книги / Автоматизация научных исследований

Коэффициент ajR является мерой парного взаимодействия факто­

ров (взаимодействия первого порядка), коэффициент alRI отражает

воздействие тройного взаимодействия (взаимодействия второго по­ рядка). Количество возможных взаимодействий для числа факторов от 2 до 8 приведено в табл. 6.5. Для шести факторов существует, на­

/= 1

6.5.2.Применение полных факторных планов для моделей типа (6.40)

Для получения оценок коэффициентов модели типа (6.40) в прин­ ципе можно использовать полные факторные планы. Однако, как пра­ вило, модель включает не все, а лишь некоторые взаимодействия пер­ вого порядка (парные взаимодействия), иногда взаимодействия вто­ рого порядка и почти никогда не содержит взаимодействий выше третьего порядка. Поэтому число степеней свободы для проверки адекватности модели с ростом числа факторов быстро увеличивается. Так, например, для случая, когда имеются только взаимодействия первого порядка, при п = 2 отсутствуют степени свободы, а при п = 6 имеется уже 42 степени свободы. Поскольку наша цель состоит в том, чтобы, пользуясь по возможности малым числом опытов, извлечь не­ обходимую информацию об исследуемом объекте, оказывается целе­ сообразным для построения модели типа (6.40) применить рассмот­ ренные в разделе 6.4 дробные факторные планы.

6.5.3. Применение дробных факторных планов для модели типа (6.40) и порядок смешивания оценок коэффициентов

Дробные планы типа 2"~р для моделей, содержащих линейные члены и взаимодействия, строятся так же, как и для линейных моде­ лей, т.е. матрицу полного факторного плана для (п - р) основных фак­ торов дополняют столбцами, элементы которых представляют собой произведения элементов определенных столбцов основных факторов. Обычно предполагается, что только некоторые парные взаимодейст­ вия и взаимодействия высших порядков являются значимыми. При этом значимые взаимодействия рассматриваются как самостоятель­ ные факторы, а незначимые приравниваются к факторам, не вошед­ шим в число основных. При использовании дробных планов для мо­ делей с взаимодействиями можно, таким образом, включать в рас­ смотрение лишь столько дополнительных факторов, сколько сущест­ вует незначимых взаимодействий.

При наличии в модели взаимодействий оценки <3, коэффициентов при линейных членах остаются независимыми друг от друга, однако они могут быть смешаны со взаимодействиями высших порядков. Часть оценок ат коэффициентов при парных взаимодействиях также

оказывается смешанной друг с другом.

Рассмотрим матрицу F для полной модели (6.40), содержащей все возможные взаимодействия, в случае, когда для оценки коэффициен­ тов используется дробный факторный план 2П~Р Некоторые столбцы матрицы F окажутся одинаковыми. Например, столбцы для фактора

х4 и взаимодействия х]х2х3 одинаковы, если в качестве генератора выбрано соотношение х4 =xtx2x3. Это означает, что план не позволяет получить раздельные оценки для коэффициентов а4 и ат модели. С помощью данного плана можно получить оценку а , которая харак­ теризует воздействие фактора х4 и взаимодействия х{х2х3. Оценки подобного рода называют смешанными. Если ат - 0, то величина а

является несмещенной оценкой коэффициента ш .

Для получения правила смешивания, с помощью которого можно было бы определить, совокупность каких линейных эффектов и эф­ фектов взаимодействия оценивается всяким найденным на основе

данного плана коэффициентом, введем понятие контраста плана. Под контрастом понимается соотношение между элементами матрицы F, задающее элемент первого столбца матрицы F. Элементы первого столбца, всегда равные единице, обозначим символически через I. Для дробного плана 23_|, например, имеем следующий контраст:

I = JC,JC2JC3 .

Предполагается, что х,х, = 1. Для плана 2 3' 1 генератор х3 =;с|х,. Поэтому х,х2х3 = 1.

Для дробного плана 2 4"', если генератор х4 = х,х2х3, то контраст выражается соотношением

I = х,х2х3х4.

Чтобы определить, с какими факторами смешана оценка некото­ рого данного фактора, умножают обе части контраста на этот фактор, считая, что х,2 = 1. При этом получим порядок смешивания оценок коэффициентов при использовании данного плана.

Пример 6.4. Для дробного факторного плана 2 3' 1 с контрастом I = х,х2х3 и генератором х3 = х,х2 получаем следующий порядок сме­ шивания для факторов х,,х2 и х3:

X, = х, х2х3 = х2х3,

х2 = X, х2х3 = х,х3, х3 = х, х2х3 = х,х2.

Для оценок имеем соответственно:

ал —>и\ + #2з,

# 2 — ^ # 2 + # 1 3 ,

# 3 — > # 3 + # 1 2 .

Для дробного факторного плана 24 | с контрастом I = х,х2х3х4

и генератором х4 = х,х2х3 получаем:

х, = х2х2х3х4 = х2х3х4,

х2 = х, х2х3х4 = х,х3х4,

х3 =х,х2х3х4 =х,х2х4,

х4 = X,х2х3х4 = х,х2х3,

х,х2 = X, х2х3х4 = х3х4, х,х3 = х,2х2х3х4 = х2х4, х,х4 = х,2х2х3х4 = х2х3.

Для оценок имеем соответственно:

#1 —> С1\ + (3234 , (312—> (312 + (334 ,

С12 #2 + #134 ? #13“^ #13 + #24 ,

(33 —> (Зз + (3124 , (314 —> 6714 + ^23 ,

#4 -><24 ±а\23.

В зависимости от выбора генераторов получаются дробные фактор­ ные планы, обладающие различной разрешающей способностью. В соответствии с порядком контраста (числом элементов в контрасте) говорят о планах с разрешающей способностью III, если контраст со­ стоит из трех элементов, и IV, если контраст состоит из четырех эле­ ментов. Если для дробного плана 24"' в качестве генератора выбрано соотношение х,х2х3 и контраст соответственно представляется выра­

жением I = х,х2х3х4, то этот план имеет разрешающую способность IV

и обозначается через 24г' Если, например, в качестве генератора вы­ брано соотношение х,х2, то план имеет контраст I = х,х,х4, его раз­ решающая способность III и обозначение 2щ'

Дробные факторные планы с наибольшей разрешающей способ­ ностью называются главными. Этим планам следует отдавать пред­ почтение при использовании.

Если имеется несколько незначимых взаимодействий, можно вве­ сти в план несколько дополнительных факторов. При этом число раз­ личных генераторов и контрастов, определенных так же, как и выше, будет таким же, как число дополнительных факторов. Чтобы опреде­ лить порядок смешивания для этого случая, введем обобщающий кон­ траст, который строится из отдельных контрастов во всевозможных сочетаниях по 2,3,...,/?. При этом все произведения контрастов так же, как и сами контрасты, задают элементы первого столбца матрицы F.

Пример 6.5. Для дробного факторного плана 25-2 в качестве гене­ раторов выбраны соотношения х4 = х,х3 и х5 = х,х2х3. Контрасты пла­ на I = х,х3х4 и I = х,х2х3х5.

Для получения обобщающего контраста перемножим вышеука­ занные контрасты и получим еще один контраст I = х2х4х5 . Обоб­

щающий контраст при этом

I = *1X3X4 = х2х4х5 = х,х2х3х5.

Умножая все составляющие обобщающего контраста на факторы, находим совпадающие столбцы матрицы F:

X, = х3х4 = х,х2х4х5 = х2х3х5, х2 = х,х2х3х4 = х4х5 = х,х3х5, х3 = х,х4 = Х2Х3Х4Х5= Х|Х2Х5, х4 = х,х3 = х2х5 = х,х2х3х4х5, х5 = х,х3х4х5 = х2х4 = х,х2х3, х,х2 = х2х3х4 = х,х4х, = х3х5,

х2х3 = х,х2х4 = х3х4х5 = х,х5.

Отсюда можно получить порядок смешивания оценок. Например,

для а, имеем а, -> а\ + ам + ап45 + ans.

Если в модель входят функции вида х2(/ = 1,2,...,и), то столбцы матрицы F, соответствующие этим функциям, будут состоять из еди­ ниц. Эти столбцы, таким образом, совпадают со столбцом для х0 (т.е.

для свободного члена уравнения). А это означает, что а0является

смешанной оценкой для свободного члена а0и всех коэффициентов

Д(7, i —1 ,2 ,.. .,п'. QQ—> do + Ли + о2 2 +... + cinn.

Пользуясь этим свойством, можно получить правило для провер­ ки значимости квадратичных эффектов. Для этого проведем в центре

Если квадратичные эффекты отсутствуют, т.е. а\\ =ап =... = а„„ = 0, то М [у°-а0] = 0 .

Отсюда следует, что, в случае когда гипотеза Н :М[а0] = М[у°] от­ вергается, в модель необходимо включать функции вида xf

Пусть полный (или дробный) факторный план содержит N = 2п~р точек, причем в каждой точке реализовано v экспериментов. На осно­ ве параллельных опытов в каждой точке найдена оценка а 2 дисперсии

ошибок наблюдений с числом степеней свободы ср [см. формулы (5.92) и (5.93)]:

Ф = Ф2 = N (y - l) .

Для проверки гипотезы Н можно воспользоваться величиной

У- а о

'ф=' ln0 +vN

которая при условии нормальности распределения и независимости

уровне значимости а и числе степеней свободы ф . Если гипотеза Н отклоняется, то в модели следует ввести квадраты факторов.

6.5.4. Вычислительные формулы и свойства планов 2" р

Информационная матрица планов 2" р для моделей, содержащих (к +\) подлежащих оценке коэффициентов, в случае, когда оценки всех коэффициентов не смешаны, т.е. матрица F не имеет совпадаю­

Планы типа 2"~р являются ортогональными для моделей вида (6.40). Для вычисления оценок коэффициентов получаем формулы:

N ,=1

(6.47)

™ И

(6.48) Здесь (к +1) - общее число коэффициентов модели (6.40). Из (6.48)

следует, что все коэффициенты оцениваются с одинаковой точно­ стью. Планы типа 2"~р для моделей, содержащих взаимодействия, не являются ротатабельными (см. пример 6 .1 ).

Как и в случае линейных моделей, планы 2п~р для моделей вида (6.40) являются A-,D- и G-оптимальными, если областью планирова­ ния эксперимента является гиперкуб с координатами вершин, прини­ мающими значения +1 и -1. Эти свойства справедливы в тех случаях, когда возможно получение несмешанных оценок всех коэффициентов модели.

Пример 6.6. При предварительных исследованиях было установ­ лено, что на удельную теплопроводность возгона, получаемого при

хлорировании титановых шлаков, влияют следующие факторы: х, - плотность засыпки; х2 - содержание хлора в возгоне; х3 - отношение концентраций Si02 и ТЮ2 в возгоне; х4 - температура.

Требуется экспериментальным путем найти формулу, с помощью которой можно описать зависимость удельной теплопроводности от перечисленных четырех факторов и их парных взаимодействий:

у(а,х) = а0+ а,х, + а2х2+ а3х3+ аАх4 + а]3х]х3+ а23х2х3+ а34х3х4. (6.49)

В табл. 6.6 представлены интервалы варьирования факторов. Ана­ лиз механизма реакции показывает, что на теплопроводность возгона могут оказывать влияние следующие два взаимодействия: х2х3 и х3х4.

Таблица 6 .6

Для построения модели был выбран дробный факторный план ти­ па 24"' с генератором х4 =х,х2. Контрастом для этого плана является соотношение I = х,х2х4. Получаем:

.Х| Х| Х2* 4 Xj *4 , * 2 х , X , х 4 — XjX4 ,

х3 =х3х,х2х4 = х3, х4 = х, * 2* 4 = х,х2, Х3Х4 = Х3Х4Х!Х2Х4 = х3х4, х,х3 = х|х3х,х2х4 = х,х3,

х2х3 =х2х3х,х2х4 = х2х3.

Оценки смешаны следующим образом:

Оу —^ О ) + 0 2 4 , Я2 —►0 2 + 0 \ 4 , Л3 —>О ъ , л4 —>0 4 + 0 \ 2 ,

<334 —>0 2 4 , а)3 —►Д13 , #23 ^23 •

План эксперимента и его результаты представлены в табл. 6.7.

а,

Внижней части таблицы приведены рассчитанные оценки коэффици­ ентов. Видно, что взаимодействия х2х3 и х3х4 оказывают существен­

ное влияние на выходную величину. Формула (6.49) имеет вид j>(*) = 336,12-100,62х, +38,12х2 -25,38х3 -9,62*4 -

- 1,12х,х3 + 92,12х2Хз ~ З3,62*3*4.

Имеем: а = 20; а, = 7,1; ср = 8; Выполним проверку значимости ко­ эффициентов a,,i = 0,4,а13,а23,а34. По формуле (5.72) найдем величи­ ны t'9,i = 0,4,^ 3,t f , / 34 Получим:

Общее число неизвестных коэффициентов в модели (6.50) определя­ ется как

Композиционный план для квадратичных моделей может быть получен путем добавления некоторого количества специальных точек к «ядру», образованному планом для линейной модели. В качестве «ядра» могут быть использованы планы типа 2” и 2п~р Если к ядру добавить точку в центре плана с координатами 0 ,0 , . . . 0 и 2 п «звезд­ ных» точек с координатами (± а,,0 ,...,б),...,(0 ,...,0 ,±а,), то получается центральный композиционный план, предложенный Боксом.

- 1

X

Рис. 6.4

На рис. 6.4 показаны точки композиционного плана для п = 2. Здесь в качестве ядра использованы точки полного факторного эксперимента (обозначены точками). Крестиками обозначены звездные точки, распо­ ложенные на координатных осях на расстоянии а, от центра плана.

Матрица планирования X для композиционного плана (п = 3) приве­ дена в табл. 6 .8 .

Выбором величины плеча а, композиционного плана и числа п0

точек в центре могут быть обеспечены различные свойства получаемо­ го плана. Ниже мы опишем ортогональные композиционные планы.