книги / Автоматизация научных исследований

3.2. Использование оценок спектральных плотностей в задаче фильтрации для определения

качества работы фильтра

На рис. 3.3 показана схема, поясняющая процесс формирования ошибки фильтрации е(/).

Рис. 3.3

На рис. 3.3 обозначено: g(t) - полезный случайный сигнал, изме­ ряемый датчиком; n{t) - помеха (погрешность измерения датчиком сигнала g(t)); x(t) - измеренный случайный сигнал на выходе датчи­ ка (сигнал на входе фильтра); y(t) - сигнал на выходе фильтра; е(/) - суммарная погрешность измерения сигнала g(t) или ошибка фильт­ рации; W (jf) - частотная характеристика фильтра. Случайные сиг­ налы g(t) и n(t) не коррелированы между собой.

Изображенная на рис. 3.3 схема может быть представлена в сле­ дующем виде (рис. 3.4).

На рис. 3.4 обозначено: Sg(f) - сглаженная оценка двухсторонней

спектральной плотности сигнала g(t) ; Sn(f) - сглаженная оценка

двухсторонней спектральной плотности помехи n(t); е„(/) - случай­

сглаженная оценка двухсторонней спектральной плотности состав­

Оценка р показьшает, во сколько раз оценка стЕ меньше оценки ст„. Оценка р характеризует качество работы фильтра.

3.3.Использование оценок спектральных плотностей

взадаче синтеза оптимального фильтра

На рис. 3.5 показана схема, поясняющая процесс формирования ошибки фильтрации e(t).

На рис. 3.5 обозначено: т(() - полезный случайный сигнал; n(t) -

помеха; x(t) - сигнал на входе оптимального фильтра; z(t) - сигнал на

выходе оптимального фильтра; H (jf ) - оценка частотной характери­ стики оптимального фильтра; m{t) и n{t) - некоррелированные между

собой случайные сигналы.

Будем определять оценку частотной характеристики оптимально­ го фильтра, обеспечивающей минимум среднеквадратической ошибки

где 5е - оценка среднеквадратического значения ошибки фильтрации s(/); о2е - оценка дисперсии ошибки фильтрации б(г) .

Оценка оптимальной частотной характеристики фильтра опреде­

y(t) = m(t);

s x(f) = s m(f) + s„(/y, s yx(f) = s nu(f) = s m(f);

ФОЛ|2= s x(f) = s m(f) + s n( / y , >

ФОЛ|2=ФОЛФ'ОЛ;

Ф’ОЛ =Ф(-./Л.

Здесь Sm( /) - сглаженная оценка двухсторонней спектральной плот­ ности полезного сигнала m(t); Sn(f) - сглаженная оценка двухсто­ ронней спектральной плотности помехи n{t); Sx( /) - сглаженная оценка двухсторонней спектральной плотности сигнала x(t); S vx( f)

-сглаженная оценка взаимной спектральной плотности сигналов y(t)

их(?); Smx( f ) - сглаженная оценка взаимной спектральной плотно­ сти сигналов m(t) и x(t).

Представим H (jf ) в виде

функцией, которую несложно разбить на реализуемое и нереализуе­ мое слагаемое (операция «расщепления»):

причем реализуемая часть отличается знаком «+», а нереализуемая - знаком «-».

Тогда формула (3.18) для оценки частотной характеристики опти­ мального фильтра с учетом условия физической реализуемости запи­

где квадратные скобки со знаком «+» внизу означают, что второй множитель в формуле (3.23) представляет собой функцию j f с по­ люсами в верхней полуплоскости, иными словами, в разложении на простые дроби рациональной дроби, заключенной в квадратные скобки, должны быть отброшены все простые дроби, соответствую­ щие корням знаменателя, расположенным в нижней полуплоскости переменной j f

Пример 3.1. Сглаженная оценка двухсторонней спектральной

где Д а - соответственно дисперсия и коэффициент нерегулярности

где с2 - интенсивность белого шума (помеха n{t) представляет собой белый шум).

Найдем оценку частотной характеристики H(jf) оптимального фильтра, обеспечивающей минимум 5Е, где а Е - оценка среднеквад­

ратического значения ошибки фильтрации e(t).

Определим сглаженную оценку двухсторонней спектральной

Р^У, + аг/2 = 1.1

В формуле (3.38) 2-е слагаемое в квадратных скобках содержит ко­ рень знаменателя в нижней полуплоскости комплексной плоскости, т.е.

Следовательно, соотношение (3.41) определяет оценку частотной характеристики оптимального фильтра.

3.4. Использование оценок спектральной плотности

для определения оценки функции когерентности

Оценка функции когерентности определяется соотношением вида

с х( Л - о у( Л

Оценка функции когерентности при всех / удовлетворяет условию

Если сигналы [х(/)-ю*] и [X /)- /” *] полностью независимы

друг от друга, то оценка функции когерентности будет равна нулю. Если оценка функции когерентности оказывается больше нуля

именьше единицы, то возможны три случая:

1)результаты измерений содержат посторонний шум;

2)исследуемый объект, связывающий сигналы y{t) и x{t),

нелинеен;

3) выход y{t) определяется не только входом x(t), но и другими

входами.

На рис. 3.7 показан примерный график оценки функции коге­ рентности.

Формула (3.42) для дискретных частот

т

примет вид

с,Д Л ) Г

(3.44)

Gxi f K)-Gy(fK)

Контрольные вопросы

1.При решении каких задач используется спектральный анализ исследуемого объекта?

2.По каким формулам методом спектрального анализа определя­ ется оценка АЧХ исследуемого объекта?

3.По каким формулам методом спектрального анализа вычисля­ ется оценка ФЧХ исследуемого объекта?

4.Как записывается частотная характеристика исследуемого объ­ екта в показательной формуле?

5.Как выглядят графики оценок АЧХ и ФЧХ исследуемого объекта?

6.Как используются оценки спектральных плотностей в задаче фильтрации для определения качества работы фильтра?

7.Какими формулами определяется оценка оптимальной частот­ ной характеристики фильтра?

8.В чем заключается смысл операции «расщепления» в задаче синтеза оптимального фильтра?

9.Как выглядит формула для оценки частотной характеристики оптимального фильтра с учетом условия физической реализуемости?

10.По какой формуле определяется оценка функции когерентности?

11.Какие выводы можно сделать после определения оценки функции когерентности?