книги / Моделирование систем управления

Как известно, критерий подобия представляет собой степенной ком­

плекс

it = AaB^..JFy,

где а, р, у - показатели степени (положительные или отрицательные). Критерии подобия, состоящие из идеальных величин, называются иде­

альными критериями. Фактические критерии модели и оригинала (ям, я0), определенные с учетом погрешностей модели и оригинала (Ç0, £м), различны

параметров модели и оригинала. Для этого выразим критерий подобия через фактические параметры модели и через фактические параметры оригинала.

яоф =[Л(1±00,)]“'[го(1±8оВ)Г... [F0(l±5oF)Y =

= я(1±5а,)а'(1±5оЛ)Р'.~ (1± 8 . ^ '. Аналогично можно получить

*мф = ^ ,± 8M/4)e'(l±SM/J)‘i'... (1±8M/.)Ï .

Разделив эти выражения и учитывая операции с малыми величинами, получим число ÇK, показывающее, во сколько раз критерий, определенный по фактическим параметрам модели, больше критерия, определенного по фактическим параметрам оригинала.

= 1 ± (5М/1 ± 50> ' ± (5мЛ ± 8оВ)Р '± ... ± (&hF ± 6oFУ ,

Ç „ = I ± CC'2 ;S ± P T 8 ± . . . ± Y T 8 ,

А В F

где£ 5 -су м м а погрешностей оригинала и модели.

Наихудший вариант (наименьшая точность) будет получаться, если принять, что все погрешности имеют одинаковый знак.

в критерий подобия с большим показателем степени.

Наличие погрешности приводит к тому, что при п = idem, т.е. при ин­ вариантности идеального критерия подобия, результаты фактически произ­ веденных в модели опытов получаются неоднозначными. Эта неоднознач­ ность связана не только с моделированием. Опыты на нескольких установках в оригинале или на одной установке, но в различных условиях, дают неодно­ значные зависимости.

Для получения подобия в характере ошибок необходимо потребовать, чтобы = £м. Практически такое требование почти никогда не соблюдается, и это приводит к тому, что как бы тщательно ни была выполнена модель, расхождение между получаемыми на ней результатами и результатами, по­ лучаемыми в оригинале, неизбежны. Необходимо стремиться не к тому, что­

бы получить идеальное совпадение результатов, а к тому, чтобы правильно оценить их разброс.

3.7.2. Погрешности воспроизведения отдельных параметров, входящих в критерии подобия

Исходные параметры системы-оригинала и ее режимов могут быть по­ лучены на основании расчета или опыта. Как в том, так и в другом случае имеются расхождения с действительными данными.

В процессе измерений физических величин (в модели и в оригинале) могут иметь место три вида погрешностей:

1.Методические ошибки.

2.Инструментальные ошибки.

3.Ошибки оператора.

Эти три вида погрешностей приводят к ошибкам, имеющим состав­ ляющие: случайную и систематическую. Относительный вес каждой из этих составляющих зависит от применяемых приборов и условий эксперимента.

Полной характеристикой систематической погрешности является закон ее изменения

AV =AV(t{).

Случайные погрешности могут быть случайными величинами или слу­ чайными функциями (чаще всего функциями времени). Полной характери­ стикой случайной погрешности служит закон распределения. Простейшими характеристиками являются максимальное абсолютное значение |Д ^тах, ма­ тематическое ожидание E(AV), дисперсия Д Д Р), среднее квадратическое от­ клонение 6(ДГ) = ^D(AV) и корреляционная функция Лдк (tx, /2) •

3.7.3. Точность математического моделирования

Погрешности математического моделирования вызывают два фактора - неточность матёматических зависимостей и неточность численных значений различных величин.

Математическое моделирование - это, прежде всего, составление ма­ тематического описания различных материальных объектов с целью фикса­ ции основных свойств материального оригинала с помощью соответствую­ щих уравнений.

Точность расчетного моделирования связана с понятием аппроксима­ ции. Аппроксимация - замена значений различных величин и математических выражений приближенными, обычно более простыми.

Пусть fix) - точная функция, / а(дг) - аппроксимирующая (приближен­ ная) функция. Тогда погрешность аппроксимации Д /а = /а(х) -fix).

Математическое списание любого материального объекта всегда со­ провождается некоторой его идеализацией. Возникающая при этом погреш­ ность реализации равна погрешности первичной аппроксимации.

Пример. Операционный усилитель обычно принимают за безынерци­ онное звено и описывают конечным линейным уравнением

U=-kUo,

где k> О —постоянная. Более точное описание:

с /= - л а д ,

где/ - нелинейная функция.

Абсолютно безынерционных материальных объектов нет. Поэтому точно операционный усилитель описывается дифференциальным уравнением

T ^ + u = - f ( u 0),

где Т - малая постоянная времени.

Из приведенных трех уравнений все могут служить расчетной моделью определенного усилителя, только в первом случае погрешность первичной аппроксимации будет наибольшей, а в третьем случае - наименьшей.

В дальнейшем расчетная модель материального объекта, идеализиро­ ванного в той или иной мере, рассматривается как его точное математическое описание, которое при необходимости можно подвергнуть вторичной ап­ проксимации.

3.7.4.Приближенное соответствие

Пусть два объекта описываются уравнениями

Л О '|.* |,»'|л А у)= о .

(3.41)

F2(y2^2i,t2j,D 2j) =0,

не являющимися сходственными. Пусть при определенных ограничениях диапазона и характера изменения различных величин, фигурирующих в этих уравнениях, можно приближенно принять

р 2 (У2 • х 2/, h j , ° 2 j )«Fl ( у 2 »x 2i.h j .D 2 j ).

F\ tVi. .h j,D\j ) “ F2O ',,*1,-,h j, D,J ),

так как в обоих случаях разность A =F \- F 2достаточно мала.

Тогда за описание второго объекта вместо уравнения (3.42) можно

сходное с (3.42).

При этих условиях обеспечение подобия уравнений (3.41) и (3.43) или (3.42) и (3.44) означает приближенное подобие уравнений (3.41) и (3.42).

Приближенному подобию уравнений, описывающих материалы объек­ та, соответствует приближенное подобие этих объектов.

Пример. Пусть два объекта описываются уравнениями У\ = 3 /i(* i) = 3tg.ï,,

также дают разный результат у2пр * у2косПогрешность моделирования первого объекта как оригинала вторым

объектом как моделью, вызванная аппроксимацией описания оригинала,

АУ|. = У,т - Ущ = 3ft(*,)-3tgx, = - 3 ^ .

Погрешность моделирования второго объекта как оригинала первым объектом как моделью, вызванная аппроксимацией описания оригинала, со-

4

ставляет Ау2ш= у2т - у 2щ = 4tgx2 - 4 / 2(х2) = 4 — .

Если погрешность аппроксимации недопустима, то моделирование од­ ного объекта другим возможно только в форме соответственного моделиро-

у.з

вания на основании соотношений — = —, Дх|) =Дх2).

Уг 4

3.8.Примеры решения задач

Решение кубических уравнений методом интегральных аналогов

а = -З а |о + а !э

Ь = а20(2а%0 - а х) +а0,

02

3 * Вещественные корни уравнения (3.48) находятся графически как абс­

циссы точек пересечения кривой f x (у) = - у 3 и прямой / 2(у) = ау + b . Метод применим для решения всех возможных кубических уравне­

ний. Каждое из них имеет, по крайней мере, один вещественный корень. Ес­ ли он найден, то кубическое уравнение приводится к квадратному, опреде­ ляющему два остальных корня.

Алгоритмрешения кубического уравнения

Необходимо подобрать такую универсальную модель кубического уравнения, которая будет подобна оригиналу при всех возможных зна­ чениях а и Ь.

1. Выберем в качестве модели оригинала (3.49) сходственное уравнение

Построим определители, составленные из степеней для параметра q :

Построим определители, составленные из степеней для параметра В:

Определяем критерий подобия:

“ - g l/2r l/2-

Получить критерий подобия, содержащий массу т , невозможно. По­ этому необходимо заключить, что частота колебаний маятника не зависит от его массы. Критерии подобия оригинала и модели должны быть равны:

£^

Но

Установив экспериментально для какого-либо маятника длиной /м значение шм, по заданному значению /0 можно рассчитать со0.

Задача 3. Для скорейшего достижения однородности расплава в пла­ вильной печи после внесения в него небольшой порции расплавленной со­ ставляющей применяется принудительное перемешивание потоком ней­ трального газа. Процесс перемешивания характеризуется шестью опреде­ ляющими величинами: временем перемешивания т , скоростью газа на выхо­ де из сопла в , массовым расходом газа т , , кинематической вязкостью рас­

плава V, весом расплава G и характерным размером ванны /. Для разрабаты­ ваемого проекта ванны известны v0 >mtQiv0 ,GoilQ. Требуется установить вре­

рают так, чтобы было равенство соответствующих критериев. Реализуют вы­ бранные значения /M,BM,vM,GM,/wrMв модели и измеряют тм.

Задача 4. Моделируется форма радиолокационной антенны из одно­ родного материала с удельным весом у, модулем Юнга Е и коэффициентом