параметра 0 , т.е. может приводить к большим ошибкам.

При малом объеме выборки используется интервальная оценка. Ин­ тервальная оценка определяется двумя числами - концами интервала.

Чтобы получить представление о точности и надежности оценки

л

0 » параметра 0 , в статистической обработке результатов измерений используются понятия доверительного интервала и доверительной вероятности.

л

Пусть по данным выборки получена оценка 0» неизвестного пара-

л

метра 0. Оценка 0» тем точнее определяет параметр 0, чем меньше

Л Л

разность 0 - 0 » . Если 8 > 0 и 0 - 0 » < s , то чем меньше 8 , тем точнее

оценка 0». Следовательно, число е характеризует точность оценки.

л

Доверительной вероятностью оценки 0» называется вероятность

Р = (1 - а ) , с которой выполняется неравенство 0 - 0 » < 8 . Обычно

доверительная вероятность оценки задается заранее. Наиболее часто полагают:

1 - а = 0,95; 1 - а = 0,99;

1- а = 0,9973; 1- а = 0,999.

Здесь mx,mv - математические ожидания случайных величин X и Y ;

<Ух,ау - среднеквадратические значения случайных величин I и F;

D[X],D[Y] - дисперсии случайных величин X и Y

Рис. 4.16

Коэффициент корреляции р принимает значения от - 1 до +1, т.е. (4.68)

При статистической обработке результатов измерений мы опреде­

л

ляем не сам коэффициент рху, а оценку коэффициента корреляции ptl, по выборке (х1,.у1),(х2,>'2),...,(хп,^п). Здесь х,,/ = 1,2,...,и - элементы выборки случайной величины X ; yt,i = 1,2 ,...,и - элементы выборки случайной величины Y

Оценка коэффициента корреляции определяется по формуле

л-ХО< - т*)(у, -ту)

(4.69)

Л Л

Or Or

где

(4.70)

<у.г~ = - Ц х, ~тхУ\ о / =~2,(У, ~ту)2.

Формула (4.69) может быть приведена к виду

пЛ Л

Y,x,y, -пт<ту

(4.71)

По формуле (4.71) удобнее вести расчеты вручную. На рис. 4.17

л

показана зависимость Y от X при р =1 (см. рис. 4.17, а) и при

л

Pv =-1 (см. рис. 4.17, б).

Рис. 4.17

На рис. 4.18 показана зависимость Y от X при рТ1.« 0,8 (см. рис. 4.18, а)

д

и при р * -0,8 (см. рис. 4.18, б).

Рис. 4.18

На рис. 4.19 показана зависимость Y от X при 0 < р х>. <1

(см. рис. 4.19, а и 4.19, б).

На рис. 4.19,б имеет место нелинейная корреляция между X и У

••• •••<

о < р < 1

0 < р„ < 1

Рис. 4.19

Р,, «О

На рис. 4.20 показана зависимость Y от X при рху ~ 0, а также

видно отсутствие корреляции между X и Г

4.9.Проверка гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции рТ).

Выдвигается гипотеза Н0: ptv = 0 против альтернативной гипоте­

зы Н, :pv;, *0 .

Рассмотрим случайную величину

л

Z = —In 1 + р.„

2

1-Р,

Случайная величина Z при небольших п (п< 50) и при совокуп­ ности случайных величин X, Y , имеющих нормальный закон распре­ деления, приближенно подчиняется нормальному закону распределе­ ния с математическим ожиданием

Случайная величина £, имеет нормальный закон распределения (рис. 4 .2 1 ):

1 £

№ ) = л/2 л

где £> - возможные значения случайной величины £,.

Рис. 4.21

При справедливости гипотезы Н0 имеем т2 - 0. Тогда

5- ^ - .

а.

е 2

определяется из соотношения

Область применения гипотезы Н0 о равенстве нулю коэффициен­ та корреляции определяется неравенством

—^а/2 —£ —£а/2 •

На рис. 4.21 S0 обозначает область принятия гипотезы Н0, S', - область отклонения гипотезы Н0.

Из соотношений (4.76), (4.72), (4.74) имеем

л

(4.77)

Контрольные вопросы

1 . Что понимается под генеральной совокупностью и выборочной совокупностью случайной величины X ?

2.Какими свойствами должна обладать выборка случайной вели­ чины X ?

3.Какие задачи решаются при статистической обработке резуль­ татов измерений случайной величины X ?

4.Какие статистические характеристики случайной величины X оцениваются по выборке?

л

5. Какая оценка 9 „ параметра 0 является несмещенной?

л

6 . Какая оценка 0„ параметра 0 является состоятельной?

л

7. Какая оценка 0„ параметра 0 является эффективной?

л

8 . Какая оценка 0„ параметра 0 является достаточной?

9.Какие достоинства и недостатки присущи методу моментов

иметоду максимума правдоподобия?

10.От какого параметра зависит закон распределения % 2 ?

11.Какой формулой определяется случайная величина, подчи­ няющаяся закону распределения Стьюдента?

12.Какой формулой определяется случайная величина, подчи­ няющаяся закону распределения Фишера?

13.Что понимается под понятиями «доверительный интервал»

и«доверительная вероятность»?

14.Что понимается под задачей корреляционного анализа?

15.Какое неравенство должно выполняться при справедливости

гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции рtv ?

ГЛАВА 5. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИССЛЕДУЕМОГО ОБЪЕКТА С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

5.1. Статистические математические модели исследуемого объекта

В некоторых отраслях производства, в частности в химической промышленности, производственные и исследовательские системы являются особенно сложными. Многие проблемы недостаточно про­ работаны, так что экспериментальные исследования на лабораторных, опытных и промышленных установках играют особую роль. На соз­ дание экспериментальных установок и на проведение экспериментов здесь приходится тратить много времени и средств.

С помощью традиционных методов не удается обеспечить тре­ буемые темпы развития ни в фундаментальных, ни в прикладных ис­ следованиях. Поэтому в науке, технике и производстве при решении разнообразных задач во все больших масштабах применяются новые эффективные методы исследования. При этом особое внимание уде­ ляется моделям процессов, протекающих в исследуемом объекте, и способам построения этих моделей.

Для эффективного анализа механизма явлений и управления про­ изводственными процессами необходимо выявить взаимосвязь между факторами, определяющими ход процесса, и представить их в коли­ чественной форме - в виде математической модели. Математическая модель является математическим отображением наиболее существен­ ных сторон процесса. Модель позволяет получать информацию

опроцессах, протекающих в исследуемом объекте.

Взависимости от источника информации, используемого при по­ строении математической модели, различают физико-химические мо­ дели, называемые также иногда аналитическими или теоретическими,

истатистические модели. В первом случае за основу берутся физико­ химические закономерности моделируемых процессов. Построение теоретических моделей сопряжено с проведением обширных и дли­ тельных исследований. Статистические модели получаются в резуль­ тате статистической обработки экспериментальных данных, собран­ ных на исследуемом объекте.

Статистические модели имеют относительно простую структуру. После установления структуры модели необходимо численно оценить

по экспериментальным данным параметры модели. В зависимости от того, как эти параметры входят в модель, говорят о линейных и нели­ нейных по параметрам моделях. Кроме того, различают модели ли­ нейные и нелинейные по независимым переменным.

Все переменные, определяющие состояние исследуемого объекта, можно разделить на три группы (рис. 5.1)

Рис. 5.1

В группу X = (хрх2,...,х;|) входят контролируемые входные факто­ ры или независимые переменные на входе объекта. Переменные группы

Y = {У\.у1,-.-,ут) называют выходными. Группу D = (d{,d2,...,dr) обра­

зуют неконтролируемые факторы. Они характеризуют действующие на объект возмущения, которые не могут бьггь измерены количественно. Временные характеристики, точки приложения и интенсивность дейст­ вия этих возмущений носят случайный характер.

Часто задача состоит в том, чтобы определить зависимость между выходными и входными переменными исследуемого объекта или найти значения входных факторов, обеспечивающие достижение экс­ тремума (максимума или минимума) некоторой выходной перемен­ ной (возможно, при каких-то ограничениях). Это означает, что пере­ менные группы Y часто выступают в качестве целевых величин при оптимизации исследуемог о объекта.

На практике встречаются процессы в исследуемом объекте, харак­ тер протекания которых детерминированным образом зависит от опре­ деленных величин Х|,х2,...,хп. Например, выходу некоторого иссле­ дуемого объекта (химический реактор) может определяться значением давления Р , температуры Т и времени протекания реакции t . Пере­ менные х,,х2,...,хл называют, как уже говорилось выше, входными контролируемыми или независимыми переменными, и их возможные