книги / Моделирование систем управления

Пуассона р. При данной конфигурации формы для определения всех ее раз­ меров достаточно задать один некоторый характерный размер /. Величина внешней нагрузки определяется силой F . Задача моделирования - выясне­ ние значения напряжения а, возникающего в некотором элементе конструк­ ции.

Если модель и оригинал выполнены из одного материала, то значения р и Е у них одинаковы. В таком случае для постоянства TCI необходимо выполнение условия

/2

Это означает, что при моделировании внешнюю нагрузку надо изменять пропорционально квадрату линейных размеров. При этом согласно выраже­ нию для я3 должно быть выполнено условие а = const. Это, в свою очередь, значит, что для подобных состояний модели и оригинала напряжения в сход­ ственных точках одинаковы. Однако согласно выражению для я2 при усло­ вии (3.52), должно быть выполнено равенство

что невозможно (удельный вес у модели и оригинала один и тот же). Представим удельный вес в виде произведения у = рg, плотности р

и ускорения силы тяжести g . Тогда вместо (3.53) должно быть gl = const. При постоянном g = 9,81 м/с2 моделирование невозможно. Изменить

g можно только искусственным путем, установив модель небольших разме­ ров на специальную центробежную машину. При большом радиусе вращения модели центробежные силы инерции можно считать параллельными и анало­ гичными силам тяжести, но с другим ускорением. Выбором соответствую­ щей угловой скорости можно получить значение, большее и меньшее 9,81 м/с2.

Несколько слов о характерном размере. Конкретизация этого размера может быть весьма разнообразной. В зависимости от формы соответствую­ щего объекта в качестве «характерного размера» можно выбрать длину /, ширину b, высоту Л, диаметр d, радиус г и т.п. Допустимость такого про­ извола при физическом моделировании объясняется тем, что в любом случае отношение сходственных «характерных размеров» оригинала и модели опре­ деляет один и тот же масштаб геометрического подобия

Задача 5. Пользуясь системой относительных единиц, определить критерии подобия переходного процесса /(/) в цепи, образованной последо-

рис. 3.7, а - система 1 (цепь Z/Æ/C/), на рис. 3.7, б - система 2 (цепь £;С?)> на рис. 3.7, в - система 3 (изгиб нагруженной балки).

где Ft и FQ неизвестны.

Подставим эти обозначения в исходное уравнение для 2-й системы (3.55).

p Q =о.

d (t,F f L2C2

Примем для времени постоянный масштаб, т.е. Ft = const = mt = — ,

тогда

2 1.2 mfdty

где £ = -

Особенностью критерия Я| является наличие коэффициента преобра­ зования, устанавливающего зависимость между временем t\ в одном уравне­ нии и временем t2 в другом.

Задача 7. Проделайте опыт с системой 1 и далее, перестроив получен­ ную кривую Qi = Д/|), с помощью масштабов т, и mg найдите зависимость Qi

которая определяет поведение системы 2.

Параметры системы /: С\ = 2-КГ3 Ф, L\ = 2,63 Г, R\ = 15 Ом;

Параметры системы 2: С2 = 5-10"3 Ф, L2 = 2 Г; e i( 0 ) = e 2(0).

Задана 8 . Определить масштабы на примере подобия систем (3.54) и (3.56). В системе (3.56) аналогом времени является изменение геометриче­ ской координаты x\= m tti, a аналогом заряда Q\ - прогиб балки у. При этом

y= QlmQeat.

3.9.Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Определить сходственные точки процессов /j(/|), i2(t2)

и/з(*з) (рис. 3.8), полагая соответственно

1.Определить критерии подобия.

2.Определить масштабные коэффициенты и степенные комплексы.

3.Определить сходственные точки и заполнить таблицу (табл. 3.2).

4.Построить зависимость %\ =Дп2).

Таблица 3.2

для ЛС-цепи, Ri = 10 кОм, R2 = 50 кОм, С\ = 5 мкФ; С2 = 10 мкФ, U\ “ Ю В,

Задача 5. Определить критерии подобия для случая, когда имеются два тела массой М\ и М2) движения которых подобны и описываются одно­ родными уравнениями:

Задача 6 . Определить критерии подобия переходного процесса рас­ пространения волны напряжения по длинной линии при включении ее на по­ стоянное напряжение.

Рассматриваемый процесс описывается уравнением

и проводимость на единицу длины; U- напряжение вдоль линии; / -время; /-длина»

Задача 7. Определить критерии подобия электрической цепи с взаи­ моиндукцией Ми, которая состоит из двух неподвижных относительно друг друга контуров, образованных последовательно соединенными элементами с активным сопротивлением R и индуктивностью I , причем второй контур короткозамкнут, а первый включен на постоянное напряжение U\ (рис. 3.9). Известно, что процесс в такой цепи описывается системой

скорости V(FC = -kV ).

Задача 9. Рассмотрим гидродинамическую систему (рис. 3.10). Под­

Задача 10. Рассмотрим систему двух тел, вращающихся в открытом космосе друг относительно друга благодаря взаимному притяжению. Масса 1-го тела М\. Масса 2-го тела М2. Расстояние между телами R . Период об­ ращения Т.

Задача 11. Для оценки взаимных помех между различными радио­ электронными средствами, размещаемыми на судах, можно воспользоваться подобным физическим моделированием электромагнитной обстановки, кото­ рую определяют семь величин: частота/ [ Г -1], характерный размер / [L], на­ пряженность магнитного поля Я [ZT1/], напряженность электрического поля Е [ЬМТ~Ъ1~Х\, магнитная проницаемость е [L~3M~lT 4I2], удельная проводимость среды a [L~3M~lT 3I 2].

Задача 12. Обеспечить подобие зависимостей iii(#i), Ц2(Я2), р3(Я3) (рис. 3.11).

Для кавдой из зависимостей вводятся соответствующие базис­ ные значения р/0, Щ 9 после чего характеристики строятся в новой системе

координат \i = ф(Я*), где р* = — и Н* = - ^ - . И/о Ню

4. ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ

Математическая схема - звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды.

Имеет место цепочка «описательная модель - математическая схема - математическая (аналитическая или (и) имитационная) модель».

При построении математической модели системы необходимо решить вопрос о ее полноте. Также должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второсте­ пенные, причем отнесение свойств системы к основным или второстепенным зависит от цели моделирования (анализ вероятностно-временных характери­ стик процесса функционирования системы, синтез структуры системы и т.п.).

Процесс функционирования системы можно представить в виде мно­ жества величин:

1. Совокупность входных воздействий на систему

х{е Х

2. Совокупность воздействий внешней среды vr е V.

3. Совокупность внутренних (собственных) параметров системы hk е Я.

4. Совокупность выходных характеристик системы

Я е Г .

Можно выделить управляемые и неуправляемые переменные.

Входные воздействия и внутренние параметры являются независимыми (экзогенными) переменными:

v ( 0 = (Vi(0> V 2(0 * ...V e ( 0 v ..) »

Выходные характеристики являются зависимыми (эндогенными) пере­ менными.

y(f) = O'!(0.^2(Оэ-эЗ'у(0.-).

y(t) = F (x,v, h, t) - закон функционирования системы. Это запись для динамической модели. Для статической модели закон функционирования вы­ глядит следующим образом: y(t) = F (xiv)h) . Эти законы могут быть заданы аналитически (формулами), графически, таблично и т.д.

Таким образом, математические модели систем описываются совокуп­ ностью входных воздействий х, е Х\ воздействий внешней среды vr е V; внутренних (собственных) параметров системы hk е Я; выходных характери­ стик системы yj е Y.

Модели делятся на детерминированные (не содержат элементы случай­ ности) и стохастические.

Приведенные математические соотношения представляют собой мате­ матические схемы общего вида и позволяют описать широкий класс систем.

4.1. Линейные регрессионные модели для одной переменной управления

Проверку теоретических моделей, построенных на основе использова­ ния физических законов, можно осуществлять экспериментально. Регресси­ онный анализ - метод построения модели, наиболее соответствующий набо­ ру экспериментальных данных. Под наилучшим соответствием понимается случай, когда функция ошибки (разность между данными и моделью) мини­ мальна.

4.1.1.Линейная регрессионная модель

Пусть имеется п выборок Xh У,.

Допустим, модель представляет собой прямую Ум = А0 +А\Х. Функцию

ошибки запишем в виде F = £ (Л 0 + А{Х ( - У))2 . Наилучшие оценки для ко­ эффициентов AQи А] получаются из системы

ал

^ = о

ЗА,

Решение системы уравнений дает значения для AQnA\:

i r i t x f - î x . î w

n i x f t - i x & Y i

л = — --------- 1— 4 -

Обычно мерой ошибки регрессионной модели служит стандартное (среднеквадратическое) отклонение S:

означать, что модель не соответствует процессу, который послужил источни­

ком экспериментальных данных, либо имеется большой разброс данных из­ мерений.

4.1.2.Преобразование линейной регрессионной модели путем

привязки к средним значениям

разование модели путем привязки к среднему значению может значительно облегчить получение численного решения.

4.1.3.Достоверность регрессионных моделей

Требуется установить, является ли гипотеза, положенная в основу рег­ рессионной модели (о том, что коэффициент А\ = 0, или, что тоже самое, име­ ется наилучшая прямая) достаточно правильной.

Анализ точности и достоверности регрессионных моделей можно про­ водить с помощью следующих характеристик, учитывая, что число степеней свободы определяется соотношением v = w -& - 1 ,г д е и - число эксперимен­ тальных данных, к - число переменных управления:

- разброс данных вокруг их среднего значения (рис. 4.1, а)

S S , = Z ( V - Ÿ ) 2.

Число степеней свободы п - 1; - разброс данных вокруг линии регрессии (рис. 4.1, б)

S S 6 = £ ( F, - F , ) \