книги / Автоматизация научных исследований
..pdfI |
= — |
-Ал |
|
|
(4.29) |
||
1 |
еи |
|
|
Из (4.29) имеем |
-X |
|
|
|
-0 0 |
(4.30) |
|
|
1ш1 -тг = —- |
||
|
л-—>ао С |
00 |
|
В (4.30) используем правило Лопиталя. Введем функции вида:
Ф(х) = -х; |
|
||
Ф(х) = ^ '- |
|
||
|
ф(х) |
|
|
Из (4.30) с учетом (4.31) получим |
|
|
|
—х |
= lim |
ф'(*) |
- 1 |
И ш и = lim /W |
= lim |
||
|
|
ф'М |
X—>00 \ е Хх |
Следовательно, |
|
|
|
h - |
0 : / ’ - г |
|
|
Учитывая (4.32), из (4.28) имеем |
|
|
|
/л,(А) = ~ . |
|
||
Соотношение (4.25) с учетом (4.33) примет вид |
|||
|
1 |
л |
|
|
—= |
т.х. |
|
Из (4.34) получим |
А |
|
|
|
|
|
|
|
£ . 2А - |
|
|
|
ГПх |
|
|
или |
|
|
|
|
£ - , |
1 . |
|
|
1 V- |
|
|
(4.31)
(4.32)
(4.33)
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Таким образом, соотношение (4.36) определяет оценку А пара метра А, полученную с использованием метода моментов.
4.5.2. Метод максимума правдоподобия
Функция правдоподобия определяется соотношениями (4.14),
(4.15). Если значения элементов выборки х,,х2,...,хп фиксированы, то функция правдоподобия L(x],x2,...,xn,Q) является функцией неиз
вестного параметра 0. Сущность метода максимума правдоподобия
л
заключается в том, что в качестве оценки 0 параметра 0 принимает ся такое значение 0, которое обращает функцию L(x],x1,—,xn,Q)
в максимум. Это значение является функцией от х^,х2,...,хп и называ ется оценкой максимального правдоподобия для параметра 0. Для нахождения оценки максимального правдоподобия необходимо ре шить относительно 0 уравнение правдоподобия
dLjx|,х2,...,хп,0 ) _ Q |
2 7 ) |
50 |
|
и отобрать то решение 0, которое обращает L(x],x1,...,xn,Q) вмаксимум.
Точки максимума функций Z,(x,,x2,...,x(),0) и 1п/,(х,,х2,...,х(1,0)
совпадают. Поэтому вместо (4.37) можно решать уравнение |
|
51пДх,,х2,...,х„,0) = |
(4 38) |
50 |
|
Если надо оценить к параметров 0,,02,...,0*, то оценки макси
мального правдоподобия для этих параметров находятся из системы уравнений
51пЦх, ,х2,...,х„,0 ,,0 2 ,...,0 а) = 0 |
2 к |
(4.39) |
|
50 |
’ J ’ |
||
|
Положительные свойства оценок максимального правдоподобия следующие:
1 ) решение уравнения правдоподобия является состоятельной оценкой параметра 0 ;
2 ) решение является при п —>оо асимптотически эффективной оценкой параметра 0 ;
3) закон распределения полученной оценки при п —>оо является нормальным;
4) если для параметра 0 существует эффективная оценка, то уравнение правдоподобия имеет единственное решение, совпадающее с этой оценкой.
Недостатки метода максимума правдоподобия следующие:
1 ) оценка максимального правдоподобия может оказаться сме щенной;
2 ) метод максимума правдоподобия может привести к сложной системе уравнений.
Пример 4.3\ Определим оценки неизвестных параметров тх и с 2
нормального закона распределения случайной величины X (рис. 4.8) по методу максимума правдоподобия.
Имеем
л |
(х гт х) |
|
|
— 1----- |
|
(4.40) |
|
f ](xl,mx,ol) = —r---- - е |
2о' |
/' = 1 ,2 ,...,и. |
|
V2mjv |
|
|
|
Из (4.14), (4.15) получим |
п |
|
|
|
• |
(4.41) |
|
Ь(х{,х7,...,хп,тх,а]) = |
|||
|
/=1 |
|
|
Подставим (4.40) в (4.41). Получим |
|
|
|
Ь(хх,х2,...,хп,тх,ъ]) = —— |
^--ехр(~— - ------ ). |
(4.42) |
|
ф п с 2х)п |
2 с |
|
|
Из (4.42) следует: |
|
|
|
\nL(xx,x2,...,x),,mx,ol) = ~ l n ( 2 n ) - ^ l n G ] - ~ ' £ ( x l - m x)1 |
(4.43) |
||
2 |
2 |
2 с ; ы |
|
Отсюда
Метод Пирсона или метод минимума %2 рассматривать не будем.
4.6. Законы распределения, наиболее широко используемые при статистической обработке результатов измерений
Наиболее широко используемые законы распределения следующие: 1 ) нормальное распределение;
2 ) распределение у 2 (хи-квадрат);
3)распределение Стьюдента;
4)распределение Фишера.
4.6.1. Нормальное распределение
Пусть имеем случайную величину X, плотность распределения вероятностей которой имеет вид
(4.44)
где
Здесь х - возможные значения случайной величины X ; тх - мате матическое ожидание случайной величины X ; М - символ матема тического ожидания; Щ_Х] - дисперсия случайной величины X
Введем нормированную случайную величину Z, по формуле
е, = - . (4.46)
Математическое ожидание случайной величины £ определяется по формуле
М [Х ]-т х ™х - т х _ 0 . |
i m = о. |
AfR] = |
|
< * х |
|
Дисперсия случайной величины Е, |
|
Щ ] = М[<£ - М й )2] = М £ 2] = М ^ Х |
^ = 1 ; Щ ] = 1 . |
|
о, |
Тогда плотность распределения вероятностей случайной величины £, найдем по формуле
. ш = 7 2 ^ (4.47) где - возможные значения случайной величины Е, .
Следовательно, мы получим нормальную (гауссовскую) плот ность распределения вероятностей нормированной случайной вели чины Е, с нулевым математическим ожиданием и единичной диспер
сией (Л/К] = 0, д $ ] = 1).
|
~ |
~ |
5 - |
1 |
X j l |
(4.48) |
|
F & ) = РК s ?) = |
\ т |
л = —г== \е 2 Ш |
|||
|
|
|
- 0 0 |
V 271 _о0 |
|
|
Обозначим величину |
£ , которая соответствует заданной вероят |
|||||
ности |
= 1 - а , символом |
. Тогда |
|
|
||
|
F^(l) = Р ( $ < 1 )= |
J / ( M |
= 1 - а |
(4.49) |
||
|
|
|
|
-Ъэ |
|
|
или (рис. 4.9) |
|
|
|
|
|
|
|
1 - ^ ( 1 .) = ] / ( М |
= Щ > 1 ,) = а - |
(4.50) |
|||
1а
4.6.2.Распределение %2
Пусть х},х2,...,хп - независимые нормально распределенные слу
чайные величины, имеющие нулевое математическое ожидание и еди ничную дисперсию, т.е.
M[JC/J = 0 ; D[x,] = l, i = 1,2 ,...,н .
Рис. 4.10
Случайная величина |
|
x l - i * ! |
(4-51) |
/=1 |
|
называется случайной величиной %2 с п степенями свободы.
Закон распределения случайной величины называется распреде лением х2 с и степенями свободы.
Плотность распределения вероятностей величины х» (рис. 4.10) определяется формулой
|
2 \ |
^ ( х |
2 ) - е х р - ^ >Х2^ 0, |
№ 1 ) = 2 2г |
(4.52) |
1о,х2<о,
где Хп ~ возможные значения случайной величины у?„ \ п - |
параметр |
закона распределения случайной величины хй ’> Г п' |
- гамма- |
функция, которая определяется уравнением |
|
Г(x) = ]e-‘tx 'dt. |
(4.53) |
0 |
|
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины х,2 |
|
определяются соотношениями: |
|
ЩГЛ = п- D[%l] = 2n. |
(4.54) |
Пусть
р (%1 >Х2;а) = а -
Тогда (рис. 4.11)
P(ll > Х2;а)= [А(X2)d(xl) = а • |
(4.55) |
X/».а
Распределение %2п при п > 30 с достаточной точностью аппрок симируется нормальным законом распределения с М[у?п'\ = п\ D[%2n] = 2n.
4.6.3. Распределение Стьюдента
Пусть х,хх,х2,...,хп - независимые нормализованные случайные
величины, имеющие нормальный закон распределения с параметрами:
М[х] = М[х,] = 0; D[x) = D[Xi] = 1, |
/ = 1,2,...,л. |
|
Рассмотрим случайную величину /„ вида |
|
|
X |
X |
(4.56) |
tп |
|
|
~зс»
П
Случайная величина /„ называется коэффициентом Стьюдента с п степенями свободы. Плотность распределения вероятностей слу чайной величины tn (рис. 4.12) имеет вид
Г /7 + 1
ш , ) - —
л/тшГ^
и называется плотностью распределения Стьюдента с п степенями сво
боды. В (4.57) обозначено: 7п - |
возможные значения случайной величи |
||
ны tn; п - параметр закона распределения случайной величины /„. |
|||
При п —>оо закон распределения Стьюдента стремится |
к нор |
||
мальному закону распределения. |
|
|
|
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины t п |
|||
определяются в виде: |
|
|
|
М[<„] = 0 ; |
= |
„>2 . |
(4.58) |
Пусть |
|
и-2 |
|
|
|
|
|
P^ |
>TJ |
= a - |
|
Тогда (рис. 4.13)
|
|
|
7л.а |
<4-59> |
|
|
|
|
|
|
4.6.4. Распределение Фишера |
|||
Пусть |
Х\,х2,...,хт;у],у2,...,уп |
- независимые нормализованные |
||
случайные |
величины, имеющие |
нормальный закон распределения |
||
с параметрами: |
|
|
|
|
|
M[xi] = M[yj \ =0; |
i = 1,2,...,/и; |
у = 1,2 ,...,л; |
|
|
D[x,] = D[yJ] =\; |
i = 1,2,...,/и; |
у = 1,2,...,я. |
|
р - |
2 > , 2 |
/т |
(4.60) |
' |
= x l l m _ |
||
т’п |
( п |
гЦп ' |
|
|
|
|
5 > ,
О-' У
Эта случайная величина имеет распределение Фишера. Числа
т, п называются степенями свободы случайной величины Fmn.
Рис. 4.14
Плотность распределения вероятностей величины Fm„ имеет вид:
|
|
т + п Л |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
___ v |
|
|
|
(К„) 2 |
|
|
|
||
М К , ) |
|
п ^ |
[ п ) |
__ • |
|
F |
> 0 * |
|||
г м |
rf |
f |
_ |
\ т+п |
9 |
1 т,п |
9 |
|||
|
|
|
1 + |
т F |
~Г |
|
|
(4.61) |
||
|
1 2 J 12) |
|
1 |
п т,пJ |
|
|
|
|||
M Fmj,) = Q> если ^ ,.« ^ 0 »
где Fmn - возможные значения случайной величины Fmn. Распределение
случайной величины Fm„ зависит от двух параметров - чисел т и п .
Математическое ожидание случайной величины Fm„ определяет
ся соотношением
= |
(4.62) |
п - 2