книги / Моделирование систем управления

В примере возможна еще 21 форма записи критериев подобия.

VI этап. Представление описания исследуемого процесса з виде крите­ риального уравнения. Исследуемый процесс представляется функциональной зависимостью между найденными критериями подобия:

чФч.Яг*—>я м -*) - 0.

Учитывая, что один из критериев подобия (определяемый) обязательно является функцией остальных (определяющих или независимых) критериев подобия, можно записать критериальное уравнение в виде

^1 = Ф(Я2>—»Кт-к)> уменьшив, таким образом, число величин, определяющих характер иссле­ дуемого процесса с «т» до « т - к - 1».

В примере т = 1 , т - к - \ = 3, а критериальное уравнение имеет вид Я] =ф(Я2,Яз9Я4),

где для группы независимых параметров U, Л, С будет я» = — —.

UR

Приведенная методика определения критериев подобия на основе ана­ лиза размерностей может быть усовершенствована. Рассмотрим несколько методов решения аналогичных задач.

= ЛР.

Конкретные значения для коэффициентов a, d ,f g получаются из экс­ периментов. Данное соотношение с определенными степенями выглядит сле­

В данном случае (в случае ламинарного потока) имеется всего 3 без­ размерных комбинации, а в случае турбулентного потока будут 4 комбина­ ции. Очевидно, что анализ размерностей позволяет упростить эксперимент.

Примечание. Применение метода анализа размерностей при проведе­

Согласно 7Е-теореме (при числе единиц 3) предполагается уменьшение переменных на 3, хотя это не всегда так.

2.Анализ размерности не позволяет определить тип функции/ связы­ вающий безразмерные комбинации.

3.Одни безразмерные комбинации могут иметь больший физический смысл и большую ценность, но для эксперимента более существенен такой критерий, как точность.

3.4.3.Определение критериев подобия применением системы

относительных единиц

Этот способ вытекает из следующего утверждения: если параметры, характеризующие одно явление (Р\Х выражены в долях от некоторых вы­ бранных базисных величин (Р'бО, а для второго явления сходственные пара­ метры (Р'г) выражены в долях от базисных (Pœ) величин, выбранных таким же образом, то при равенстве относительных значений сходственных пара-

И Л И

Распространяя полученный результат на все т - к критерии, запишем условия, наложенные на выбор базисных величин второго процесса:

(3.24)

Итак, равенства всех параметров, выраженных в относительных едини­ цах, еще не достаточно для того, чтобы имелось подобие явлений. Для подо­ бия явлений необходимо соблюдение дополнительных условий (3.24), накла­ дываемых на выбор базисных величин второго процесса.

3.5. Третья теорема подобия

Первая формулировка третьей теоремы подобия

Третья теорема формулируется следующим образом: необходимыми и достаточными условиями для создания подобия являются пропорциональ­ ность сходственных параметров, входящих в условие однозначности, и ра­ венство критериев подобия изучаемого явления.

Известно, что дифференциальное уравнение в общем виде описывает бесконечное множество процессов, относящихся к данному классу. Напри­

мер, уравнение U = iR +L — описывает изменение тока в ÆL-цепи, включен­ ий

ной на постоянное напряжение.

Условия, определяющие индивидуальные особенности процесса и вы­ деляющие из общего класса конкретный процесс, называются условиями од­ нозначности.

Кним можно отнести следующие факторы и условия:

-геометрические свойства системы, в которой протекает процесс;

-физические параметры среды и тел, образующих систему;

-начальное состояние системы;

-условия на границах системы;

-взаимодействие объекта и внешней среды.

Вторая формулировка третьей теоремы подобия

Эта формулировка состоит из трех положений.

Положение 1. Создание модели возможно, если критерии подобия (безразмерные комплексы), составленные из величин, характеризующих только ее системные (материальные) параметры, равны соответствующим критериям изучаемой системы-оригинала.

Частным случаем является равенство материальных параметров в мо­ дели и оригинале, выраженных в относительных единицах.

Положение 2. В созданной (согласно положению 1) модели осуществ­ ление процессов, подобных оригиналу, возможно, если критерии подобия, содержащие только параметры процессов, входящих в условия однозначно­ сти, имодели и оригинале соответственно одинаковы.

Частный случай - равенство параметров исходного режима в модели и оригинале, выраженных в относительных единицах.

Положение 3. Осуществление модели (согласно положениям 1 и 2) возможно в сколь угодно сложных системах при условии одновременного соблюдения соответствующих дополнительных положений. К сложным сис­ темам относятся анизотропные, нелинейные и системы с вероятностными параметрами.

3.5.1. Обоснование третьей теоремы

Пусть имеется два процесса, дифференциальные уравнения которых буквенно одинаковы. Следовательно, у них одинаковое число параметров т; число независимых параметров к и число критериев подобия (т -к).

Необходимым условием существования подобия является наличие оп­ ределенных масштабных соотношений между всеми сходственными пара-

Pi

метрами —L =mj . Pi

У подобных явлений на масштабы накладываются ограничения. Они заключаются в том, что не все, а только к масштабов (wj, ..., m*) можно вы­ брать произвольно, независимо от остальных (т^и •••, мт). Математически это условие выражается в равенстве единице (т - к) соотношений между масштабами.

Указанные соотношения после простых преобразований приводят к ра­ венству т - к критериев подобия: заменив масштабы отношениями сходст­ венных параметров, получим

Согласно гс-теореме, один из (т-к) критериев является функцией ос­ тальных и автоматически соблюдается при их равенстве.

Таким образом, очевидно, что равенства (т-к) критериев достаточно для обеспечения возможности подобия процессов. Эта возможность реализу­ ется, если, задав условия однозначности, выделить из бесконечного множе­ ства процессов, которым соответствует данное дифференциальное уравне­ ние, процессы, подобие которых необходимо обеспечить. Это требование и содержится в третьей теореме.

Третью теорему можно сформулировать так: подобие любых двух сис­ тем создается при пропорциональности всех сходственных величин в этих системах и равенстве т-к- 1 критериев, определенных из полного уравне­ ния процесса.

Пропорциональность переменных величин в подобных процессах тре­ буется обеспечивать во всем пространстве, в том числе на его границах и на всем протяжении времени рассматриваемого процесса. Можно влиять на ус­ тановление пропорциональности через начальные и граничные значения па­ раметров процесса.

Пусть физический процесс описывается обыкновенным дифференци­

Кроме того, заданы л начальных условий.

Доказательство третьей теоремы основывается на положениях сле­ дующей вспомогательной теоремы: систему обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений любого порядка можно привести к такому критериальному виду, при котором эти уравнения и начальные условия содержат выраженные в относительных единицах параметры процесса и безразмерные комплексы, составленные только из материальных параметров физической системы.

Известно, что всякое обыкновенное дифференциальное уравнение л-го порядка можно свести к системе из л дифференциальных уравнений первого порядка путем замены высших производных вспомогательными неизвестны­

Под выраженным в относительных единицах параметром процесса по­ нимается отношение

где Pl+i - /-й параметр процесса; Ai - степенной комплекс, составленный

Приведенные положения нарушаются, если уравнения процесса одно­ временно удовлетворяют ряду ограничений, главные из которых следующие:

1. Все параметры процесса являются размерными величинами и имеют нулевые начальные значения.

2.Аргументы безразмерных функций не содержат параметры процесса.

3.Строка матрицы размерностей всех параметров, соответствующая времени t, не является линейной комбинацией строк матрицы размерностей параметров системы.

Из вспомогательной теоремы следует вывод: если физический процесс

описывается обыкновенным дифференциальным уравнением и-го порядка и параметр Рм либо имеет ненулевое начальное значение, либо является без­ размерной величиной, то уравнение процесса и начальные условия можно привести к критериальному виду.

Выраженные в относительных единицах параметры процесса и безраз­ мерные комплексы, составленные из параметров системы, представляют со­ бой критерии подобия изучаемого процесса, определенные на основе л-теоремы, если в качестве независимых величин выбраны параметры системы.

Следовательно, для приведения уравнений процесса и начальных усло­ вий к критериальному виду необходимо:

а) убедиться, что данная система дифференциальных уравнений не удовлетворяет одновременно перечисленным выше ограничениям и, сле­ довательно, эту систему можно представить в критериальной форме;

б) составить матрицу А размерностей всех участвующих в процессе параметров Pi ,...,Р /,..., Р/+„, t и определить ранг гА = к этой матрицы;

в) определить на основе анализа размерностей форму записи безраз­ мерных комплексов ..., я/_*, составленных из параметров системы Рх,...,Р{

и выраженных в относительных единицах параметров Р*+х,..., Р*+п, г \ выбрав в качестве независимых параметры Р ь ..., Ркфизической системы, в которой протекает процесс;

г) представить уравнение и начальные условия в критериальной форме. Пусть процесс описывается системой обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений 1-го порядка. Эту систему и начальные условия можно при­

вести к критериальному виду, при котором выраженные в относительных единицах параметры процесса РД,, ..., РД„ являются однозначными функ-

днями безразмерных комплексов %и •••» Я/-ь составленных из параметров системы и выраженного в относительных единицах времени t

(3.28)

Pl+n "Фи(^ >^1»—»Я/-.*)

Если параметры двух сравниваемых систем подобраны таким обра­ зом, что

я 1= idem ,..., Я/_А= idem,

то всегда можно выбрать такой масштаб времени, при котором

я,_*+1 = /*(1) = Л 2) = /* = idem .

Согласно выражениям (3.28) будут соответственно одинаковыми ос­ тальные критерии подобия:

Это значит, что в сходственные моменты времени (t* = idem) значения параметров процессов в сравниваемых системах будут отличаться лишь масштабами, т.е. процессы будут подобными.

Пример. Даны уравнения

a2yî +а1у[ +аоУ1 =0,

Ъгу \ +Ьху 2 +Ь0у2 = 0

При постановке и обработке экспериментов важно учитывать, что в различных отраслях техники встречаются процессы, которые называются

автомодельными.

Третья теорема не распространяется на автомодельные системы, для которых нельзя составить ни одного критерия, содержащего только матери­ альные параметры системы, но можно при любых их значениях осуществ­ лять переход от характеристик одного процесса к характеристикам другого за счет изменения только масштабов параметров процессов.

В этом случае при моделировании физических явлений можно не со­ блюдать точно или даже вообще не соблюдать критерии подобия. Автомо­ дельность какого-либо явления означает автоматическое сохранение его по­ добия исходному явлению (оригиналу) независимо от абсолютных значений параметров элементов той системы, в которой данное явление протекает.

Пример. Цепь RXLXвключена на постоянное напряжение U\. Процесс описывается уравнением