книги / Моделирование систем управления

где Д а, У, /) представляет собой весьма общую нелинейную функцию. Это уравнение в большинстве случае не имеет аналитического решения, и его следует решать численными методами.

Но лучше всего эксперименты ставить так, чтобы измерялся вектор

ОТ

производных — , а не сам вектор У. В таких случаях предполагается, что

dy

ненаблюдаемая ошибка добавляется к детерминированной производной — :

dY dy

----= — + 8. dt dt

Если наблюдаемая переменная является производной, то процедура оценивания вообще не затрагивает дифференциального уравнения; парамет­ ры и качественные условия можно оценить рассмотренными ранее методами.

4.6.2.Оценивание методом наименьших квадратов

Если наблюдения Y для откликов модели представляют собой непре­ рывные функции t в интервале от 0 до tf>то критерий наименьших квадратов требует минимизации величины

где Г - ковариационная матрица (или, возможно, матрица соответствующих весов).

Если наблюдения проводились в дискретные моменты времени, то сле­

*1

Всоответствии с методом наименьших квадратов (МНК) следует опре­

делить

~т~=о=-Ей - Ш Ы ) ] ТГ']

Эти уравнения образуют систему нелинейных уравнений для получе­ ния оценок элементов а и у0. Количество оценок для уо составляет и, для а оно равно п х п . Размерность системы п + п х п = п(п + 1).

Для того чтобы получить оценки точности оценок а и у0, необходимо сделать некоторые предположения относительно распределения ненаблю­ даемых ошибок (пример - совместное нормальное распределение).

Чаще всего уравнения (4.4) нелинейны по оценкам параметров а и уо, поэтому их можно решить каким-либо итерационным методом, например, методом Гаусса.

4.6.3. Повторное интегрирование экспериментальных данных

Этот метод эффективно используется как для непрерывных, так и для дискретных наблюдений. Используется повторное интегрирование экспери­ ментальных данных с применением численного интегрирования.

Пусть модель описывается дифференциальным уравнением

d 2y dy -а 1у +а 2у 2 + а 3еа4',

у* . -

у(Р) = Уй> у'(0) = уЬ-

Проинтегрируем в интервале от 0 до /, получим

Полученное уравнение содержит лишь функцию у и интегралы от нее. Предположим, что детерминированная переменная у заменена в инте­

гралах стохастическими наблюдениями У, а для t выбран ряд различных зна­ чений /i, ...» tMгде п больше числа параметров, которые нужно оценить. Получается переопределенная система, которую можно было бы разрешить относительно оценок параметров методом наименьших квадратов.

Конечно, ненаблюдаемая ошибка, добавляемая к у, теперь связана с са­ мими интегралами; следовательно, независимые переменные становятся слу­ чайными величинами. Кроме того, поскольку наблюдения У производятся последовательно во времени, инте1ралы не являются статистически незави­ симыми. Тем не менее, для данных, взятых через равные или неравные про­ межутки времени, вычисления нетрудно проводить непрерывно или после измерений.

4.6.4. Оценивание методом максимального правдоподобия

Рассмотрим совместную функцию распределения плотности вероятно­ сти Д а , уо | у(fi), y(t2), ..., y{tn)) для а и уоЕсли возможно найти максимум этой функции относительно всевозможных наборов а и у0, то оценки, полу­ ченные таким образом, и являются максимально правдоподобными оцен­ ками.

Учтем правило умножения вероятностей, если события А и В зависимы, то вероятность А при условии В

A затем возьмем производную по е(/>) и подставим в (4.8):

-err , ->/ft) = 0.

Решив уравнение относительно Щ), можно исключить \(ь) из уравне­ ний (4.6), (4.7).

Введем для удобства новый вектор-столбец а*, в котором все элементы матрицы а расположены следующим образом:

« и '

а,2

CCjv

аа 21

а 2у

Предположим, что у0 и а имеют совместное нормальное распределе­ ние и что распределения для а* иуо записываются в виде

* » )ш ( 2 . ) * |‘й „ Ч ~ Ч 1~ J," l ) r a " fa,« -

где По* и Qjo - ковариационные матрицы; индекс (0) обозначает начальные (априорные) оценки а* иуо-

Если предположить, что а* иуо независимы, то

InР (а\ уо) = In Р(а ) + InР(уо\

InР(у0) = In i (Уо -yo{QY C V V o -У о \

Подстановка априорных распределений в первые два уравнения системы (4.6)-{4.7) дает уравнения, из которых можно получить оценки дляуоиа*:

правдоподобия совпадают с соответствующими уравнениями метода наи­ меньших квадратов, и поэтому к ним применимы те же самые показатели точности.

4.6.5. Применение методов оценивания

Рассмотрим скалярную модель

У=У+£, где х0 - постоянный входной сигнал.

Решение:

У= у0еш + Jx(x)ea(' X)dx = у0е

о

Пусть начальное значение уо и параметр а имеют гауссово распре­ деление

Дисперсия ненаблюдаемой ошибки

Е Ш ) =0,

Уравнения нелинейны по оценкам параметров, однако их можно ре­ шить каким-нибудь методом итераций, например, методом Гаусса.

4.6.6. Выводы и сравнение методов

Для очень малых априорных ошибок порядка a у = а а = 0,01 оценива­

ние методом максимального правдоподобия (ММП) дало лучшие результаты, чем оценивание методом наименьших квадратов. Когда стандартное откло­ нение априорных ошибок возросло, применение МНК, по сравнению с ММП, дало лучшие результаты.

Было проанализировано влияние длины экспериментального интерва­ ла. С помощью ММП были получены более точные результаты, чем при ис­ пользовании МНК, для одного и того же полного числа экспериментальных точек, т.к. априорная информация становится особенно важной, когда экспе­ риментальная информация со временем уменьшается.

Для неустойчивой модели все типы оценок одинаковы, и их точность улучшается с увеличением экспериментального интервала. Для оценивания каждым из рассмотренных методов требуется примерно одинаковое время.

Можно заключить, что ММП является наилучшим в том смысле, что приводит к более точным оценкам. К тому же он дает оценки, которые нс яв­ ляются более смещенными, чем полученные другими методами.

5. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Для моделирования процессов на ЭВМ необходимо преобразовать его математическую модель в специальный моделирующий алгоритм. При статистическом имитационном моделировании реализация моделирующе­ го алгоритма является в некотором смысле имитацией элементарных явле­ ний, составляющих исследуемый процесс, с сохранением их логической структуры, последовательности протекания во времени и особенно - ха­ рактера и состава информации о состояниях процесса.

Статистическое имитационное моделирование представляет собой метод получения с помощью ЭВМ статистических данных о процессах в моделируемой системе. При решении задач используются методы мате­ матической статистики.

Различают две области применения статистического моделирования:

-изучение стохастических систем;

-решение детерминированных задач.

При решении детерминированных задач задача заменяется эквива­ лентной стохастической моделью, выходные характеристики которой сов­ падают с результатом решения детерминированной задачи.

В результате статистического моделирования системы получается серия частных значений искомых величин или функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о поведении реального объекта (процесса) в произвольные моменты времени. При большом коли­ честве реализаций результаты приобретают статистическую устойчивость.

Теоретической основой метода статистического моделирования яв­ ляются предельные теоремы теории вероятности.

Множества случайных явлений (событий, величин) подчиняются оп­ ределённым закономерностям, позволяющим не только прогнозировать их поведение, но и количественно оценивать некоторые средние их характе­ ристики, проявляющие определённую устойчивость. Закономерности на­ блюдаются и в распределениях случайных величин, которые образуются при сложении множества воздействий. Принципиальное значение пре­ дельных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое качество ста­ тистических оценок при весьма большом числе испытаний (реализаций) N. Однако практически приемлемые при статистическом моделировании ко­ личественные оценки характеристик систем часто могут быть получены уже при сравнительно небольших N.

no

или

ским ожиданием au .... aNи дисперсиями о2!, —, G2N>ограниченными свер­ ху одним и тем же числом, то при N -> оо среднее арифметическое значе­ ний случайной величины сходится по вероятности к среднему арифмети­ ческому их математических ожиданий:

величины, имеющие математическое ожидание а и дисперсию а 2, то при

к нормальному.

Статистическое моделирование на ЭВМ требует формирования зна­ чений случайных величин, что реализуется с помощью датчиков (генера­ торов) случайных чисел.

5.2. Формирование случайных чисел

Возможны два способа формирования случайных чисел на ЭВМ. Первый способ предполагает выработку случайных чисел при по­

мощи специальных электронных приставок, связанных с ЭВМ. Преиму­ щество в том, что требуемые случайные числа могут вводиться в машину в каждый такт её работы, т.е. генерирование случайных чисел почти не требует дополнительных операций машины.

Второй способ - выработка случайных чисел самой машиной по специальным алгоритмам при использовании некоторой стандартной со­ вокупности случайных чисел. Необходимо выбрать такую совокупность, которая получается с наименьшими затратами машинного времени, а так­ же позволяет достаточно просто формировать различные случайные реа­ лизации. Считают, что этим требованиям удовлетворяет совокупность случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале [0,1].