книги / Моделирование систем управления

Распределение л близко к нормальному уже при малых п.

Для прикладных задач п = 8-12, а иногда и меньше (4-5). В случае малоразрядных квазиравномерных случайных величин Ç, необходимо учитывать, что дисперсии Ç, равны

1 . 2 4 1

^ ~ 12 2 * - l ’

где А - разрядность вычислительной машины. Следовательно, дисперсия суммы £ равна

2* +1

12 2 * - Г Чтобы добиться более точного воспроизведения нормального закона,

кроме увеличения п можно воспользоваться специальными преобразова­ ниями.

Если обозначить

* 1 я

будет иметь распределение, достаточно близкое к нормальному уже при п =5. Если применить преобразование

то практически нормальное распределение получим при и = 2.

Вопрос, какое преобразование применять: (5.6), (5.7) или (5.8) - для достижения заданной точности аппроксимации, можно решить в результа­ те оценки затрат машинного времени, необходимого для реализации ука­ занных преобразований.

5.3.5. Моделирование приближённого способа преобразования случайных чисел на основе кусочной аппроксимации

законов распределения Пусть закон распределения задан плотностью / ц(х) или функцией

распределения вероятности ^(х ), а интервал возможных значений - [с, (fl. Если область возможных значений не ограничена, то перейдём к соответ­

По этой формуле определяются последовательно все необходимые значения с*. На интервале небольшой длины [с*, с*н] функцию^*) можно достаточно точно аппроксимировать функцией ср** = const, и формула (5.10) преобразуется в вид:

ф** = п

Алгоритм получения случайного числа т) можно представить сле­ дующим образом. Из совокупности с равномерным распределением в [0,1] выбираем два числа: Çv-i и Çv.

Çv-i служит для разыгрывания номера £ в соответствии с формулой

и далее формируется число ц (5.9). Рассмотренный приём приближённого преобразования случайных чисел требует небольшого количества опера­ ций, причём количество операций не зависит от п, т.е. не зависит от точно­ сти аппроксимации закона распределения. Точность аппроксимации зави­ сит от объёма данных ск и /к.

Недостаток приближённого способамоделирования

Точность аппроксимации неодинакова во всей области [с, d\. Она за­ висит от величины^*). При малых/п(х) точность аппроксимации падает. Поэтому число интервалов приходится выбирать с учётом обеспечения за­ данной точности на интервале с наименьшими значениями что увели­ чивает объём таблиц ckif^(x).

Можно применить приём комбинирования различных способов ап­ проксимации fifpc) на различных интервалах [с*, сы], но это уже связано с увеличением количества операций для получения случайного числа ц, т.к. составляющая цкдолжна быть пересчитана в соответствии с выбран­ ным законом распределения на интервале.

Рассмотрим способы разыгрывания случайных величин более под­ робно на примерах.

Пример 1. Используя метод Неймана для разыгрывания непрерывной случайной величины, получить последовательность чисел в соответствии с распределением, указанным на рис. 5.7 (40 чисел).

Определим точность обеспечения закона распределения. Площадь А = (6 - а)М= 1,5; площадь В = 1,0; £(д, Ь).

Расчет произведен в следующей последовательности:

1.Выбираем пару случайных чисел у' и у".

2.Находим Çi ~ а +у\b - à)\ Ç2 =

5.4.Имитационное моделирование

5.4.1.Сущность имитационного моделирования

Термин «имитационное моделирование» означает, что исследуются такие математические модели, с помощью которых результат нельзя зара­ нее вычислить или предсказать, поэтому для предсказания поведения ре­ альной сложной системы необходим эксперимент (имитация) на модели при заданных исходных данных.

Имитация представляет собой численный метод проведения на ЭВМ экспериментов с математическими моделями, описывающими поведение сложных систем в течение заданного времени.

Поведение компонентов сложной системы (СС) и их взаимодействие в имитационной модели обычно описывается набором алгоритмов, реали­ зуемых на некотором языке моделирования. Все эти описания представ­ ляют собой программную имитационную модель, которую необходимо сначала отладить и испытать, а затем использовать для постановки экспе­ римента на ЭВМ. Поэтому под процессом имитации на ЭВМ понимают конструирование модели, испытание модели и применение модели для изучения некоторого явления или проблемы.

При построении имитационной модели вычисляется некоторый функционал, определяемый по множеству реализаций процесса функцио­ нирования изучаемой сложной системы и характеризующий поведение имитируемого объекта. Наиболее важным для исследователя функциона­ лом является показатель эффективности системы. Имитируя различные реальные ситуации на имитационных моделях, исследователь получает возможность решить следующие задачи:

1.Оценить эффективность различных принципов управления системой.

2.Сравнить варианты структуры системы.

3.Определить начальные условия и влияние изменения параметров системы на показатели эффективности системы при имитации ее поведе­ ния.

5.4.2. Цифровое моделирование больших систем

При проектировании сложных объектов, например, технологических комплексов, АСУ производством, вычислительных комплексов и т.д., воз­ никают задачи, требующие исследования количественных закономерно­ стей функционирования этих объектов. Для решения таких задач исполь­ зуются расчётные и экспериментальные методы. Ранее от расчетов не тре­ бовалось особо высокой точности, т.к. погрешность вычислений компен­ сировалась увеличением объема натурного эксперимента, созданием ряда опытных образцов и «доведения» изделия в результате доработок.

Если проводится разработка большого комплекса, то использование натурного эксперимента становится проблематичным из-за увеличения за­ трат времени и средств. Это обусловлено такими особенностями больших систем, как:

-большое число элементов системы;

-сложный характер связей между элементами;

-сложность функций, выполняемых системой;

-наличие сложноорганизованного управления;

-необходимость учёта воздействия окружающей среды;

-высокая степень автоматизации работ в системе и применение ЭВМ в качестве основного управляющего звена.

В существующем многообразии созданных и проектируемых систем класс сложных систем невозможно выделить с достаточной точностью. Отнесение какой либо системы к разряду сложных или простых весьма ус­ ловно и, в основном, определяется той задачей, которая ставится перед ис­

следователем при изучении той или иной системы. Таким образом, одна и та же система, в зависимости от целей ее анализа, рассматривается как сложная или как простая.

Для исследования сложных систем используются аналитические

иимитационные модели.

Ваналитических моделях процессы функционирования элементов

сложной системы записываются в виде некоторых функциональных соот­ ношений (алгебраических, интегральных, дифференциальных) или логиче­ ских условий.

Для исследования аналитической модели могут быть применены следующие способы:

1.Аналитический способ - получение в обобщённом виде явных за­ висимостей для искомых величин.

2.Численный способ - если нет возможности решить имеющееся уравнение в общем виде, но можно получить численный результат при конкретных начальных данных.

3.Качественный способ применяется, когда нет решения в явном виде, но можно найти некоторые свойства решения, например, оценить его устойчивость.

При моделировании на ЭВМ вместо аналитического способа иссле­ дования используется алгоритмическое описание процесса функциониро­ вания модели.

Наиболее полное, а в некоторых случаях и исчерпывающее, исследо­ вание можно провести в том случае, если получены явные зависимости, связывающие искомые величины с параметрами системы и начальными условиями. Однако их удается получить лишь для сравнительно простых систем. Поскольку обобщенная система достаточно сложна, аналитическое исследование сталкивается с непреодолимыми трудностями. Поэтому,

стремясь получить аналитическое решение, идут на упрощение первона­ чальной модели, чтобы иметь возможность изучать некоторые общие свойства системы.

В зависимости от используемого математического аппарата и при­ меняемых методов формализации различают следующие виды аналитиче­ ских моделей: модели математического про1раммирования, сетевые моде­ ли, модели физических явлений, модели массового обслуживания, модели теории игр и т.д.

В имитационных моделях моделирующий алгоритм приближённо воспроизводит процесс-оригинал в смысле его функционирования во вре­ мени, причем имитируются элементарные явления, составляющие про­ цесс, с сохранением их логической структуры и последовательности про­ текания во времени.

Сущность рассматриваемого метода моделирования состоит в реали­ зации на ЭВМ специального алгоритма, который воспроизводит формали­ зованный процесс сложной системы. Моделирующий алгоритм позволяет по исходным данным, содержащим сведения о начальном состоянии про­ цесса (входной информации) и его параметрах, получить информацию

осостояниях процесса в произвольные моменты времени.

Вмоделирующем алгоритме можно выделить подалгоритмы трёх основных типов, которые выполняют одну из следующих функций:

1.Моделирование какого-либо элементарного подпроцесса иссле­ дуемого процесса.

2. Учёт взаимодействия элементарных подпроцессов и объединение их в единый процесс.

3. Обеспечение согласованной работы отдельных подалгоритмов при реализации модели на ЭВМ.

Влияние случайных факторов на течение процесса имитируется с помощью случайных чисел с заданными или вырабатываемыми в про­ цессе моделирования вероятностными характеристиками.

5.4.3. Примеры имитационных моделей

При моделировании процессов необязательно преобразовывать ма­ тематическую модель в специальную систему уравнений относительно ис­ комых величин. В ряде случаев достаточно имитировать сами явления, описываемые математической моделью, с сохранением их логической структуры, последовательности чередования во времени, а иногда и физи­ ческого содержания, с помощью моделирующих установок или ЭВМ.

В противоположность аналитическим и численным методам, содер­ жание операций, осуществляемых при имитационном моделировании, сла­ бо зависит от того, какие величины выбрали в качестве искомых.

Пример 1. Рассматривается модель стратегии обслуживания автобу­ са. Пусть Е - основное состояние автобуса (автобус исправен и осуществ­

ляет N рейсов за смену); А - состояние, когда автобус нуждается в мелком профилактическом ремонте (длительность ремонта - один рейс); В - со­ стояние, когда автобус нуждается в немедленном текущем ремонте дли­ тельностью в одну смену.

Предположим, что а - вероятность перехода автобуса из состояния Е в состояние А, b - вероятность перехода автобуса из состояния А в состоя­ ние В. Требуется выбрать одну из следующих стратегий обслуживания автобуса:

1.Стратегия а - как только автобус переходит в состояние А, он ремонтируется.

2.Стратегия р - автобус работает до тех пор, пока не перейдёт в со­ стояние В.

Лучшая стратегия - та, которая даёт наибольшее число рей­ сов вдень.

Предполагается, что каждый день автобус выходит на линию в со­ стоянии Е, т.е. при любой стратегии автобус, заканчивающий N рейсов в состоянии А или В9 ночью ремонтируется.

При моделировании формируется выборка случайного числа Ç и с помощью соответствующей таблицы имитируется состояние, в котором находился автобус в конце рейса. Вначале имитируется один рейс при стратегии а, потом - при р и т.д., после чего подсчитывается среднее чис­ ло рейсов в день, фактически выполненных автобусом при стратегиях а и р, и их разность.

Метод имитации позволяет производить изменения в модели про­ стым изменением схемы алгоритма. Полученные результаты обрабатыва­ ются статистическими методами, и на основе статистических данных при­ нимается решение о преимуществе одной стратегии перед другой.

Пример 2. Имеется головной компьютер локальной сети и машина на рабочем месте, которая в системе клиент-сервер встает в очередь на об­ служивание запроса. Если сервер свободен, то он обслуживает клиента, если нет - клиент становится в очередь.

Основа задачи - случайный процесс прихода заявок на обслужива­ ние. Промежутки между приходами любой последовательной пары зая­ вок - независимые случайные события, распределённые по некоторо­ му закону.

В теории массового обслуживания широко используется семейство функций Пуассона

(kt)n -e~u

Рп(0 =

ni

гдер - вероятность появления события; п - произвольное целое; X - некоторая константа.

Второй случайный процесс в этой задаче, никак не связанный с пер­ вым, определяется последовательностью случайных событий - длительно­ стей обслуживания каждой заявки.

Втабл. 5.1 в колонке «а» записаны случайные числа - промежутки между приходами заявок на обслуживание (некоторая относительная дли­ тельность, сформированная по принятому случайному закону).

Вколонке «Ь» записаны случайные числа - длительности обслужи­ вания (также некоторые относительные числа).

Для определенности взято ятах = 10 и Ьпш= 5.

с-условное время прихода заявок; d - момент начала обслуживания;

обслуживания; h - время, проведенное сервером в ожидании заявки. Заполнение таблицы ведется по соотношениям:

с\ = 0, сж = ^ + ам> d] = 0, dM = max(c/+b е,),

т.к. начало обслуживания заявки определяется либо временем ее прихода, если сервер свободен, либо временем ухода предыдущей заявки,

е, = di + b i'f = а - chgi = 0, gM =fni - bi+h h\ = 0, hi+l = dM - eh

Вопросы, возникающие при обработке результатов моделирования:

1.Каково среднее время нахождения в очереди на обслуживание?

2.Каково среднее значение величины А?

3.Каково распределение случайных величин g и h при заданных распределениях а и Ы

Располагая функцией распределения (пусть даже эмпирической), можно ответить на любой вопрос о характере процесса ожидания в очере­ ди, например: какова вероятность длительности ожидания в очереди доль­ ше ml Ответ: вероятность равна отношению площади криволинейной тра­ пеции, ограниченной графиком плотности вероятности распределения, прямымих = /я и у = 0, к площади всей фигуры.

Пример 3. Рассмотрим одну из самых простых систем массового об­ служивания.

Система состоит из и линий (каналов, пунктов обслуживания), каж­ дая из которых может обслужить потребителей. В систему поступают за­ явки, причём моменты их поступления - случайные. Каждая заявка посту­ пает на линию № 1. Бели в момент поступления k-н заявки (Г*) эта линия