книги / Автоматизация научных исследований
..pdf6.6.2.Ортогональные центральные композиционные планы
При построении этих планов величина а, (плечо звездных точек) выбирается так, чтобы обеспечить ортогональность получаемого плана.
|
|
|
|
Таблица 6 .8 |
j |
*i |
*2 |
*3 |
|
1 |
+1 |
+ 1 |
+ 1 |
|
2 |
-1 |
+ 1 |
+ 1 |
|
3 |
+i |
-1 |
+1 |
Полный факторный план |
4 |
-1 |
-1 |
-и |
|
5 |
+ 1 |
+ 1 |
-1 |
(2") |
6 |
-1 |
+ 1 |
-1 |
|
7 |
+ 1 |
-1 |
-1 |
|
8 |
- i |
-1 |
-1 |
|
9 |
+ a i |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
10 |
"а . |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
И |
0 |
+а, |
0 |
Звездные точки (2 п ) |
12 |
0 |
- а , |
0 |
|
13 |
0 |
0 |
+а, |
|
14 |
0 |
0 |
- а , |
|
15 |
0 |
0 |
0 |
Центр плана ( п0 точек) |
Число точек в центре плана обычно принимается равным единице. Для обеспечения ортогональности оказывается необходимым преоб разовать модель (6.50) следующим образом:
у(а, х) = Ь0 +а,х, +... + а„х„ + а„+1 (х? - Р) +... +
(6.52)
+ a2n(4 ~ Р) + «2я+.*1*2 + - + «**„-■*„•
Здесь
ш |
у \ - р |
+ осг |
(6.53) |
р = ^ — |
|
||
|
N |
||
N |
|
|
В выражении (6.53) N - общее число точек в плане, 2П~Р - число точек ядра композиционного плана. От модели (6.52) можно перейти к модели (6.50), определяя а0 в (6.50) следующим образом:
ao=bo -$ lL an |
(6.54) |
В общем случае матрица F функций независимых переменных для ортогонального центрального композиционного плана имеет вид, по казанный в табл. 6.9. Через х0 в таблице обозначена фиктивная пе ременная при коэффициенте а0. Общее число точек плана
N = 2”~р + 2я +1. Формула для определения а, имеет вид
|
п - р |
( |
а 1 = *i |
2 2 |
V |
п - р \ 1 (N 1
)
(6.55)
Значения а, для различных п приведены в табл. 6.10.
Информационная матрица плана имеет вид
т0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
щ 1 „ |
0 |
0 |
|
(6.56) |
|
М = 0 |
0 |
|
0 |
|
||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
Здесь |
|
Ч |
|
з . |
|
|
|
|
|
|
|
||
mQ= N = Т - рЧ 2и + 1 , |
|
|
|
|
||
щ =2"-p + 2af, |
|
|
|
|
(6.57-6.60) |
|
m2=2"'я(1-р)2 + 2(а? -р )2+ (2«-l)p2, |
||||||
|
||||||
тг = Т - р, |
г„\ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
1 „ - единичная матрица размером п; |
число сочетаний из п по 2 : |
|||||
г„\ |
П\ |
_ п{п - |
1 ) |
(6.61) |
||
= С2 = |
||||||
2!(и - 2 ) |
~ 2 |
|
' |
|||
v2 j |
|
|
||||
Из (6.56) ползаем следующее выражение для дисперсионной матри цы плана:
Со |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
с,1 „ |
0 |
0 |
(6.62) |
С = 0 |
0 |
с 21 „ |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
С31. |
|
где
С, = — . |
(6 .63) |
т,
Значения элементов дисперсионной матрицы для различных п указа ны в табл. 6 .1 0 .
Таблица 6.9
Н а
име-
нова нис
Я д- ро плана
Звезд ные то ч ки
Ц ентр плана
|
|
|
|
|
М атрица F |
|
|
Н омер |
|
|
|
|
|
|
|
опы та j |
|
М атрица X плана |
|
*?-р |
*2Я ~Р |
||
|
*о |
*1 |
х 2 |
*1» |
|||
|
|
|
|
||||
1 |
1 |
+ ] |
+ 1 |
+1 |
1 - р |
1-Р |
|
2 |
1 |
-1 |
+ 1 |
+1 |
1 - р |
1-Р |
|
3 |
1 |
+1 |
-1 |
+1 |
1 - р |
1-Р |
|
4 |
1 |
-1 |
-1 |
+1 |
|
|
|
5 |
1 |
+1 |
+ 1 |
+1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
2"~р |
1 |
|
|
|
1 - р |
1-Р |
|
|
|
|
|
||||
2п~р +1 |
1 |
-на. |
0 |
0 |
а?-р |
-Р |
|
|
|
|
|||||
2п~р + 2 |
1 |
"<*1 |
0 |
0 |
а?-Р |
-Р |
|
|
|
|
|||||
2 я - ' + 3 |
1 |
0 |
+ а , |
0 |
-Р |
|
|
2п~р + 4 |
1 |
0 |
|
0 |
-Р |
|
|
2п~р + 2 п - \ |
1 |
0 |
0 |
-KXi |
-Р |
а?-Р |
|
|
|
|
|
||||
2”' р +2п |
1 |
0 |
0 |
-а, |
-Р |
а ? - Р |
|
|
|
|
|||||
N = 2Л~Р + |
1 |
0 |
0 |
0 |
-Р |
-Р |
|
+2/Н-1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
*1*2 |
*л-1*„ |
+ 1 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
|
+ 1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Таблица 6.10
Раз |
|
|
|
|
|
Элементы матрицы С |
|
||
мер |
Ядро |
N |
а, |
Р |
|
|
|
|
|
ность |
плана |
С0 |
с , |
с 2 |
с 3 |
||||
|
|
|
|||||||
п |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
22 |
9 |
1 |
0,6667 |
0,1111 |
0,1667 |
0,5 |
0,25 |
|
3 |
23 |
15 |
1,215 |
0,73 |
0,0667 |
0,0913 |
0,2298 |
0,1250 |
|
4 |
24 |
25 |
1,414 |
0,8 |
0,04 |
0,05 |
0,125 |
0,0625 |
|
5 |
23'1 |
27 |
1,547 |
0,77 |
0,03704 |
0,0481 |
0,0871 |
0,0625 |
|
6 |
2521 |
45 |
1,722 |
0,843 |
0,0222 |
0,0264 |
0,0564 |
0,03125 |
|
7 |
27'1 |
79 |
1,885 |
0,9 |
0,0127 |
0,0141 |
0,0389 |
0,0156 |
|
8 |
2 ^ |
81 |
2,001 |
0,8889 |
0,0123 |
0,0139 |
0,0312 |
0,0156 |
|
Формулы для расчета оценок регрессионных коэффициентов имеют вид
7=1
я, ‘ C22 i\ x i „ f - \ ^ J,i = n + \,...,2n, |
(6.64) |
|
7=1 |
|
|
N |
|
|
Q Z xlxly J’V-’h = 1,2 ,...,п,р Ф X,i = 2п + \,...,к. |
|
|
I 7=1 |
|
|
Оценка b0 рассчитывается по формуле |
|
|
1 N - 7 |
(6.65) |
|
^2> |
||
N м |
|
|
Для а0 в соответствии с (6.54) имеем |
|
|
« о = 4 - Р Ё ^ +, |
(6 .66 ) |
|
<=1 |
|
|
Оценки дисперсий коэффициентов определяются по формулам |
|
|
су2 -С0,/ = 0, |
|
|
/v 2 о 2 - С,,! =1,...,и, |
(6.67) |
|
ст2 -С2 л' = п + \,...,2п, |
||
|
||
о2 ■C3,i = 2п +\,...,к. |
|
|
Для а0 имеем |
|
|
а :о = а 2(с о + « р 2С 2). |
(6.68) |
В (6.67), (6 .68 ) а 2 - оценка дисперсии ошибок наблюдений. С целью получения оценки дисперсии ошибок наблюдений опыты во всех точ ках плана могут проводиться по v раз.
При проведении статистического анализа результатов с целью проверки адекватности модели и значимости коэффициентов может быть использована табл. 6.11. Здесь приняты следующие обозначе ния: п - размерность факторного пространства; v - число параллель ных опытов в каждой точке ортогонального центрального компози ционного плана; а - используемый уровень значимости проверки ги потез (адекватность модели, значимость коэффициентов); ф, - число степеней свободы для остаточной дисперсии [см. (5.59) и (5.60)];
ф2 |
- |
число |
степеней свободы для |
оценки дисперсии наблюдений |
||
(см. |
(5.92) |
и (5.93)); А, Л |
Л |
- |
величины Л/С ^-Г ^> |
|
и |
у[с^ • 7 ^/ |
соответственно; |
7 ^ |
- |
критическое значение распреде |
|
ления Стьюдента при заданном уровне значимости и числе степеней
свободы <р = ср, (при v = 1 ) или ф = ф2 |
(при v = 2,3). |
|
|
|||||
Величины А,,Aj,Aj используются при проверке значимости ко |
||||||||
эффициентов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.11 |
|
п |
V |
а |
Ф. |
Фг |
А, |
К |
К |
FФ|.Ф2;а |
2 |
1 |
0,05 |
3 |
- |
1,299 |
2,250 |
1,591 |
|
|
2 |
0,05 |
3 |
9 |
0,923 |
1,599 |
1,131 |
3,86 |
|
3 |
0,05 |
3 |
18 |
0,858 |
1,486 |
1,051 |
3,16 |
3 |
1 |
0,05 |
5 |
- |
0,777 |
1,232 |
0,909 |
|
|
2 |
0,05 |
5 |
15 |
0,644 |
1,022 |
0,753 |
2,9 |
|
3 |
0,05 |
5 |
30 |
0,617 |
0,979 |
0,739 |
2,53 |
4 |
1 |
0,05 |
10 |
- |
0,498 |
0,788 |
0,557 |
|
|
2 |
0,05 |
10 |
25 |
0,460 |
0,728 |
0,515 |
2,24 |
|
3 |
0,05 |
10 |
50 |
0,449 |
0,710 |
0,502 |
2,03 |
5 |
1 |
0,05 |
6 |
- |
0,537 |
0,722 |
0,612 |
|
|
2 |
0,05 |
6 |
27 |
0,450 |
0,606 |
0,513 |
2,46 |
|
3 |
0,05 |
6 |
54 |
0,440 |
0,592 |
0,501 |
2,27 |
6 |
1 |
0,05 |
17 |
- |
0,343 |
0,503 |
0,373 |
|
|
2 |
0,05 |
17 |
45 |
0,327 |
0,480 |
0,356 |
1,86 |
|
3 |
0,05 |
17 |
90 |
0,323 |
0,473 |
0,351 |
1,74 |
7 |
1 |
0,05 |
43 |
- |
0,239 |
0,398 |
0,252 |
|
|
2 |
0,05 |
43 |
79 |
0,236 |
0,393 |
0,249 |
1,53 |
|
3 |
0,05 |
43 |
158 |
0,235 |
0,390 |
0,247 |
1,46 |
8 |
1 |
0,05 |
36 |
- |
0,239 |
0,358 |
0,254 |
|
|
2 |
0,05 |
36 |
81 |
0,235 |
0,352 |
0,249 |
1,56 |
|
3 |
0,05 |
36 |
162 |
0,233 |
0,349 |
0,247 |
1,49 |
Имеем следующее условие значимости: |
|
|а,| > А,а, |
(6.69) |
где а 2 - оценка дисперсии ошибок наблюдений, |
определяемая по |
(5.60) при v = 1 и по (5.93) при v > 1. |
|
В формуле (6.69) сравнение /г, а производится с |а,|,/ = 1,...,и;
сравнение |
а производится с \a,\,i = п + \,...,2п; сравнение |
а про |
изводится с |а,|,/ = 2п +\,...,к.
В последней колонке табл. 6.11 приведены значения критерия
Фишера F ;а для проверки адекватности модели. Модель адекват
на, если
F |
|
< F |
|
|
|
|
^Ф|,Ф2 |
—^Ф|Ф2;а’ |
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
р |
|
= |
13у |
• |
|
|
|
|
7 |
|
|||
<Р|-Ч>2 |
|
S / |
’ |
|
||
|
|
|
|
ф2 |
|
|
s» = |
Zv |
У -У |
|
(6.70) |
||
|
/=1 |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
v |
|
/Л |
(6.71) |
|
|
.У *■У |
|||||
= 1 |
1 |
|
||||
|
'=!/=1 |
|
|
|||
При применении ортогональных планов все коэффициенты оце ниваются независимо. Это значит, что изменение оценки любого ко эффициента (например, исключение соответствующего члена из уравнения) не приводит к изменению других оценок и их дисперсий.
Контрольные вопросы
1.Ответ на какие вопросы дает экспериментатору теория экспе римента?
2.По какой причине основой теории эксперимента является ма тематическая статистика?
3.В какой последовательности осуществляется построение мате матической модели по экспериментальным данным?
4.Какие этапы следует выделить в проводимом эксперименталь ном исследовании?
5.Что понимается под матрицей плана X?
6 . Какой план эксперимента называется центральным?
7. Что понимается под информационной матрицей плана X?
8 . Какой план X называется ортогональным?
9.Какой план X называется ротатабельным?
10.Что понимается под информационным профилем ротатабельного плана?
11.Какие требования предъявляются к плану эксперимента?
12.Что понимается под критерием ортогональности плана?
13.Что понимается под критерием ротатабельности плана?
14.В чем суть критерия А-оптимальности?
15.В чем суть критерия D-оптимальности?
16.В чем суть критерия G-оптимальности?
17.Что понимается под полным факторным планом?
18.Как строятся дробные факторные планы?
19.Что понимается под генератором плана?
20.Какой вид имеют формулы для вычислений полных и дроб ных факторных планов для линейных моделей?
21.Каковы свойства полных и дробных факторных планов для линейных моделей?
22.Какой вид имеет модель, содержащая линейные члены и взаимодействия различного порядка?
23.Что понимается под контрастом?
24.Какой вид имеет квадратичная модель?
25.Что понимается под звездными точками?
26.Как выглядят формулы для расчета оценок коэффициентов квадратичной модели исследуемого объекта?
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В последние годы все большее внимание уделяется повышению эффективности труда ученых за счет автоматизации научных иссле дований. Сложились целые научные коллективы, разрабатывающие теоретические основы и техническую базу для создания автоматизи рованных систем научных исследований. Результаты в этой области пока еще ниже, чем в сфере управления производственными процес сами, однако можно с уверенностью сказать, что широкое использо вание методов и средств кибернетики для автоматизации научных ис следований и разработок - одна из актуальнейших задач.
Автоматизированные системы научных исследований, являясь инструментом в руках научных коллективов, позволяют значительно сократить сроки проведения теоретических и экспериментальных ра бот за счет их четкой организации, автоматизации вычислений, авто матического получения, хранения и измерения данных эксперимента, а также ускоряют процессы внедрения разработок благодаря автома тизации процессов проектирования разрабатываемых в институтах средств и технологических процессов.
Все это свидетельствует о том, что автоматизированные системы научных исследований становятся новой технической базой индуст рии научного поиска.
Особое внимание в настоящее время уделяется разработке основ проектирования АСНИ с перестраиваемой архитектурой.
От средств автоматизации НИ требуются не просто помощь в рас четах и быстрый сбор экспериментальных данных, как это было до последнего времени, а более «интеллектуальная» помощь по сбору, переработке и распространению научной информации, а также «асси стирование» ученого непосредственно в их научном творчестве.
Для этого потребуются совершенно другая по сравнению с суще ствующими организация переработки информации в вычислительных машинах, персональный доступ к ЭВМ и организация многоуровне вых сетевых компьютерных структур.
В настоящее время во всем мире ведутся исследования по всем этим трем направлениям развития информационных технологий. Это
-проект создания ЭВМ пятого поколения, персональные компьютеры
ирабочие станции, локальные, региональные и глобальные сети пере дачи данных между вычислительными машинами. С другой стороны,
возросшее многообразие средств автоматизации и усложнение АСНИ требуют, чтобы, во-первых, сами АСНИ обладали средствами обуче ния пользователей и, во-вторых, создавались специальные обучаю щие системы по выбору и использованию средств и методов автома тизации НИ.
Начали создаваться интеллектуальные системы, однако практиче ское использование получили в основном лишь экспертные системы. Опыта создания интеллектуальных систем пока еще мало, а опыта соз дания интеллектуальных АСНИ и обучающихся систем практически вовсе нет. Поэтому имеется настоятельная потребность в создании ме тодов и инструментальных средств для разработки таких систем.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Ордынцев В.М. Системы автоматизации экспериментальных научных исследований. - М.: Машиностроение, 1990. - 328 с.
2.Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процес сов. - М.: Мир, 1974. - 469 с.
3.Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных.
-М.: Мир, 1989. - 540 с.
4.Гальчук В.Я., Соловьев А.П. Техника научного эксперимента.
-Л.: Судостроение, 1982. - 255 с.
5.Кузьмичев Д.А. Автоматизация экспериментальных исследо ваний. - М.: Наука, 1983. - 392 с.
6. Певчев Ю.Ф., Финогенов К.Г Автоматизация физического
эксперимента. - М.: Энергоатомиздат, 1986. - 367 с.
7. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов / К. Хартман [и др.]. - М.: Мир, 1977. - 552 с.
8 . Дрейпер Н., Смит Г Прикладной регрессионный анализ. - М.: Статистика, 1973. - 392 с.
9.Налимов В.В. Теория эксперимента. - М.: Наука, 1971.
10.Решетников М.Т. Планирование эксперимента и статистиче ская обработка данных. - Томск: Изд-во Томск, гос. ин-га систем управления и радиоэлектроники, 2 0 0 0 . - 231 с.
11.Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1969. - 576 с.
12.Росин М.Ф. Статистическая динамика и теория эффективно сти систем управления. - М.: Машиностроение, 1970. - 336 с.
13.Герасимович А.И. Математическая статистика. - Минск: Высшая школа, 1983. - 280 с.
14.Инструментальный программный комплекс для макетирова ния и создания программного обеспечения АСНИ: отчет о НИР (заключительный) / МИРЭА; руков. М.Н. Бухаров. - М., 1995. -
№ГР 01900053956. Шифр «Симфония». Инв. № 236-1-95. - 36 с.
15.Разработка и исследование методов и средств представле ния знаний в компьютере: отчет о НИР (заключительный) / МИРЭА; руков. М.Н. Бухаров. - М., 2000. Шифр «Интеллект». Инв.
№236-3-00. - 37 с.